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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:7-2 一元二次不等式的解法


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 2 课时

一元二次不等式的解法

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2014?考纲下载

1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系. 2.会解一元二次不等式,以及简单的分式、高次不等式.

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请注意!

一元二次不等式是高中数学的基本内容,是高考热点,命题 形式多在选择题、填空题考查基本解法,在解答题中作为一个数 学工具来解决一些问题.

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二次函数的图像、 一元二次方程的根与一元二次不等式的解 集之间的关系

判别式

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数y= ax2+bx+ c(a>0)的图像

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一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 2 ax +bx+c= 没有实数根 b x1,x2(x1<x2) -2a 0(a>0)的根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解 集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解 集 (-∞,x1)∪ (x2,+∞)
b {x|x≠-2a}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

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1. 不 等 式

x(1-2x> ) 0

的 解 集 是

(

)

1 A.(-∞,2) 1 B.(0,2) 1 C.(-∞,0 ) ∪(2, + ∞) 1 D.(2, + ∞)
答案 B
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2.2 ( 0 1 4 ·

济 宁 一 模

)已知不等式 x2-x≤0 的解集为 M, 且 集 )

合 N={x|-1<x< 1 } ,则 M∩N 为( A.1 0 ) [ , C.1 0 ] [ ,
答案 解析 A

B.1 0 ) ( , D.(-1,0]

由 x2-x≤0,得 0≤x≤1, 所 以

M∩N 为1 0 ) [ ,

,选 A.

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3.2 ( 0 1 2 ·
答案

x2-9 江西)不等式 >0 的解集是________. x-2
{x|-3<x<2 或 x> 3 }

解析

x 2 -9 由 >0,得(x+3 ( ) x-3 ( ) x -2 > ) 0 x -2

, 利 用 数 轴 标 根

法易得-3<x<2 或 x> 3 .

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4. 已 知 不 等 式

ax2+bx+2 > 0 )

的解集为{x|-1<x< 2 } , 则 不 等

式 2x2+bx+a<0 的解集为( 1 A.{x|-1<x<2} C.{x|-2<x< 1 }
答案 A

1 B.{x|x<-1 或 x>2} D.{x|x<-2 或 x> 1 }

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解析 由题意知 x=-1,x=2 是方程 ax2+bx+2=0 的根. b ? ?-1+2=-a, 由韦达定理? ??-1?×2=2 a ?
? ?a=-1, ?? ? ?b=1.

∴不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x-1 < 0 . 1 可知 x=-1,x=2是对应方程的根,∴选 A.

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5 . 已知(ax - 1 ( ) x - 1)≥0 的 解 集 为 ________.
答案 1

R, 则 实 数

a 的值为

解析 原不等式为 ax2-(a+1)x+1≥0,
? ?a>0, ∴? 2 ? Δ = ? a + 1 ? -4a≤0 ?

?a=1.

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例 1 解关于 x 的不等式. 1 ( ) -2x2+4x-3 > 0 ; 2 1 ( ) 2 x2-ax>a2(a∈R);

a?x-1? 3 ( ) > 1 ( a> 0 ) . x-2

【解析】 1 ( ) 原 不 等 式 可 化 为 又判别式 Δ=42-4×2×3 < 0 , ∴原不等式的解集为?.
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2x2-4x+3 < 0 .

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a a 2 ( ) 由1 2 x -a x -a >0?(4x+a)(3x-a> ) 0 ?(x+4)(x-3> ) 0 ,
2 2

a a ①a>0 时 , - 4<3, 解 集 为 ②a=0 时 , x2>0, 解 集 为 a a ③a<0 时 , - 4>3, 解 集 为

a a {x|x<-4或 x>3}; {x|x∈R 且 x≠0 }; a a {x|x<3或 x>-4}.

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高考调研 新课标版 · 高三数学(理) a?x-1? ?a-1?x+2-a 3 ( ) -1 > 0 ? >0 ? [(a - 1)x + 2 - a](x - x-2 x-2
2 > ) 0 . ①当 a=1 时 , 不 等 式 的 解 为 ②当 a≠1 时 , 关 键 是 x> 2 . a-2 与2的 大 小 . a-1

(a-1 )的 符 号 和 比 较

a-2 -a ∵ -2= , 又 a>0, a-1 a-1 a-2 ∴当 0 < a<1 时 , >2, a-1 不 等 式 的 解 为 a-2 2 < x< ; a-1
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a-2 当 a>1 时 , <2, a-1 不 等 式 的 解 为 综 上 所 述 , 当 a-2 x< 或 x> 2 . a-1

