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高中物理竞赛(静力学)


力,物体的平衡
补充:杠杆平衡(即力矩平衡),对任意转动点都平衡. 一,力学中常见的三种力 1.重力 重力, 1.重力,重心 重心的定义: 重心的定义: x =
m1 gx1 + m 2 gx 2 + ,当坐标原点移到重心上,则两边的重力矩平衡. m1 g + m 2 g +

重心与质心不一定重合. 重心与质心不一定重合.如很长的,竖直放置的杆,重心和质心不重合. 如将质量均匀的细杆AC(AB=BC=1m)的BC部分对折,求重心. 以重心为转轴,两边的重力力矩平衡 力矩平衡(不是重力相等): 力矩平衡
G G =(x+0.25) ,得x=0.125m(离B点). 2 2 G G 点为转轴: +(1+0.5) =Gx′, 或以A点为转轴:0.5× 2 2

(0.5-x)

得x′=0.875m,离B点x=1-x′=0.125m. 2.巴普斯定理: 2.巴普斯定理: 巴普斯定理 质量分布均匀的平面薄板:垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程. 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x, 绕直径旋转一周, πR 3 = 2πx πR 2 ,得 x =
4 3 1 2 4R 3π

质量分布均匀的,在同一平面内的曲线:垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩 曲线的重心通过路程. 如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x, 绕直径旋转一周, 4πR 2 = 2πx πR ,得 x = 1.
2R

π (1)半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内 切圆板,如图a所示,求剩下部分的重心. (2)如图b所示是一个均匀三角形割去一个小三角形

AB′C′,而B′C′//BC,且AB′C′的面积为原三角形面积的 ,
已知BC边中线长度为L,求剩下部分BCC′B′的重心. [答案:(1) 离圆心的距离
R 2L ;(2)离底边中点的距离 ] 6 9

1 4

解(1)分割法 分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的 分割法 重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η,重心离圆心的距离 为 x. 有力矩平衡: π [ R 2 2( ) 2 ]ηx = π ( ) 2 η (
R 2 R 2 R R x), 得 x = =5cm. 2 6 R . 6

填补法: 填补法:在没挖去的圆上填上一块受"重力"方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵 消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得 x =
R . 6
1

能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和, 能量守恒法 可得 x =

(2) AB′C′的面积为原三角形面积的1/4,质量为原三角形质量的 三角形中线长度的
1 . 2

1 ,中线长度应为原 4

L ,且在中线上. 3 2L ,且在原三角形的中线上. 类似于(1)的解法,可得重心离底边中点的距离 x = 9

设原三角形BC边的中线长为L.原重心离BC边的距离为

2.

3.

思考: 思考:三根均匀杆AB,BC,CA组成三角形,其重心在哪?(内心,要用解析几何) 完全相同的4块砖,每块砖的长都为0.3m, 叠放在水平桌面 上,如图所示.求它的最大跨度(即桌边P点离最上面一块 砖右边的Q点的水平距离).(答案:0.3125m) L 1 1 1 5 解: Lm = (1 + + ) = m=0.3125m 2 2 3 4 16 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心线上,离杯底的高度为H,今将水慢慢注 入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少?(设水的密度为

ρ)(答案: h =

) πR 2 ρ 解:开始注水时共同重心在水面之上,这时如果加水,就等于在共同重心下方加质量,所 以重心将会随着水的注入而逐渐下降. 当重心下降到水面时,重心最低,因为此时如果再加水,就是在共同重心上方加质量, 重心就会升高. 重心最低时水面离杯底的距离为h应满足:ρπR hg
2

m + m 2 + 2πR 2 ρmH

h 2 +mgH=(πR hρ+m)hg, 2

. πR 2 ρ 2.弹力 弹簧的弹力( 弹力, 2.弹力,弹簧的弹力(F=kx,或F=-kx) (1)两弹簧串联总伸长x,F=? 由x1+x2=x,k1x1=k2x2,得 x 2 =
k1 x k k x ,所以 F = k 2 x 2 == 1 2 = kx . k1 + k 2 k1 + k 2

解得: h =

m + m 2 + 2πR 2 ρmH

(2)并联时F=(k1+k2)x. (3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段,每段劲度系数k′=?(10k) 4. 一个重为G的小环,套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上.一个劲度系数 为k,自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端 与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为: . (答案: cos 1
kL ) 2kR 2G

提示:力的平行四边形为等腰三角形.

