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山重水复疑无路 柳暗花明又一村——一道高中数学联赛题的视角转换


《 数学之友》  

2 0 1 5 年第 8 期 

山重水复疑无路 柳暗花明又一村 
解 题 探 索 


道 高 中数 学联 赛题 的视 角转换 
黄 海 
( 南京师范大学数学科学 学院 , 2 1 0 0 2 3 )  

解析几何是高中课题 中的一个重、 难点部分 , 通 
常此类 问题 的解决 都离 不开 直线 方程 、 曲线 方程 、 向  量、 数量 积 等这 些 字 眼 , 特 别 是 直 线 与 曲 线 方 程 联  立, 更是 最 常见 的通 性 通 法 中 的一 种. 然而 , 基 于 数  学 学科 的 自身特点 , 所 谓 的通 性 通 法 经 常在 数 学 问  题 解决 过程 中是无 法 派上 用 场 的. 当数 学 思 维僵 化  于走不 通 的一条 路 径 中时 , 是不 是更 应 该 转 换 一下  视角来 打 破 自己的僵 局 呢?下 面 的这 道 高 中数 学联  赛题 , 当从 通性通 法 中无 法得 出最终 答案 时 , 换 个 角 
度来 思考 便会有 意想 不 到 的收获.   例题 : 直线  一 2 y一1 =0与抛 物 线 Y  = 4 x交 于 

式, 因而能够想 到解法 一的学生说 明对 于高 中解 析几  何 的本 质 已经 掌握 得很 牢靠 了. 从 知 识层 面来 讲 , 知 

识掌握程度已经很熟悉了, 但是从思维层面来说 , 还 
欠 缺 一 点 思考 在 其 中. 因为解 法 一 对 于高 中学 生来  说, 要 想达 到全对的 目标 , 似乎 不太好 办. 看解 法一 中 

的①式 , 是一个关于 t 的一元四次方程 , 其求解公式  不是一蹴 而就 的事情 , 也就 是说 , 一 般 学生 能 够通 过 


系列 的复杂运算会得 到① 式 的结 果 , 但是这 个一 元 

四次方程却阻碍了更多学生的继续解答.   再仔 细看 看这 个一 元 四 次方 程 : t  一 5 6 t  一1 2 8 t  
4 8= 0 , 其 中的数 值不像 我们 平 时接触 的高 次方 程  存在特殊的数值关 系 , 能够凭借平时积累的数感解  决 高次 方程 , 但这 个 高 次方 程 从 表 面 上很 难 看 出其 


A、 B两 点 , c为 抛 物线 上 的 一点 , / _ A C B=9 0 。 , 则 c  
点 的坐标 为  .  

解 法 一: 设A (  , Y   ) , B (  , Y 2 ) , C (  , ‘ ) ,  
由  。 ’  

中 的特 殊数 字关 系 , 如 果用 单 纯 的 因式 分解 的方 法  来解决 是存 在 相 当的难度 的.   然而 , 山重 水 复 疑无 路 , 柳 暗 花 明 又一 村 , 当 思 

得Y   一8 y一 4= 0 , 贝 0   Y 1 + Y 2 =8 , Y 1 ? Y 2 =一 4,  
又 1 =2 y l+1 ,   2=2 y 2+1 ,  

路停留在原布 的基础上无法挣脱时 , 应该考虑如何  转换 一个 视角 , 来获 得更 多 的出路 , 解法 二抛 弃 了传 
统 的 向量 数量 积 和直 线 曲线 的思 路 , 而是 将 题 中点  的轨迹综 合 成一个 圆 的方 程 , 通 过 圆 与抛 物 线 的联 
立 得到 方程 结果.  

所 以 1 +   2 = 2 ( y 1 + Y 2 )+ 2=1 8,   X 1   2 = 4 y 1 Y 2 + 2 ( Y l + Y 2 )+ 1=1 .   因为/ _ A C B= 9 0 。 , 所 以C A? C B= 0 .  

解法二: 设A (   。 , Y 。 ) , B (  , Y 2 ) , c I  , t l ,  
由   。 ’  

即 有 : ( 等 一   ) ( 等 _   z ) + ( t - Y a ) ( t - Y   ) : 0 ,  
即:   t 一(  - +  : )×   : +£  一( ) ,  + y 2 ) t +  

得Y   一8 y- 4= O, 贝 0   Y l + Y 2 =8 , Y 1 ? Y 2 =一 4,  

Y l Y 2 = 0 , 即: t   一 5 6 t   一 1 2 8 t 一 4 8 : O . ①  解析 : 解法一是高中解析几何中最常规的通 I 生 通  法, 通过 向量的数量积来建立未知点之 间的坐标关  系, 而未知点之间的坐标关系又通过直线与圆锥 曲线  之 间的联 立并运用 韦达定 理得 到定 量关 系 , 进 而一步  步将未知数的个数稳定在一个变量上 , 以此来达到求  解的目的. 对于解法一来说 , 其体现的思维就是一个 
思维 熟练 的过 程 , 学 生在 经过 大 量训 练 之后 , 不 难想  到直 线与方程联立 , 不难想 到用数量 积 的关 系建立 等 


又 1 = 2 y 1 +1 ,   2 =2 y 2 +1 ,  

所 以 l +   2= 2 ( Y 1 + Y 2 )+ 2=1 8 ,  
X l   2 = 4 y 1 Y 2 + 2 ( Y l +   )+ 1=1 .  