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0 < a<1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 {x|x> 2 } ;

a-2 {x2 < | x< }; a-1

当 a=1, 原 不 等 式 的 解 集 为 当 a>1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

a-2 {x|x< 或 x> 2 } . a-1

【答案】 1 ( ) ? 2 ( ) 略 3 ( ) 略

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探究 1 1 ( ) 解决二次问题的关键一是充分利用数形结合, 二 是熟练进行因式分解. 2 ( ) 通 过 解 题 程 序 , 适 时 合 理 地 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 . 3 ( ) 应 善 于 把 分 式 不 等 式 转 化 为 整 式 不 等 式 .
思 考 题 1 1 ( ) 若 f(x)=x2-2x-n 4 l x,则 f′(x> ) 0 的 解 集 为 ( A.(0, + ∞) C.(2, + ∞) B.(-0 1 ) , D.(-0 1 ) , ∪(2, + ∞) )

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【解析】

4 2?x-2??x+1? 令 f′(x)=2x-2-x = >0,利用数 x

轴标根法可解得-1<x<0 或 x> 2 . 又 x>0,所以 x> 2 . 故选 C.
【答案】 C

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2 ( ) 已知 a=(1,x),b=(x2+x,-x),m 为 实 数 , 求 使 -(m+1)a· b+1 < 0 成立的 x 的取值范围.

m(a· b)2

【 解 析 】

a· b=x2+x-x2=x,

∴m(a· b)2-(m+1)a· b+1 < 0 ?mx2-(m+1 ) x+1 < 0 . ①当 m=0 时 , x> 1 . 1 ②当 m≠0 时 , m(x-m)(x-1 < ) 0 . 1 (ⅰ)m<0 时 , x>1 或 x<m;

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1 (ⅱ0 ) < m<1 时,1<x<m; (ⅲ)m=1 时,x∈?; 1 (ⅳ)m>1 时,m<x< 1 .
【答案】 略

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例 2 函数 f(x)=x2+ax+3. 1 ( ) 当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围; 2 ( ) 当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒 成 立 , 求 3 ( ) 当 a∈6 4 ] [ , a 的范围;

时,f(x)≥0 恒成立,求 x 的范围.
x2+ax+3-a≥0 恒 成 立 , 须 Δ

【解析】 1 ( ) ∵x∈R 时 , 有

=a2-4 3 ( -a)≤0,即 a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.

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2 ( ) 当 x∈[-2 ] , 情 况 讨 论 (如 图 所 示 时 , 设 ):

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g(x)=x2+a x +3-a≥0, 分 如 下 三 种

①如 图1 ( ) ,当 g(x)的 图 像 恒 在 Δ=a2-4 3 ( -a)≤0, 即 - 6≤a≤2 . ②如 图2 ( ) ,g(x)的 图 像 与

x轴 上 方 时 , 满 足 条 件 时 , 有

x轴 有 交 点 ,

但 在 x∈[-2, + ∞)时 , g(x)≥0,

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? ?Δ≥0, ? a - 2<-2, 即?x= ? ? ?g?-2?≥0,
2 a ? ? -4?3-a?≥0, ? a 即?-2<-2, ? ? ?4-2a+3-a≥0

? ?a≥2或a≤-6, ?a>4, ?? ? 7 a≤ , ? ? 3

解 之 得

x∈?.

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③如 图3 ( ) ,g(x)的 图 像 与 x轴 有 交 点 ,

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但 在 x∈(-∞,2 ]时 , g(x)≥0, ? ?Δ≥0, ? a ?x= - 2>2, ? ? ?g?2?≥0,
2 a ? ? -4?3-a?≥0, ? a ?- >2, ? 2 ? ?7+a≥0





?

?a≥2或a≤-6, ? ?a<-4, ?a≥-7 . ? ∴-7≤a≤-6 . 综 合 , 得 - 7≤a≤2 .
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3 ( ) 令 h(a)=xa+x2+3, 当 a∈6 4 ] [ , 时,h(a)≥0 恒成立.
2 ? ?x +4x+3≥0, 即? 2 ? ?x +6x+3≥0,

? ?h?4?≥0, 只须? ? ?h?6?≥0,

解之得 x≤-3- 6或 x≥-3+ 6.
【答案】 1 [ ( ) 3+ 6,+∞) -2 6 ] , 2 [ ( ) -7,2] 3 ( ) -∞,-3- 6]∪[-