2

3.摩擦力 3.摩擦力 摩擦力的方向: (1)摩擦力的方向: 静摩擦力的方向: 静摩擦力的方向:跟运动状态与外力有关. 滑动摩擦力的方向: 滑动摩擦力的方向:跟相对运动方向相反. 0 5. 如图所示,在倾角θ=30 的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G,现用 与斜面底边平行的水平作用力F(F=G/2)推物体,物体恰好在斜面上作 匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . (答案:
6 ) 3

6.

如图所示,一个质量m=20kg的钢件,架在两根完全相同的,平行 的直圆柱上.钢件的重心与两柱等距.两柱的轴线在同一水平面 内.圆柱的半径r=0.025m,钢件与圆柱间的动摩擦因数=0.20. 两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动,角速度ω=40rad/s,若 沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v=0.050m/s的匀速运 动,求推力的大小.设钢件左右受光滑导槽限制(图中未画出), 不发生横向运动.(答案:2.0N) 解:因滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反. mg 所以推力大小F=2fcosα=mgcosα= =2.0N. 1 + ( rω / v ) 2

(2)摩擦角:f和N的合力叫全反力,全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角(f达到最大)叫摩 摩擦角: -1 -1 擦角,摩擦角=tan f/N=tan .摩擦角与摩擦力无关,对一定的接触面,是一定的. 7. 水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦 因数为,则为使拉力F最小,F与水平地面间的夹角多大?F的最小值为多少? mg -1 ) (答案:tan ; 1+ 2 解:先把f和N合成一个力T,因f和N成正比,所以当 F 发生变化时 T 的大小也要发生变化,但方向不变,且

β=tan-1 N =tan-1. 这样,就把四个力平衡问题变成了三
个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F和T垂直时F最小,如右图所示.得F与 mg -1 水平地面间的夹角α=β=tan , sinα= ,F的最小值Fmin=mgsinα= . 1+ 2 1+ 2 另解:设F与水平面成α角时F最小, mg 有Fcosα-(mg-Fsinα)=0,得 F = , cos α + sin α mg sin mg , 令=cot ,代入上式得 F = = . sin( + α ) 1+ 2 8. 将质量为M的小车沿倾角为α,动摩擦因数为的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角θ 为多大时,拉力最小?最小的拉力为多大? Mg sin α + Mg cos α -1 (答案:tan ; = ) 1+ 2 解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f和 支持力N合成一个力R,因f和N成正比,所以R和N的
3

f

夹角β=tan ,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg的大小 -1 和方向都保持不变,当拉力F和R垂直时,F最小,θ=β=tan , Mg sin α + Mg cos α -1 最小值为:Fmin=Mgsin(α+β)=Mgsin(α+tan ) = . 1+ 2
-1

二,物体的平衡 1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平 1. 三力平衡特点 (1) 任意两个的合力与第三个力是一对平 衡力 (2)三力汇交原理 互不平行的三个力处于平衡, 三力汇交原理: (2)三力汇交原理:互不平行的三个力处于平衡,这三个力 的作用线必交于一点. 的作用线必交于一点. 确定墙壁或天花板对杆的弹力方向? 若墙壁与杆间动摩擦因数为,物体只能挂在什么范围? 9. 如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方 向的夹角为α.则容器面对杆A点的作用力F为多大? (答案: F = Mg tan α ) 解:F的作用线通过圆心 B点对杆的作用力N与相垂直 角度关系如图所示
sin(90 α ) 得 F = Mg tan α 2.力矩和力矩平衡 力矩和力矩平衡: 2.力矩和力矩平衡:M=FL (1)力矩的平衡条件 力矩的平衡条件: (1)力矩的平衡条件:对任意点
0

根据正弦定理

Mg

=

F sin α

∑M =0

∑ M = 0 也常用来受力分析,如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则
下面的球受到几个力作用? 对球心,根据力矩平衡可知,下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用 这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法. 这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法. 又如板与墙之间夹一球,两边的摩擦力大小相等,若相同,对球心有 M = 0 得板对球



