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平面向量与向量方法的应用(竞赛辅导材料)


平面向量与向量的方法的应用 江西省宁都县宁师中学 廖东明 一、用向量表示三角形的“心” (重心、内心、垂心、外心) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 三角形“四心”的向量的统一形式: X 是 ?ABC 的心 ? ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 . 引理:若 X 是 ?ABC 内的一点,则 S?XBC : S?XAC : S?XA

B ? ? : ? :?

? ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 . 证明: 这里只证明 ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 ? S?XBC : S?XAC : S?XAB ? ? : ? :? ( ? , ? ,?
均为正数) .作 XM ? ? XA , XN ? ? XB , XP ? ? XC ,则 XM ? XN ? XP ? 0 .容易 证明点 X 为 ?MNP 的重心.于是

S?XBC S?XNP

?? 所以 S?XBC : S?XAC : S?XAB
练习:

S?XBC ?

1

S?XNP ?

? ? ? S?MNP ,同理 S?XAC ? S?MNP , S?XAB ? S?MNP , 3??? 3??? 3??? ? ? : ? :? .

1 | XB || XC | sin ?BXC 1 2 ? ,所以 ? 1 | XN || XP | sin ?NXP ?? 2

取 ? ? S?XBC ,则 ? ? S?XAC ,? ? S?XAB , S?XBC ? XA ? S?XAC ? XB ? S?XBA ? XC ? 0 . 1. GA ? GB ? GC ? 0 ? G 是 ?ABC 的________心. 2. a ? IA ? b ? IB ? c ? IC ? 0 ? I 是 ?ABC 的________心. 3. sin 2 A ? OA ? sin 2B ? OB ? sin 2C ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的________心.

OA ? OB ? OC ? O 是 ?ABC 的________心. 4. H 在 ?ABC 内部,则 tan A ? HA ? tan B ? HB ? tan C ? HC ? 0 ? H 是 ?ABC 的
________心.

2

2

2

HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ? H 是 ?ABC 的________心.

HA ? BC ? HB ? AC ? HC ? AB ? H 是 ?ABC 的________心.
当你学完正弦定理和余弦定理后,会有更多的表示方法.

2

2

2

2

2

2

AB AC 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. ? | AB | | AC | 6. AB ? AC 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. AB AC 7. 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. ? | AB | ? cos B | AC | ? cos C 8 . 已 知 A, B, C 是 坐 标 平 面 内 不 共 线 的 三 点 , O 是 坐 标 原 点 , 动 点 P 满 足 1 O P ? [ (1?? )O A? (1 ?? ) O B? (1 ? ?2 O )( C ? ]? R ) , 则点 P 的轨迹一定经过 ?ABC 的 3
5. ________心. ( 答 案 : 1 . 重 心 . 2 . 内 心 . 3 . 外 心 . 4 . 垂 心 ( 提 示 : H 为 ?ABC 的 垂 心

?

?ABC 内 部 , 所 以 2S cos C , 所 以 HA ? HB ?| HA | ? | HB | cos ?BHA ? ? | HA | ? | HB | cos C ? ? ?HAB sin(180 ? C ) 1 1 1 S?H A ? H A? t Ha Bn , C S?HAC ? ? HA ? HC tan B , S?HBC ? ? HB ? HC tan A . 同理 B ? 2 2 2

HA? HB? HB ? HC? HC ? HA . 因 为 H



又 S?XBC ? XA ? S?XAC ? XB ? S?XBA ? XC ? 0 ,所以 . 5 .内心. 6 .重心. 7 .垂心.提示:设 tan A ? HA ? tan B ? HB ? tan C ? HC ? 0 ) AB AC AB AC AP ? ( ? ) ,则 AP ? BC ? ( ? ) ? BC | AB | ? cos B | AC | ? cos C | AB | ? cos B | AC | ? cos C

