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北京市海淀区2015-2016高二年级第一学期期末练习数学(理科)试题及答案


海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)2016.1
学校: 班级: 姓名: 成绩:
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 =2 ,则其圆心和半径分别为 ( )

(1,0),2 A.

(-1,0),2 B.

(1,0), 2 C.
) C. 3 )

(-1,0), 2 D.

2.抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点到其准线的距离为( A. 1 B. 2

D. 4

3.双曲线 4x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线的方程为( A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 1

C. x ? 2 y ? 0

D. x ? 2 y ? 1 )

4.在空间中,“直线 a , b 没有公共点”是“直线 a , b 互为异面直线”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )

5.已知 A, B 为圆 x2 ? y 2 =2ax 上的两点,若 A, B 关于直线 y ? 2 x+1 对称,则实数 a ? ( A. ?

1 2

B. 0 C.

1 2
)

D. 1

6.已知直线 l 的方程为 x ? my +2 ? 0 ,则直线 l (

A.恒过点 ( ? 2,0) 且不垂直 x 轴 B.恒过点 ( ? 2,0) 且不垂直 y 轴 C.恒过点 (2,0) 且不垂直 x 轴 D.恒过点 (2,0) 且不垂直 y 轴 7.已知直线 x ? ay ? 1 ? 0 和直线 ax ? 4y ? 2 ? 0 互相平行,则 a 的取值是( A. 2 B. ?2 C. ?2 D. 0 8.已知两直线 a , b 和两平面 ? , ? ,下列命题中正确的为( ) )

A. 若 a ? b 且 b / /? ,则 a ? ? B. 若 a ? b 且 b ? ? ,则 a / /? C. 若 a ? ? 且 b / /? ,则 a ? b D.若 a ? ? 且 ? ? ? ,则 a / / ? 9. 已知点 A(5,0) ,过抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 的直线与直线 x ? ?1 垂直且交于点 B ,若

| PB |?| PA | ,则 cos ?APB ? (
A. 0 B.

)

1 1 1 C. ? D. ? 2 2 3

10.如图,在边长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 为 BC 的中点,点 P 在底面 ABCD 上移动,且满足 B1P⊥D1E, A1 则线段 B1P 的长度的最大值为( ) A.

D1

C1 B1

4 5 B.2 5

D
C. 2 2 D.3

E B

C

A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11.已知命题 p : “ ?x ? R , x 2 ? 0 ” ,则 ?p :___________________________________. 12.椭圆 x2 +9 y 2 ? 9 的长轴长为_____________. 13.若曲线 C : mx2 ? (2 ? m) y 2 ? 1 是焦点在 x 轴上的双曲线, 则 m 的取值范围为_______________. 14.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面四边形 ABCD 的两 组对边均不 平行. . ①在平面 PAB 内不 存在直线与 DC 平行; . ②在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面 PDC 平行; ③平面 PAB 与平面 PDC 的交线与底面 ABCD 不 平行; . 上述命题中正确命题的序号为_________________.

P

D A B

C

15.已知向量 AB ? (1,0,0), AC ? (0,2,0), AD ?(0,0,3) ,则 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 _____________. 16.若某三棱锥的三视图如右图所示, 则该棱锥的 体积为,表面积为_____________.
3

??? ?

??? ?

??? ?

1

主(正)视图

1

侧(左)视图

1
俯视图

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题共 10 分) 已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A ? 0, 4? . 0? , B ?8, 4 ? , C ? ?2, (Ⅰ)求证: ?ABC 是直角三角形; (Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆截直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 所得弦的弦长为 6,求 m 的值.

18.(本小题共 14 分) 如 图所示 的几何 体中, 2CC1 ? 3 AA1 ? 6 ,

C1

CC1 ? 平面 ABCD , 且 AA1 ? 平面 ABCD , 正方形

F
ABCD 的边长为 2,E 为棱 A1D 中点, 平面 ABE 分
别与棱 C1 D, C1C 交于点 F , G . (Ⅰ)求证: AE / / 平面 BCC1 ; (Ⅱ)求证: A1D ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 D ? EF ? B 的大小,并求 CG 的长.

G

A1
E D A B

C

19.(本小题共 12 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,经过左焦点 F1 (?1,0) 的直线 l 与椭 2 a b 2 圆 G 相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于 C 点,且点 C 在线段 AB 上. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程;
已知椭圆 G: (Ⅱ)若 AF1 ? CB ,求直线 l 的方程.

海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学(理科)
2016.1

答题纸

本试卷共 100 分. 考试时间 90 分钟. 一、选择题. 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 请将选择题的答案填涂在机读卡上. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 11. . 12. . 13. 14. 学号 15. 16. . 姓名 装订线 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 10 分) 解: . . . ,

班级

18. (本小题共 14 分)

19. (本小题共 12 分)

班级

姓名 装订线

学号

海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案

数学(理科)2016.1
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. DBABA BACCD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11. ?x ? R , x 2 ? 0 12.6
+? ) 13. (2,

14.①②③

15.

6 7

16.