的弹力大,可判断沿墙滑动,沿板滚动. 10. 如图所示,质量为M的立方块和质量为m的圆柱体置于倾角为α的 固定斜面上,立方体和圆柱体与斜面间的动摩擦因数都为,立 方体与圆柱体之间摩擦不计.求当平行于斜面的作用力F多大时, 立方体和圆柱体沿斜面向上匀速运动. [答案:F=(Mg+mg)sinα+mgcosα] 解: 对圆柱体,以圆心为转轴, 根据力矩平衡可知, 圆柱体与斜面间的摩擦力为零 这 (这 是确定摩擦力的常用方法). 是确定摩擦力的常用方法 所以F=(Mg+mg)sinα+mgcosα. 注意:若M和m间有摩擦,则球受两个大小相等的摩擦力,先要分析哪一接触面先达到 注意 最大,即先滑动. 11. 将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳 AC 0 与水平面平行,C点为球的最高点斜面倾角为37 .求: (1)绳子的张力. (2)斜面对球的摩擦力和弹力.
4

[答案:(1)10N;(2)10N,30N] 解:(1)取球与斜面的接触点为转轴: mgR sin 37 0 T ( R + R cos 37 2 ) = 0 ,得T=10N; (2)取球心为转轴得,f=T=10N; 取C点为转轴: f ( R + R cos 37 0 ) NR sin 37 0 = 0 ,得N=30N. 12. 一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝 码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此 砝码距A点的距离应为多少? (答案:0.1m) 解:米尺长用L表示,重用G表示,设砝码距A点的距离为x, 对悬挂点,有力矩平衡: L × G = L x × G, 解得x=0.1m. 13. 两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A, ,静止时如图所 B 0 示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是MA=2MB,α=45 ,求θ. 0 (答案:45 ) 0 (对整体,根据对O点的力矩平衡,θ=α=45 ) 14. 水平路面上有一根弯成直角的铁条ABC,AB段和BC段的长度相等,质量分 别是M1和M2,通过系在角顶B的绳子用平行于路面的力匀速地拉铁条,如 图所示,求绳子必须与AB成多大的角. (答案: θ = π tan 1 (根据摩擦力矩对B点的力矩为零,得 θ = π tan 1
M1 M2 M1 ) M2
1 4 1 4 5 3

(2)二力杆 两端受力的杆,力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡) 二力杆: (2)二力杆:两端受力的杆,力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡). 15. 如图所示,每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内,已知A,B两处与 地面间的动摩擦因数分别为A=0.2,B=0.6,C点用光滑的铰链连 接,不计梯重,求人最多能爬多高.(答案:0.45L) 解:若B端开始滑动,AC为二力杆,地面对A端的作用力方向 与竖直方向夹角为30°, -1 -1 而A点对应的摩擦角αA=tan A=tan 0.2<30°.AC杆不能衡. 若A端开始滑动,AB为二力杆,地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30°,而B点对应 -1 -1 的摩擦角αB=tan B=tan 0.6>30°.AB杆能衡. 所以人必须从A点沿梯上爬,此时B端受到地面的作用力沿着BC方向. 对整体,根据三力共点,人的重力作用线必通过FA和FB的交点. 设人的水平距离为s,有几何关系(两边高相等):scotαA=(L-s)cot30°, 得s=0.26L,最大高度H= 3 s=0.45L. 16. 如图所示,一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一 细棒相连,两棒的长度相等,两棒限以图示的竖直平面内运动,且不计 铰链处的摩擦,当在C端加一个适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在 图示的位置处,即两棒间的夹角为90°,且C端正好在A端的正下方. (1)不管两棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向的范围内?说明道 理(不要求推算). (2)如果AB棒的质量为m1,BC棒的质量为m2,求此外力的大小和方向.
5