? ? | BC | ? | BC |? 0 , 所 以 AP ? BC ) 。 ) 8 . 重 心 . 提 示 : 1 OP ? [OA ? OB ? OC ? ? (OC ? OA) ? ? (OC ? OB )] 3 1 ? [OA ? OB ? OC ) ? ? ( AC ? BC )] , 所 以 AP ? BP ? CP ? ?? (CA ? CB) , 设 3 C D ? C ? A ,则 C? B CA ?CB ? 3 CP ? ? ?CA ( ?CB ) ,即 3CP ? (1 ? ? ) CD .因为 CD 经 过 AB 的中点, C, P, D 三点共线,所以 P 的轨迹一定经过 ?ABC 的重心. )
二、三角形形状的判定 1. O 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC)(OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则三角形 形状为_______三角形. 1.解:由条件,得 CB(OB ? OA ? OC ? OA) ? 0 ,即 ( AB ? AC )(AB ?AC ) ? 0 ,所 以 AB ? AC ,即 | AB |?| AC | .所以 ?ABC 是等腰三角形. 2.已知非零向量 AB 和 AC 满足条件 ( 则 ?ABC 是___________三角形. 2.解:设 AD ?
2 2

AB AC AB AC 1 ? ) ? BC ? 0 ,且 ? ? , | AB | | AC | | AB | | AC | 2

AB AC ,则 AD 为 ?BAC 的角平分线;又由 AD ? BC ? 0 得到 ? | AB | | AC |
AB AC 1 ? ? 得到 ?A ? 60 ,所以 ?ABC 为等边三角 | AB | | AC | 2

AD ? BC ,所以 AB ? AC .由

形. 3 . 在 ?ABC 中 , P 是 BC 边 的 中 点 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

c AC ? a P? A b P? B 0 ,则 ?ABC 的形状为__________.
3.解:因为 P 是 BC 边的中点,所以 cAC ? aPA ? bPB ? c AC ?

a?b a ?b 1 ) AC ? AB .因为 AB 与 AC 不共线,所以 ? b( AB ? AC ) ? 0 ,所以 (c ? 2 2 2 a?b c? ? 0 且 a ? b ? 0 ,所以 a ? b ? c ,即 ?ABC 为等边三角形. 2
三、向量分解问题 1 . 如 图 , 两 块 斜 边 长 相 等 的 直 角 三 角 板 拼 在 一 起 . 若 AD ? xAB ? yAC , 则 x ? __________, y ? __________. 1 . 解 : 不 妨 设 AB ? AC ? 1 , 则 DE ? B C? 2 ,

1 a( AB ? AC ) 2

3 6 . 由于 CA ? AB , 所以过点 D 作 AB 的 ? 2 2 垂 线 , 与 AB 的 延 长 线交 于点 M , 则 ?BDM ? 45 . ∵ BD ? 2 ?

AD ? x AB ? y AC, AB ? AC ? 1 , ∴ x ? AB ? BM ? 1 ?

6 2 2? 3 , ? ? 2 2 2

y ? DM ?

6 2 3 . ? ? 2 2 2

2. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 . 如图所示, 点C 在 以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值 是________. 解法1:设 ?AOC ? ? ,由 OC ? xOA? yOB可 得,

? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, , ? OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB . ? ? 1 ? cos ? ? x ? y, ? ? 2 即? ?cos(120 ? ? ) ? ? 1 x ? y. ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? 最大值是 2 . 解 法 2 : 以 点 O 为 坐 标 原 点 , OA 为

?
6

)?2. ∴x? y的

1 3 ,由 OC ? xOA ? yOB 可得, B(? , ) .设 C (sin ? ,cos ? ) ( ? ? [0, ] ) 3 2 2 1 1 3 3 s ? x ? y , sin ? ? (cos ? ,sin ? ) ? x(1, 0) ? y(? , ) , ∴ c o ? y , ∴ 2 2 2 2 ? 3 2 3 x ? c o? s? s ? i, ny ? sin ? ,∴ x ? y ? cos? ? 3sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 , 6 3 3 ∴ x ? y 的最大值是 2 . 解法3:设 ?AOC ? ? ,过点 C 作 OB 的平行线交 OA 于点 D ,过点 C 作 OA 的平行 线 交 OB 于 点 E , 由 | O A | ? | O B? | | O C? | 及 1 OC ? xOA ? yOB 可 知 , | OD |? x ,
| OE |?| DC |? y . 又 ? O A , O? B? 1 2, 0 在 ?DOC 中 , 由 正 弦 定 理 得

x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 A(1, 0) , 2?