抛 物线 的焦 点 坐标 F( 1 , 0 ) , 而 直 线  一2 y一1  


0经 过 点 F, 故而线 段 A B 是 过 焦 点 的线 段 , 则 

I ABI=  1+1+  2+1=2 0 .  

@A B 的 中 点 D 的 坐 枥 沩 f   芸   ,   1 : ( 9 ’ 4 ) .  
又/ _ A C B= 9 0 。 , 故而 C是 以 A B为直 径 、 以 D 为 

圆心 的 圆上 的一点 , 同时这个点 还 在抛 物线 上 , 因此 

8 4.  

《 数学之友》  

2 0 1 5 年第 8 期 

C点 的轨 迹方程 为 : (   一9 )  +( Y 。 一 4)  =1 0 。 .  
, .







t =一 2或 t =一 6 .  

2  

.2  

且 口 : ( 7 -   一 9 ) + ( £ 一 4 )   = 1 0 0 .  
等式两边同时乘以 l 6 ,  

故而 C点的坐标为( 1 , 一 2 ) , ( 9 , 一 6 ) .   总结 : 数学是一门技巧性很强的学科, 数学课堂  中, 教师经常强调同一类问题可以利用通性通法来解 

得  - 5 6 t   一 1 2 8 t 一 4 8 = 0 .   ②  ( 注: 圆与方程联 立得到的② 与解 法一得到 的   ①式有异曲同工之妙 , 然而, 在解决一元四次方程的  
过程 中, 解法二有着得天独厚的优势. )   因为抛物线与圆有 四个交点 , 其中两个交点为  A、  两 点 ,   则可知②式必含有因式 t   一 8 t 一 4 ,  
故 可设 : t  一 5 6 t  一1 2 8 t 一 4 8=( t   一8 t 一 4 ) ( t   +  
a t +6 )= 0,  

决, 看到相应的信息就要对应着_ 一 一 定的知识结构, 但  是, 在课堂教师教给学生的一一对应关系只是针对数  学问题 中的一部分而已, 真正的数学思维的训练是要  做到灵活运用 , 能够善于转换视角. 转换视角就要求  学生能够在数学学习过程中, 首先做到丰富自我思维 
中的数学知识结构 , 其次是有勇于探索真理的精神 ,   最后就是要时刻牢记、 提醒 自己不要陷入“ 只缘身在  此山中” 的窘境 , 适时的跳出自己的执念 
参考 文献 :  

根据常数项可知 : b? ( 一 4 ) =一 4 8  6 = 1 2 .   根 据 三次项 可 知 : a一 8= 0 = = > 口= 8 .  
? . .

t  一 5 6 t  一1 2 8 t 一4 8=( t  一8 t 一4 ) ( t  +8 f +  

[ 1 ] 单撙. 数学竞赛研究教程 [ M] . 南京: 江  苏教育 出版社 , 2 0 0 9 .  

1 2 )= 0 ,  

‘ ?

分析 : 三角 变形 是定 义 域基 础上 的恒 等变 形.  
? .

专 


≥ 3 ) , 。 ? 。 S   - 0 ’ s 2 - 1 ,  
( n∈N’ )
.  

s   = 丛 

n l  一  J  

o s ( }詈 ) ,  

3 . 2 解析 几何 问题 

其 定 义 域 为 {   I   ≠ 詈 一 2 k 1 r , . i } ∈ z ) ,   递 减 区 间 为 ( 詈 + 4 | j } 盯 , 誓+ 4 J j } 1 T ) , J l } ∈ z .  
3 . 1 数 列 问题  

在解析 兀 侗求曲线的方程中, 动点 P (   , y ) 就是一  个变量, 所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性  例 6 设抛物线 y 2 = 4 p x ( p> 0 ) 的准线与  轴  的交点为  , 过点  做直线 z 交抛物线 于 A , B两 
点, 求线 段 A B 中点 、 P的轨迹 方程.   简解: 设 P( x , Y ) ,  
?
.  

M(一 P , 0 ) , . 。 . 可设 l : y=k ( x+ p ) .  

再 联立方 程 y 2 = 4 p x ,   得到 k 2 x   +( 2 k   P一 4 p )  +j j }   =0 ,  
△ =( 2 k   一 4 p )  一 4 I } I   P   =一 1 6 k 2 p  +1   > 0  
I }  <1   一1<k<1且 k #O .  

函数的定义域实质是变量的允许值范围 , 在高  中数学的其他 内容也有涉及变量 的, 都应及时考虑 
其取值范围, 在数列题中, n 就是一个变量 , 应关注 / 7 ,  
的取 值 范 围.  

义  v  一   ! !   一 — 2 p - — k 2 p  
= —  =—   广

例 5 已知数列 { o   } 满足 s   =  口   ( n ∈N‘ ) ,  

,  

J s   是{ a   } 的前 n 项和, a   = 1 , 求S   .  

, , = 后 (  

+ p ) = _ 2 e    

简解: 当n ≥ 2 时, . s   = 詈( s   一 . s   一   ) ,  
.  一  

消去 k 得Y   = 2 p (  + p ) (  > p ) .   定义域虽小 , 但 它对数学问题 的解决有一石激  起千层浪的效应 , 忽视定义域对解题的影响 , 很有可  能会落个“ 一着不慎 , 满盘 皆输” 的下场 , 因此在教 



S   一



’  

  一 - 妻 - S& .   ……   . .   一 = { 一 3     4   …… } 5  一 ?   一 / 7 ,   I , Z …     J , .  学 中要特别强调定义域的重要性.
? . .

?

8 5?  



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