[答案:(1)F的方向与AC夹角范围18°.24′-45°间;(2) F =
1

解(1)设F的方向与AC夹角为θ,如果当m1质量很小时,AB对BC的作用力沿AB方向,则

1 2 g 2m12 + 10m 2 + 8m1 m 2 ] 4

F的方向必交于AB的中点,θ=45°-tan-1 2 =18°.24′;
如果当m2质量很小时,则F的方向沿BC方向,θ=45°. 所以F方向的范围是θ=18°.24′-45°间. (2)以A为转轴,对两棒有: (m1 + m 2 ) g × 以B为转轴,对BC有: m 2 g ×
L sin 45 0 = F × 2 L sin θ ---2

sin(45°-θ)=sin45°cosθ-cso45°sinθ---有 式得F的大小: F =

L sin 45 0 = F × L sin( 45 0 θ ) ---2

1 2 g 2m12 + 10m 2 + 8m1 m 2 ; 4 m + m2 F的方向与竖直线的夹角θ= tan 1 1 . 3m 2 + m1

可见,m1=0时,θ= tan 1

1 = 18°.24′;m2=0时,θ= tan 1 1 = 45°. 3

3.物体的平衡条件 =0; 物体的平衡条件: 3.物体的平衡条件:F=0;M=0 B 17. 质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A,之间,已知绳的悬挂点处的切线与水 mg mg cot α 平面夹角为α,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力. (答案: , ) 2 sin α 2 18. 如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数 时,无论水平推力F多大,物体 为.则当斜面倾角α大于 -1 不可能沿斜面向上运动(答案:cot ) 无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动,这种情况称 为自锁 自锁. 自锁 如放在水平地面上的物体,跟水平面之间的动摩擦因数为.推力F与水平面之间的夹角 为α,则当α大于时,无论水平推力F多大,物体不可能运动. mg 有Fcosα=(mg+Fsinα),得 F = ,推不动:cosα-sinα=0,cotα=. cos α sin α 或Fcosα(增加的动力)≤Fsinα(增加的阻力),得cotα≤. 19. 有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水 平轻绳BC拉住.板上依次放着1,2,3三上圆柱体,半径均为r,重均 为 G.木板与墙的夹角为 θ(如图所示).一切摩擦均不计,求 BC绳的 3Gr 1 1 + 2 sin θ 张力. [答案: T = ( + )] L 1 cos θ cos θ 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同. 解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡 求出BC绳的张力.比较麻烦. 解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张 力.但弹力的力臂比较难求. 解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcotθ. 再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的 作用力N(N对A点的力矩为零).
6

对A点,有力矩平衡 TAC = N 1 AD + 3G (r + 2r sin θ ) θ 式中 AD = r / tan , AC = L cos θ
2

有上述四式可行 T =

3Gr 1 1 + 2 sin θ ( + ). L 1 cos θ cos θ

20. 一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙 间的静摩擦因数分别为1,2.求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角. 1 1 2 (答案: α = tan 1 ) 21 解法1:设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为α, 则有f1=1N1, f2=2N2(同时达到最大,与上题有区别) 水平方向:1N1=N2,竖直方向:2N2+N1=G, 得:G=2N2+N2/1-----取A点为转轴:
L G cos α LN 2 sin α L 2 N 2 cos α = 0 ----2 1 1 2 1 1 2 解得 tan α = ,即 α = tan 1 . 21 21

解法2:地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点(如图的D点) 则有:tan1=1,tan2=2, 有几何关系: tan α = 可解得: α = tan 1
BC DH DE DH DE 1 1 = = = cot 1 tan 2 , AC 2 AH 2 AH 2 EB 2 2

1 1 2 . 21

三,平衡的种类 1.平衡的种类 稳定平衡;随遇平衡;不稳定平衡. 平衡的种类: 1.平衡的种类:稳定平衡;随遇平衡;不稳定平衡. 2.判断平衡种类的方法 力矩比较;支持面判断;重心升降. 判断平衡种类的方法: 2.判断平衡种类的方法:力矩比较;支持面判断;重心升降. 21. 粗细均匀,长为L,密度为ρ的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水 ρ 的密度为ρ′,ρ′>ρ),则木杆浸没水中的长度至少为多少时,木杆才能竖直. (答案: L) ρ′ 力矩比较: 力矩比较:竖直的条件是恢复力矩L′Sρ′g × 木杆浸没水中的长度至少为得 L ′ =
ρ L ρ′
L′ L sinα=LSρg × sinα, 2 2