1 x y 3 2 3 ? ? , ∴ x ? cos ? ? sin ? , y ? sin ? , ∴ sin 60 sin(120 ? ? ) sin ? 3 3 ? ? y 的最大值是 2 . ? n ?( ?,∴ ) x2 x ? y ? c o?s? 3? s? i2 ns i 6 3.O 为 ?ABC 内一点,?AOB ? 150 ,CO ? AO ,| OA |? 1 ,| OB |? 2 ,| OC |? 3 ,
设 OC ? xOA ? yOB ,则 x ? y ? __________. 3.解法一:过点 C 作 OB 的平行线交 AO 的延 长线于点 E ,过点 C 作 OA 的平行线交 BO 的延长 线 于 点 F , 则 ?OEC ? ?BOE ? 30 ,

?EOC ? 90 。 因为 | OA |? 1 , | OB |? 2 , | OC |? 3 ,
所 以 EC ? 2OC ? 6 , OE ? 6cos30 ? 3 3 ,

OF ? ?3OB , OE ? ?3 3OA , 所 以 OC ? ?3 3OA ? 3OB ,所以 x ? ?3 3 , y ? ?3 ,所以 x ? y ? ?3 3 ? 3 . 解法二:因为 ?AOB ? 150 , CO ? AO , OC ? xOA ? yOB ,所以

OC ? OA ? xOA ? yOB ? OA , OC ? OC ? xOA ? OC ? yOB ? OC ,
即 0 ? x ? y ?1? 2 ? (? 以 x ? y ? ?3 3 ? 3 。 解法三:建立平面直角坐标系, OC 为 y 轴, AO 为 x 轴,因为 ?AOB ? 150 ,

2

1 3 ) , 9 ? 0 ? y ? 2 ? 3 ? (? ) ,解得 y ? ?3 , x ? ?3 3 ,所 2 2

CO ? AO , | OA |? 1 , | OB |? 2 , | OC |? 3 , OC ? xOA ? yOB ,
所 以 ( 0, 3) ?x ? ( 1, ? 0)y 所 以 ? x ? 3 y ? 0 且 ? y ? 3 , 解 得 y ? ?3 , ( ?3 , , 1)

x ? ?3 3 ,所以 x ? y ? ?3 3 ? 3 。
四、向量间的夹角(余弦值)或夹角范围问题 1.已知 a , b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.

?7a 2 ? 16a ? b ? 15b 2 ? 0, a? 5 b ) ? 0, ?(a ? 3b )? ( 7 ? 1.解:依题意 ? ,所以 ? 2 ,解得 2 a? 2 b ) ? 0. ? ?(a ? 4b )? ( 7 ?7a ? 30a ? b ? 8b ? 0
b2 ? 2a ? b 且 a 2 ? 2a ? b ,所以 | a |?| b |? 2a ? b ,所以 cos ? ?
因为 ? ?[0, ? ] ,所以 ? ?

1 a ?b a ?b ? , ? 2 2 | a || b | ( 2a ? b )

?

3 2. 在 ?ABC 和 ?AEF 中, B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 1 , BC ? 6 , CA ? 33 ,
2 . 解 : 因 为



若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于________.

A B ?

A ?E

, A ? C 2 ? A 所 F 以 ,
2

AB ? ( AB ? BE) ?

AC ? ( AB ? BF ) ? 2



C A

C? 2 .因为 B? EAB ? 1 A ? C B F , B ? AB B F E 33 ? 1 ? 36 AC ? AB ? 33 ?1? ? ?1 , BE ? ? BF , 所 以 2 ? 33 ?1 C2 . 设 EF 与 BC 的 夹 角 ? , 则 有 1 ? BF ? ( AC ? AB ) ?1 ? 2, 即 B F? B ? 2 | BF | ? | BC | ? cos θ ? 2 ,即 3cos ? ? 2 ,所以 cos θ ? . 3 1 3 3.已知 ?OFM 的面积为 S ,且 OF ?FM ? 1 ,若 ? S ? ,则向量 OF 与 FM 的 2 2

A

2

? B

? ?A A

夹角的范围是____________. 3.解:设向量 OF 与 FM 的夹角为 ? ,则 S ?

1 | OF | ? | FM | sin ?OFM 2 1 1 1 1 3 ? | OF | ? | FM | sin(? ? ? ) ? ? OF ? FM ? tan ? ? tan ? .因为 ? S ? ,所 2 2 2 2 2

以 1 ? tan ? ? 3 ,所以

?