3 3+ 6 3

(说明:一题两空的题目,每空 2 分) 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. (说明:对于不同与答案的解法,对照答案相应步骤给分即可)

??? ? ??? ? 1 17.解: (Ⅰ)由已知可得 AB ? (8,4), AC ? ( ? 2,4) , (或者 k AB ? , k AC ? ?2 )-------------2 分 2 ??? ? ??? ? 1 因为 AB ? AC ? (8,4) ? ( ? 2,4) ? ?16+16=0 , ( k AB ? k AC ? ? ?2 ? ?1 ) 2
所以 AB ? AC , 所以 ?ABC 是直角三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)结论可知 ?ABC 的外接圆的圆心为 (3, 4) ,半径为 5,--------------6 分 所以 ?ABC 的外接圆方程为 (x ? 3)2 ? (y ? 4)2 ? 25 . 圆心到直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 的距离为 所以 -------------------------------------------------------4 分

| 24 ? m | ,------------------------------------7 分 5

| 24 ? m | = 25 ? 32 ,--------------------------------------------------------------9 分 5

所以 m ? ?4 或 m ? ?44 .----------------------------------------------------------------10 分 18.解: (Ⅰ)因为 CC1 ? 平面 ABCD ,且 AA1 ? 平面 ABCD , 所以 CC1 / / AA1 ,-----------------------1 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AD / / BC ,----------------------2 分 因为 AA1 ? AD ? A, CC1 ? BC ? C , 所以平面 AA1 D / / 平面 CC1 B .---------3 分

C1

F

G

A1
E D A B

C

因为 AE ? 平面 AA1 D , 所以 AE / / 平面 CC1 B .---------------------------------------------------------------4 分 解法 1: (Ⅱ)因为 AA1 ? 平面 ABCD , 所以 AA1 ? AB , AA1 ? AD --------------------------------------------------------5 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AB ? AD , 以 AB, AD, AA1 分别 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则由已知可得
B(2,0,0), D(0, 2,0), A1 (0,0, 2) , E (0,1,1) ,-------------------------------------6 分

???? ? ??? ? ??? ? DA1 ? (0, ?2,2) , AE ? (0,1,1), AB ? (2,0,0) , -----------------------------------7 分 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 因为 DA1 ? AE ? 0, DA1 ? AB ? 0 , ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 所以 DA1 ? AE, DA1 ? AB ,--------------------------------------------------------8 分
所以 A1D ? 平面 ABE .---------------------------------------------------------------9 分 解法 2:因为 AA1 ? 平面 ABCD , 所以 AA1 ? AB .-----------------------------------------------------------------------5 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AB ? AD , 所以 AB ? 平面 AA1 D ,-------------------------------------------------------------6 分 所以 AB ? A1D .------------------------------------------------------------------------7 分 因为 E 为棱 A1D 中点,且 AA1 ? AD ? 2 , 所以 AE ? A1D ,----------------------------------------------------------------------8 分 所以 A1D ? 平面 ABE .----------------------------------------------------------------9 分 (Ⅲ)因为 A1D ? 平面 ABE ,且 A1 D ? 平面 EFD ,-------------------------------10 分 所以平面 EFD ? 平面 ABE .------------------------------------------------------11 分 因为平面 ABE 即平面 BEF ,

所以二面角 D ? EF ? B 为 90? .---------------------------------------------------12 分 设 CG ? ?CC1 ,且 ? ?[0,1] ,则 G (2,2,3? ) ------------------------------------13 分 因为 A1D ? 平面 ABE , BG ? 平面 ABE , 所以 A1D ? BG ,

??? ?

???? ?

???? ? ??? ? 2 所以 A1D ? BG ? (0,2, ?2) ? (0,2,3? ) ? 4 ? 6? ? 0 ,即 ? = , 3

2 所以 CG ? CC1 ? 2 .-----------------------------------------------------------------14 分 3
19.解: (Ⅰ)设椭圆焦距为 2c ,由已知可得

c 1 ? ,且 c ? 1 ,------------------------------1 分 a 2 所以 a ? 2 ,-------------------------------------------------------------------------------2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,------------------------------------------------------------------3 分 x2 y 2 所以椭圆 G 的方程为 ? ? 1 .----------------------------------------------------4 分 4 3 (Ⅱ)由题意可知直线 l 斜率存在,所以可设直线 l : y ? k (x ? 1) , ----------------5 分
? y ? k (x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 消 y 并化简整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,-------6 分 ? ? 1 ? 3 ?4

由题意可知 ? ? 0 ,设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 ,----------------------------------------------------7 分 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

因为点 C , F1 都在线段 AB 上,且 AF1 ? CB ,

???? ??? ? 所以 AF1 ? CB ,即 ( ? 1 ? x1 , ? y1 ) ? (x2 , y2 ? yC ) ,----------------------------------9 分
所以 ?1 ? x1 ? x2 ,即 x1 +x2 ? ?1 ,----------------------------------------------------10 分

?8k 2 ? ?1, 4k 2 ? 3 3 3 解得 k 2 ? ,即 k ? ? .--------------------------------------------------------------11 分 2 4
所以 x1 ? x2 ? 所以直线 l 的方程为 y ?
3 3 (x ? 1) 或 y ? ? (x ? 1) .----------------------------12 分 2 2


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