22. 边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,如 图所示,假定静摩擦力很大,足以阻止立方体下滑,试证明物体的 稳定平衡的条件为r>a/2. 解法1 支持面判断: 解法1,支持面判断:a作微小转动时,均匀立方体与圆柱面接 触点移动的距离等于弧长=rα,此时重力垂线与均匀立方体底交点 移动的距离=
a tanα. 2

注意:作微小转动α→0, tan α = sin α = α ,且弧长等于弦长. 注意
7

稳定平衡的条件为rα>

解法2 重心升降法(最常见的解法): ):设均匀立方体的重心为O ′,原来与球面的接 解法2,重心升降法(最常见的解法): 触点为A,转过一个微小角度α后的接触点为B. 注意:圆心角,弦切角和切线间的夹角关系. 注意 a cos α O′A的高度为: ; AB的高度为:rαsinα; OB的高度为:rcosα.
2

a a tanα,得r> . 2 2

稳定平衡的条件:

a cos α a + rαsinα+ rcosα- -r>0, 2 2

当α很小时:sinα=α,cosα= 1 2 sin 2

α
2

= 1

α2
2

.代入上式得:r>

a . 2

23. 如图所示, 一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆, 尖两端的曲率半径分别 为a,b,且长轴的长度为c,蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳 定平衡,若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡,半球形碗 的半径应满足什么条件?(答案: R <
ca b) c a b

重心升降: 说 重心升降:因蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡, 明重心在O1处,重心离蛋的尖端的距离为c-a. 把半球形碗的球心记为O,使蛋转过一个微小的角度θ,蛋与碗的接触点为A,有数学知识易 知,O,O2,A三点共线,设OA与竖直线的夹角为,则有:R=bθ----设蛋的尖端为B,最低点为C,半球形的碗的最低点为D,半径为R,A点比B点低,比C点高. 则O1B的高度为:(c-a)cos(θ-) θ BC的高度为:b(θ-)sin (弦切角等于圆心角的一半)

CA的高度为:bsin


2

2

,

AD的高度为:R sin
θ
2


2

稳定条件:(c-a)cos(θ-)+b(θ-)sin 当α很小时:cosα=1-

-bsin


2

+Rsin


2

-(c-a)>0--

α2
2

,sinα=α.有

式,得:(R-b)[(c-a-b)R-b(c-a)]

2
2

<0

因R>b,所以(c-a-b)R<b(c-a),即 R <

ca b. c a b

四,流体静力学: 流体静力学: 流体对接触面的压力与接触面垂直. 1,流体对接触面的压力与接触面垂直. 浮力的大小等于上下压力差. 2,浮力的大小等于上下压力差. 2 2 如:大气压强为P气体对半球面的压力F=πPR (不是2πPR ). 24. 如图所示,有一质量为m,半径为r的半球放在盛有密度为ρ的液体的 容器底部,它与容器底部紧密接触(即半球表面与容器底面间无液 体),液体的深度为H.求半球对容器底部的压力. [答案:F=ρgπ(Hr 2

2r 3 2 )+mg+P0πr ,P0为大气压强] 3

解:液体对半球的压力可等效于:若液体对半球底有向上的压力,则向上的压力与向下的 压力差等于浮力, 3 2πr 3 2 2 2r 则F向下=F向上-F浮=ρgHπr -ρg× =ρgπ(Hr ),
3 3
8

所以半球对容器底的压力F=F向下+mg=ρgπ(Hr 2

2r 3 )+mg. 3

[若要考虑大气压强,则F=ρgπ(Hr 2

2r 3 2 )+mg+P0πr ]. 3

25. 如图所示,质量为m 的碗反扣在装满水的较大密闭容器底部.碗 外形是半径为R,高也为R的圆柱,碗内是一个半径同样是R的半 球空穴而成碗.在碗内装满水银.现将水从容器底部的出口慢慢 抽出.求:(1)水面的高度H等于多少时,碗内水银开始从碗口 下边流出. (2)容器内的水全部抽出时,碗内的水银高度h为多少. (已知:水银的密度为ρ1,水的密度为ρ2,高为H,半径为R的的球缺体积为 V = πH 2 ( R 不计水蒸汽压力) [答案:(1) H = R(1 +
ρ1 m 3m ;(2) h = 3 ] ) 3ρ 2 πρ 1 πρ 2 R 2
H ), 3