4 ? 4 . ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 重 心 为 G , 若
3 bG ?B 3 c0 ? G C ? A ? __________. ,则

?? ?

?

,所以向量 OF 与 FM 的夹角的范围是 (

? ? , ). 4 3

aG? A

4.因为 G 为 ?ABC 的重心,所以 GA ? GB ? GC ? 0 ,所以 aGA ? bGB ?

3 cGC 3

3 3 3 c(?GA ? GB) ? (a ? c)GA ? (b ? c)GB ? 0 ,因为 GA 与 3 3 3 3 ,所以 GB 不 共 线 , 所 以 a ? b ? c . 设 AB 的 中 点 为 D , 则 C D? A B 3 ? 1 3 3 ,所以 A ? . cos A ? c ? ? 6 2 c 2 ? aGA ? bGB ?

平面向量与向量方法的应用(二) (教师版) 一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用 1.如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2DC , AM ? 3MD ,过点 M 作直线交 AB 、 AC 于 P 、 Q 两点,则

AB 2 AC ? ? _______. AP AQ

A

C ? A C A ? B b?a? 1. 解: 构造基底 AB ? a ,AC ? b , 则B
BD ?

2 2 1 1 BC ? (b ? a ) , DC ? BC ? (b ? a ) , P M 3 3 3 3 Q 1 2 3 1 1 D C AD ? AB ? BD ? a ? b , AM ? AD ? a ? b . B 3 3 4 4 2 设 AP ? ? AB ? ? a , AQ ? ? AC ? ?b , 0 ? ? ? 1 , 0 ? ? ? 1 因为点 P 、 Q 、 M 三

点 共 线 , 所 以 AM ? (1 ? m) AP ? mAQ ( m ? R ) , 于 是

1 1 1 a ? b ? (1 ? m)? a ? m? b . 又 a 、 b 不 共 线 , 所 以 ? (1? m ) ?且 4 2 4 1 1 1 2 1 ? m? , 消 去 m , 得 ? ?1 , 即 ? ?4 , 所 以 2 4? 2 ? ? ?

AB 2 AC | AB | 2 | AC | 1 2 ? ? ? ? ? ?4. ? ? AP AQ | AP | | AQ | 2 ?ABC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AC 边上靠近点 A 的一个三等分点, AD 与 BE
交于点 F ,求:① AF 与 FD 的长度之比;② BF 与 FE 的长度之比. 2. 解: 设 AB ? a ,AC ? b , 因为 D 为 BC 的中点, 所以 AD ? 三点共线,所以存在唯一实数 ? ( ? ? 0 )使得 AF ? ? AD ?

b ,①. 2 2 因 为 B, F , E 三 点 共 线 , 所 以 存 在 唯 一 实 数 ? ( ? ? 0 ) 使 得 BF ? ? FE, 即

?

1 1 a? b. 因为 A, F , D 2 2

a?

?

1 ? 1 a? b ,②. AF ? a ? ? ( AE ? AF ) ? ? ( b ? AF ) ,解得 AF ? 3 1? ? 3(1 ? ? ) 1 ? ? 1 因为 AB 与 AC 不共线,所以比较①②得 ,解得 ? ? 3 , ? ? , ? ? 2 1 ? ? 2 3(1 ? ? ) 1 AF BF ?1, ? 3. 所以 AF ? AD , BF ? 3FE ,所以 2 FD FE
二、数量积(或模长)的取值范围(或最值)问题 1.平面内的向量 OA ? (1,1) ,OB ? (?1, ?1) ,点 P 是抛物线 y ? x2 ? 2 ( ?3 ? x ? 1 ) 上任意一点,则 AP ? BP 的取值范围是_______. 1. 解: 由题意, 可设点 P( x, x 2 ? 2)( ?3 ? x ? 1 ) , 则 AP ? OP ? OA ? ( x ?1, x2 ? 1) ,

BP ? OP ? OB ? ( x ? 1, x2 ? 3) ,所以 AP ? BP ? ( x ?1, x2 ? 1) ? ( x ? 1, x2 ? 3)
? x 4 ? 5 x 2 ? 2 ,因为 x ?[?3, 1] ,所以 x2 ?[0, 9] ,所以 AP ? BP ?[2,128] .
点评:将 AP ? BP 表示为关于 x 的函数式,针对该函数式及 x ? [?3, 1] 来求函数的值 域.多数情况下所得到的函数与二次函数有关,如本例令 t ? x ,则 AP ? BP ? t 2 ? 5t ? 2 2 ( t ? [0, 9] ) .注意从函数 t ? x 角度来确定 t ? [0, 9] ,不要得出错误结论 t ? [1, 9] .
2

2.已知 a 、 b 是两个互相垂直的单位向量,且 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 ,则对于 任意实数 t1 、 t 2 , | c ? t1a ? t2b | 的最小值是_______.
2 2 2 2 2. 解: 依题意, 且a ?b ? 0 , 于是 | c ? t1a ? t2b |2 ? c2 ? t1 | a |?| b |? 1 , a ? t2 b ?2t1c ? a 2 2 - 2t2c ? b ?2t1t2a ? b ? t1 ? t2 ? 6t1 ? 8t2 ?169 ? (t1 ? 3)2 ? (t2 ? 4)2 ? 144 ? 144 , 所 以

| c ? t1a ? t2b |? 12 ,当且仅当 t1 ? 3 、t2 ? 4 时上式取得等号,故所求的最小值为12 ,选C.
3 在长方形 ABCD 中,AB ?

2 6 3 ,AD ? ,O 为 AB 的中点, 若 P 是线段 DO 3 3

上动点,则 ( PA ? PB) ? PD 的最小值是_________.
2 2 3 . 解 : 由 题 意 得 | OD |? | OA | ? | AD | ? 1 . 因 为 O 为 AB 的 中 点 , 所 以

PA ? PB ? 2PO ,设 | PD |? x( 0 ? x ? 1 ) , 则 | PO |? 1 ? x ,( PA ? PB) ? PD ? 2PO ? PD 1 1 1 1 ? 2 | PO | ? | PD | cos180 ? ?2 x(1 ? x) ? 2( x ? ) 2 ? ? ? ,故所求最小值为 ? . 2 2 2 2
三、求面积比 1 . 设 D 为 △ ABC 的 边 AB 上 一 点 , P 为 △ ABC 内 一 点 , 且满 足 AD ?

3 AB , 4

A P?

S△APD ? ____________. S△ABC 2 1.解 : 连 PD ,则 DP ? AP ? AD ? BC ,所以 DP // BC ,故 ?ADP ? ?B ,故 5 1 S△APD 2 AD ? DP ? sin ?ADP 3 2 3 ? ? ? ?1 ? . 故选A. 1 S△ABC 4 5 10 AB ? BC ? sin ?B 2 2 点评:由 DP ? BC 且 DP 与 BC 没有公共点推出 DP // BC ,再利用同位角相等和面 5
2 A ?D 5 B C ,则

积公式 S ?

1 ab sin C 而使问题简捷获解. 2

2.设 O 点在 ?ABC 的内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,求

S?ABC ? ____________. S?AOC

2 . 解 : 延 长 OB 至 E , 使 O E ? 2 O B, 延 长 OC 至 F , 使 得 OF ? 3OC , 则

1 1 OA? OE? OF?0 , 所 以 O 为 ?AEF 的 重 心 . 显 然 S?AOC ? S?AOF ? S?AEF . 同 理 3 9 1 1 1 1 1 S ?AOB ? S ?AOE ? S ?AEF , S?BOC ? S ?EOF ? S ?AEF ,所以 S?ABC ? S ?AEF ? 3S ?AOC . 2 6 6 18 3 S?PBC S S ?PAB 3 设 点 P 是 ?ABC 内 的 一 点 , 记 ? ?1 , ? ? 2 , ?PCA ? ? 3 , S ?ABC S?ABC S?ABC 1 1 f ( P) ? (? 1, ? 2 , ? 3 ) .若 AQ ? AB ? AC ,则 f (Q) ? ___________. 3 2 1 1 1 1 A B, AF ? AC , 因 为 AQ ? AB ? AC , 所 以 3 . 解 : 如 图 , A E? 3 2 3 2 所以点 Q 到 AB 的 A Q? A E ? A, FFQ // AB ,EQ // AC , 1 距离是点 C 到 AB 的距离的 ,点 Q 到 AC 的距离是点 B 到 2 S?QAB 1 1 S?QAC 1 AC 的距离的 ,所以 ? ?1 ? , ? ?3 ? , 3 S?ABC 2 S?ABC 3 S?QBC S?ABC ? S?QAB ? S?QAC 所以 ?2 ? ? S?ABC S?ABC 1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 3 ? .所以 f (Q) ? ( , , ) . 2 6 3 6
四、求参数或参数和的取值范围或最值 1 四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,点 D 在 OA 的延长线上, OD ? 3 ,点 P 为