解(1)碗受四个力作用:水银对碗的托力F1,水对碗底的压力F2,容器对碗的支持力N, 碗的重力mg(因碗封口,外部的水压不能传给碗内的水银), 当N=0时,水银开始流出,有F2+mg=F1. 水银对碗的托力F1的求法可等效于:把碗放在高为R,宽也为R的水银中的浮力, 3 3 2πR 所以F1=ρ1g(πR )= V碗 ρ1 g .
3

有ρ2g(H-R)πR +mg=ρ1gπR -ρ1g×
2 3

ρ m 2πR 3 ,得: H = R(1 + 1 ) . 3 3ρ 2 πρ 2 R 2
Rh 1 )] = πh3 . 3 3

解(2)容器内的水全部抽出时,F1=ρ1gV=mg. 体积 V = πR 2 h [ πR 3 π ( R h) 2 ( R 解得碗内的水银高度 h = 3
3m 2 3

πρ 1

.

26. 在圆椎形筒内盛有两种密度分别为ρ1和ρ2的液体,(ρ1<ρ2),如图 所示.当这两种液体均匀混合后,液体对筒底的压强怎样变化?(与原 来比较) (答案:压强减小) 解: 原来液体对筒底的压强P2=ρ1h1g+ρ2h2g. 设ρ为平均密度,则液体对筒底的压强P2=ρhg=ρ(h1+h2)g;

S1和S2为上下两种液体的平均截面;S为液体混合后的平均截面(不能取 S = (

S大 + S小

2

).

则混合后液体的体积不变:hS=h1S1+h2S2---(1) 混后液体的质量不变:ρhS=ρ1h1S1+ρ2h2S2---(2) 有(1)和(2)得(ρ2-ρ)h2S2=(ρ-ρ1)h1S1,因S1>S2,所以(ρ2-ρ)h2>(ρ-ρ1)h1, 于是得到ρ(h1+h2)<ρ1h1+ρ2h2,即液体对筒底的压强减小. 用定性分析: 用定性分析:上下混合后与筒底对应的圆柱部分的液体的密度减小,因混合后液体的体 积和质量都不变,即总深度不变,所以压强液体对筒底的压强减小. 五,综合题例
9

27. 一支蜡烛浮在水面上,且始终保持竖直,露在水面上部分的长度为h.已知水的密度为ρ,蜡 烛的密度为ρ′(且ρ′<ρ),点燃蜡烛,蜡烛的长度每秒缩短a,从开始点燃蜡烛到火焰熄灭的时 ρh 间是 . (答案: ) ( ρ ρ ′)a 28. 一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示. 试问: (1)这个物体的质量小于何值时,三个物体平衡将破坏? (2)这个物体的质量大于何值时,三个物体平衡将破坏?不考虑 滑轮的质量和摩擦. (答案:(1) m < 2 3 kg;(2) m>6Kg) 解(1)因所挂的质量m越小,所以O点靠近A点,OB趋向水平,OA与水平面有夹角. 对O点受力平衡: (mg ) 2 + (2 g ) 2 = (4 g ) 2 , 得m = 2 3 kg. 即当 m < 2 3 kg时,三个物体平衡将破坏. (2)m越大,OB和OA都趋向于竖直,所以当m>6Kg时三个物体平衡将破坏. 29. 如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一 端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用 时,木块对 AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N, 那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? (答案:11.25N) 解:木块静止时弹力为10N,可得杆重G=20N 向左拉时:N1Lcosα+N1Lsinα=G
L 1 cosα,或N1sinα= Gcosα-N1cosα 2 2 L 1 向右拉时:N2Lcosα=N2Lsinα+G cosα,或N2sinα=N2cosα- Gcosα 2 2 9 10 9 两式相比得 = ,得N2=11.25N N 2 N 2 10

30. 半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE 悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.已知悬点A到球心的距为L,不 考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的 夹角θ. [答案:θ=arcsin
M2R ] L( M 1 + M 2 )

解:球受重力M1g,AD绳受拉力为T,ACE压力为N, 因重力M1g通过圆心,N也通过圆心(但不是不平方向), 所以T也通过圆(三力共点),OA=L. 取整体为研究对象对A点的力矩平衡,M1gOB=M2gBC, 或M1gLsinθ=M2g(R-Lsinθ),得θ=arcsin
M2R . L( M 1 + M 2 )

31. 有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为10Kg.现有一较大的西瓜,超过此秤的量程.店 员A找到另一秤砣,与此秤的秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起进行称量,平衡时双砣位 于6.5Kg刻度处.他将此读数乘以2得13Kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客.店员B对这种称量 结果表示怀疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得8Kg,用店员A的双秤砣法称量, 得读数为3Kg,乘以2后得6Kg.这证明了店员A的办法是不可靠的.试问,店员A卖给顾客的那 个西瓜的实际质量是多少? (答案:15Kg) 解:设秤砣的质量为m0, 点为秤纽与秤杆连接点,秤盘到秤纽的距离为d,零刻度O点到C C
10

点的距离为L0(在秤纽里,左边L0为负值), 则秤盘和秤杆重力对C点的力矩大小为m0L0. 秤物体时,有力矩平衡:mgd+m0gL0=m0g(L0+x), x=dm/m0∝m,刻度均匀(不一定从C点开始).为方便,设每千 克间距为λ , 当秤质量为 m 的物体时读数为 m 1:mgd+m0gL0=m0g(L0+λm1),得
m1 = mgd + m 0 gL0 L0 m 0 gλ λ

.
mgd + m 0 gL0 L0 2m 0 gλ λ

当双秤砣秤质量为m时读数为m2,mgd+m0gL0=2m0g(L0+λm2),得 m 2 =

.

实际质量与双称砣称得质量2倍的差为m=m1-2m2=L0/λ=常量, 对同一秤与质量无关,与O位置有关.有B店员得m=2Kg,实际质量为m=2m2+m=15Kg. 32. 半 径 为 R 的 钢 性 光 滑 球 固 定 在 桌 面 上 , 有 一 个 质 量 为 m 的 均 匀 弹 性 绳 圈 , 自 然 长 度 为 2πa(a=
R ).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这 2 ( 2 + 1)mg T 时绳圈的半径增为b(b= 2 a),求绳圈的倔强系数. [答案: K = = .] x 2π 2 R

解:F为水平方向(如图A),对一小段绳研究:
b = 2a = 2 R / 2,∴α = 45 0 , 则F = tan αmg = mg ,

竖直投影(如图B),F=2Tsin 因θ→0,所以 F = 2T × 又因为

θ
2

,
mg , θ

θ
2

= mg , T =

mg m m = ,所以 T = , θ 2π 2π

弹簧伸长 x = 2π

2 R R 2π , 2 2 ( 2 + 1)mg T 所以绳圈的倔强系数: K = = . x 2π 2 R

33. 半径为 r,质量为 m 的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒 (上,下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保 持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m, 半径为R的第四个球,放在三个球的上方正中. 四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为= 3 / 15 (约等于0.775).问R取何值时,用手轻轻竖直 向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? [答案: (
2 3 32 3 1)r < R ≤ ( 1)r. ] 3 33

解:当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势, 互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心 和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示. 对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N2sinθ-3f2socθ=mg---(或下面的小球,对球与筒接触点为转轴, 力矩平衡N2rsinθ+mgr=f2r(1+cosθ)) 再对四个小球为整体,在竖直方向3f1=4mg----------下面的小球,对球心为为转轴,有力矩平衡条件f1r=f2r,得f1=f2---11

对下面的小球,取f1和f2作用线的交点为转轴,有力矩平衡得N1>N2,故大球与小球接触处先 滑动(这是确定何处先滑动的常用方法)而大球沿筒滚动, (这是确定何处先滑动的常用方法) 当R最大时:f2=N2-------------有上述四式得:128soc θ+24cosθ-77=0,解得:cosθ=
2

11 , 16

因 cos θ =

2 11 32 3 ,所以 R = ( 3r /(r + R) = 1)r . 3 16 33

但上面的小球不能太小,否则上球要从下面三个小球之间掉下去,必须使 R > ( 故得 (
2 3 32 3 1)r < R ≤ ( 1)r. 3 33

2 3 1)r . 3

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