?BOD 内(含边界)的动点, OP ? ? OC ? ? OD ( ? , ? ? R ) ,则 ? ? ? 的最大值等于
_________. 1.解:显然点 P 在线段 CB 上(不含点 B )上无法取得最大值,点 P 在线段 BD 上才 有可能取得最大值.因为 OB ? OC ? OA , OD ? 3OA ,所以 OP ? ? OC ? ? OD

1 ? 点 B, P, D 三 ? ? (OB ? OA) ? ? OD ? ? (OB ? OD) ? ? OD ? ? OB ? ( ? ? )OD . 3 3 ? ? 点共线时,? ? ? ? ? 1 ,所以 ? ? ? ? 1 ? ,由几何图形知 ? ? [0,1] ,所以 ? ? ? 的最 3 3 4 大值为 ,当 P 位于点 B 时取得. 3 2 已 知 点 G 是 ?ABC 的 重 心 , 点 P 是 ?GBC 内 一 点 , 若 AP ? ? AB ? ? AC ( ?, ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范围是___________. 2.解:因为点 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一 S 点, 若 AP ? ? AB ? ? AC , 所以 ? ? 0 ,? ? 0 , ?PAB ? ? , S?ABC S?PAC S S S ? ? , ? ? ? ? ?PAB ? ?PAC ? 1 ? ?PBC .而点 P 到 S?ABC S?ABC S?ABC S?ABC

S?PBC 越大, ? ? ? 越小.过点 P 作 BC 的平行线,观察可知,当点 P 与 S?ABC 1 2 G 场合时 ? ? ? ? 1 ? ? ,当点 P 在 BC 上时 ? ? ? ? 1 .因为点 P 是 ?GBC 内一点, 3 3 2 所以 ? ? ? 的取值范围是 ( ,1) . 3 3 . 设两个单位向量 e1 、 e2 满足 | e1 |? 2 、 | e2 |? 1 , e1 、 e2 的夹角为 60 ,若向量
BC 的距离越大,

2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
2 2 3 . 解 : 由 条 件 , 得 e1 ? 4 , e2 ? 1 , e1 ? e2 ? 2 ?1? cos60 ? 1 , 所 以

2 ? 2t 2 ? 15t ? 7 .由 2t 2 ? 15t ? 7 ? 0 (2te1 ? 7e2 ) ? (e1 ? te2 ) = 2te12 ? (2t 2 ? 7)e1 ? e2 ? 7te2 1 1 解得 t ? ?7 , t ? ? ,数形结合可得不等式 2t 2 ? 15t ? 7 ? 0 的解为 ?7 ? t ? ? .设 2 2 ? ? 0 2 t ? ? 7 ? t ? ) , 因 为 e1 、 e2 不 共 线 , 所以 且 ,得到 2te1 ? 7e 2 ? ? (e 1 ? te 2 )(

14 ,即当 t ? ? 2 14 实数 t 的取值范围为 (?7, ? ) (? 2

? ? ? 14 , t ? ?

14 时向量 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为 ? .故 2 14 1 ,? ). 2 2

五、平面向量与平面几何的交汇问题 1.已知 O, H 为 ?ABC 的外接圆的外心、垂心,求证:

OH ? OA ? OB ? OC . 证 明 : 延 长 BO 交 ?ABC 的 外 接 圆 于 D , 连 结 DA , DC ,则 DA ? AB , CD ? BC ,所以 DA // CH ,
DC // CH ,所以 AH ? DC ,所以 OH ? OA ? AH

? OA ? DC ? OA ? DO ? OC ? OA ? OB ? OC . 2.已知 ?ABC 内接于 O , AB ? AC , D 为 AB 的中点, E 为 ?ACD 的重心.求
证: OE ? CD . 证明:设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,因为 D 为 AB 的中点,

E 为 ?ACD 的重心,所以 OD ?

1 (a ? b) , OE ? OD ? DE 2 1 1 ? OD ? ( DC ? DA) ? OD ? (OC ? OD ? OD ? OB) 3 3 1 1 1 1 1 ? (a ? b) ? (c ? b) ? a ? b ? c , CD ? OD ? OC 2 3 2 6 3 1 1 ? a? b?c. 2 2 1 1 1 1 1 所以 OE ? CD ? ( a ? b ? c)( a ? b ? c) 2 6 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ? a ? b ? c ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c) (因为 | a |2 ?| b |2 ?| c | ? R ) 4 12 3 3 3 3 因为 AB ? AC , OB ? OC ,所以 AO 为 BC 的中垂线,所以 a ? (b ? c) ? 0 .所以

OE ? CD ? 0 ,故 OE ? CD . 3 设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成
三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为___________.

32 ? 42 ? 5 . a , b , 3? 4 a ? b 的模为边长构成三角形是一个直角三角形,其内切圆半径 r ? ? 1 .当半径为 3? 4?5
1 的圆所处的位置正好是三角形的内切圆位置时,三角形与圆只有三个交点,当圆的位置偏
离后使得三角形有两条边与圆相交时,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实 现.因此公共点个数最多为 4 个.

3.解:∵ | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 ,∴ | a ? b |? a 2 ? b 2 ?

平面向量与向量的方法的应用(一) (学生版) 一、用向量表示三角形的“心” (重心、内心、垂心、外心) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 三角形“四心”的向量的统一形式: X 是 ?ABC 的心 ? ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 . 引理:若 X 是 ?ABC 内的一点,则 S?XBC : S?XAC : S?XAB ? ? : ? :?

? ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 . 证明: 这里只证明 ? XA ? ? XB ?? XC ? 0 ? S?XBC : S?XAC : S?XAB ? ? : ? :? ( ? , ? ,?
均为正数) .作 XM ? ? XA , XN ? ? XB , XP ? ? XC ,则 XM ? XN ? XP ? 0 .容易

1 S?XBC 2 | XB || XC | sin ?BXC 1 ? 证明点 X 为 ?MNP 的重心.于是 ,所以 ? 1 ?? S?XNP | XN || XP | sin ?NXP 2 1 ? ? ? S?XBC ? S?XNP ? S?MNP ,同理 S?XAC ? S?MNP , S?XAB ? S ,所 ?? ??? ??? ?MNP ??? 以 S?XBC : S?XAC : S?XAB ? ? : ? :? .
取 ? ? S?XBC ,则 ? ? S?XAC ,? ? S?XAB , S?XBC ? XA ? S?XAC ? XB ? S?XBA ? XC ? 0 . 练习: 1. GA ? GB ? GC ? 0 ? G 是 ?ABC 的________心. 2. a ? IA ? b ? IB ? c ? IC ? 0 ? I 是 ?ABC 的________心. 3. sin 2 A ? OA ? sin 2B ? OB ? sin 2C ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的________心.

OA ? OB ? OC ? O 是 ?ABC 的________心. 4. H 在 ?ABC 内部,则 tan A ? HA ? tan B ? HB ? tan C ? HC ? 0 ? H 是 ?ABC 的
________心.

2

2

2

HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ? H 是 ?ABC 的________心.
HA ? BC ? HB ? AC ? HC ? AB ? H 是 ?ABC 的________心.
当你学完正弦定理和余弦定理后,会有更多的表示方法. 5.
2 2 2 2 2 2

AB AC 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. ? | AB | | AC | AB AC 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. ? | AB | ? cos B | AC | ? cos C

6. AB ? AC 所在直线一定通过 ?ABC 的________心. 7.

8 . 已 知 A, B, C 是 坐 标 平 面 内 不 共 线 的 三 点 , O 是 坐 标 原 点 , 动 点 P 满 足

1 O P ? [ (1?? )O A? (1 ?? ) O B? (1 ? ?2 O )( C ? ]? R ) , 则点 P 的轨迹一定经过 ?ABC 的 3
________心.

二、三角形形状的判定 1. O 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC)(OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则三角形 形状为_______三角形.

2.已知非零向量 AB 和 AC 满足条件 ( 则 ?ABC 是___________三角形.

AB AC AB AC 1 ? ) ? BC ? 0 ,且 ? ? , | AB | | AC | | AB | | AC | 2

3 . 在 ?ABC 中 , P 是 BC 边 的 中 点 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

c AC ? a P? A b P? B 0 ,则 ?ABC 的形状为__________.
三、向量分解问题 1 .如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若

AD ? xAB ? yAC ,则 x ? __________, y ? __________.

2. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为

120 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB , 其 中 x, y ? R , 则 x ? y 的 最 大 值 是
________.

3.O 为 ?ABC 内一点,?AOB ? 150 ,CO ? AO ,| OA |? 1 ,| OB |? 2 ,| OC |? 3 , 设 OC ? xOA ? yOB ,则 x ? y ? __________.

四、向量间的夹角(余弦值)或夹角范围问题 1.已知 a , b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.

2. 在 ?ABC 和 ?AEF 中, B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 1 , BC ? 6 , CA ? 33 , 若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于________.

3.已知 ?OFM 的面积为 S ,且 OF ?FM ? 1 ,若 夹角的范围是____________.

1 3 ,则向量 OF 与 FM 的 ?S? 2 2

4 . ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 重 心 为 G , 若

aG? A

bG ?B

c0 ? G C ? A ? __________. ,则
A

平面向量与向量方法的应用(二) (学生版) 一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用 1 .如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2DC , AM ? 3MD ,

AB 2 AC ? ? 过点 M 作直线交 AB 、 AC 于 P 、 Q 两点,则 AP AQ
_______.

P

M Q D C

B

2 ?ABC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AC 边上靠近点 A 的一个三 等分点, AD 与 BE 交于点 F ,求:① AF 与 FD 的长度之比;② BF 与 FE 的长度之比.

二、数量积(或模长)的取值范围(或最值)问题
2 1.平面内的向量 OA ? (1,1) ,OB ? (?1, ?1) ,点 P 是抛物线 y ? x ? 2 ( ?3 ? x ? 1 )

上任意一点,则 AP ? BP 的取值范围是_______.

2.已知 a 、 b 是两个互相垂直的单位向量,且 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 ,则对于 任意实数 t1 、 t 2 , | c ? t1a ? t2b | 的最小值是_______.

3

在长方形 ABCD 中,AB ?

2 6 3 ,AD ? ,O 为 AB 的中点, 若 P 是线段 DO 3 3

上动点,则 ( PA ? PB) ? PD 的最小值是_________.

三、求面积比 1 . 设 D 为 △ ABC 的 边 AB 上 一 点 , P 为 △ ABC 内 一 点 , 且满 足 AD ?

3 AB , 4

A P?

2 A ?D 5

B C ,则

S△APD ? ____________. S△ABC

2.设 O 点在 ?ABC 的内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,求

S?ABC ? ____________. S?AOC

3

设 点 P 是 ?ABC 内 的 一 点 , 记

S S S ?PAB ? ? 1 , ?PBC ? ? 2 , ?PCA ? ? 3 , S ?ABC S?ABC S?ABC

f ( P) ? (? 1, ? 2 , ? 3 ) .若 AQ ?

1 1 AB ? AC ,则 f (Q) ? ___________. 3 2

四、求参数或参数和的取值范围或最值 1 四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3 ,点 P 为 ?BOD 内(含边界)的动点, ,则 ? ? ? 的最大值等于_________. OP ? ? OC ? ? OD ( ? , ? ? R )

已 知 点 G 是 ?ABC 的 重 心 , 点 P 是 ?GBC 内 一 点 , 若 AP ? ? AB ? ? AC ( ?, ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范围是___________. 2

3 . 设两个单位向量 e1 、 e2 满足 | e1 |? 2 、 | e2 |? 1 , e1 、 e2 的夹角为 60 ,若向量

2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

五、平面向量与平面几何的交汇问题 1 . 已 知 O, H 为 ?ABC 的 外 接 圆 的 外 心 、 垂 心 , 求 证 :

OH ? OA ? OB ? OC .

2.已知 ?ABC 内接于 证: OE ? CD .

O , AB ? AC , D 为 AB 的中点, E 为 ?ACD 的重心.求

3 设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成 三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为___________.


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