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探 究 2 1 ( ) 解 决 恒 成 立 问 题 一 定 要 搞 清 谁 是 自 变 量 , 谁 是 参 数 . 一 般 地 , 知 道 谁 的 范 围 , 谁 就 是 变 量 , 求 谁 的 范 围 , 谁 就 是 参 数 . 2 ( ) 对 于 二 次 不 等 式 恒 成 立 问 题 常 见 有 两 种 类 型 , 一 是 在 全 集R上 恒 成 立 , 二 是 在 某 给 定 区 间 上 恒 成 立 . 对 第 一 种 情 况 恒 大 于 的 区 间 上 全 部 在 在 给 定 的 区 间 上 全 部 在 0 就 是 相 应 的 二 次 函 数 的 图 像 在 给 定 0就 是 相 应 的 二 次 函 数 的 图 像

x轴 上 方 , 恒 小 于 x轴 下 方 .

对 第 二 种 情 况 , 要 充 分 结 合 函 数 图 像 进 行 分 类 讨 论 .
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思考题 2 1 ( ) 是 否 存 在 实 数 理由;

已知关于 x 的不等式 2x-1>m(x2-1). m, 使 不 等 式 对 任 意 x∈R 恒成立?并说明

2 ( ) 若对于 m∈[-2 ] ,
【 解 析 】 若 对 于 任 意 实 数 当 且 仅 当 不 等 式 解 集 为 所 以 不 存 在 实 数

不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.
mx2-2x+(1-m< ) 0 ,

1 ( ) 原 不 等 式 等 价 于 x恒 成 立 ,

m<0 且 Δ=4-4m(1-m< ) 0 , ?, m, 使 不 等 式 恒 成 立 .
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2 ( ) 设 f(m)=(x2-1 ) m-(2x-1 ), 当 m∈[-2 ] , 时 , f(m< ) 0 恒 成 立 .

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而 f(m)在 m∈[-2 ] ,
? ?f?2?<0, ? ? ?f?-2?<0

时 表 示 线 段 , 当 且 仅 当 ① ②

2 ? < 0 , ?2x -2x-1 ?? 2 ? - 2 x -2x+3 < 0 . ?

1- 3 1+ 3 由①, 得 2 <x< 2 . -1- 7 -1+ 7 由②, 得 x< 或 x> . 2 2

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-1+ 7 1+ 3 取交集,得 <x< 2 . 2 -1+ 7 1+ 3 所以 x 的取值范围是{x| <x< 2 }. 2
-1+ 7 1+ 3 【答案】 1 ( ) 不存在 2 ( ) x∈( , 2 ) 2

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1 1 例 3 已知 x +px+q<0 的解集为{x|-2<x<3}, 求 不 等 式
2

qx2

+px+1 > 0

的解集.

【 解 析 】

∵ x +p x +q<0 的 解 集 为

2

1 1 {x|-2<x<3},

1 1 ∴-2,3是 方 程

x2+p x +q=0 的 两 实 数 根 , 由 根 与 系 数 的 1 ? ?p=6, ∴? 1 ?q= - 6. ?
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关 系 , 得

?1 1 - p, ?3-2= ? ? ? ?1×?-1?=q, ?3 ? 2?
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2

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∴不 等 式

q x +p x +1 > 0 , 可 化 为 -

1 2 1 > 0 , 6x +6x+1

即 x2-x-6 < 0 ,∴-2 < x< 3 . ∴不 等 式
【答案】

q x 2+p x +1 > 0
{x|-2<x< 3 }

的 解 集 为

{ x | -2 < x< 3 } .

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探究 3 三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程 的思想方法,应用极广,是高考的热点之一.

思考题 3 x>b}. 1 ( ) 求 a,b; 2 ( ) 解 不 等 式

已知不等式 ax2-3x+6 > 4

的解集为{x|x<1 或

ax2-(ac+b)x+bc< 0 .

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【 解 析 】 x>b}, 所 以 1 ( ) 因 为 不 等 式

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a x 2-3x+6 > 4

的 解 集 为

{x|x<1 或

x1=1 与 x2=b 是 方 程

a x 2-3x+2=0 的 两 个 实 数 根 ,
? ?a=1, ? ? . ?b=2

且 b> 1 . 由 根 与 系 数 的 关 系 , 得

3 ? ?1+b=a, ? ?1×b=2. a ?

解 得

2 ( ) 原 不 等 式 化 为 : x2-(2+c)x+2c<0, 即 (x-2 ( ) x-c< ) 0 . ①当 c>2 时 , 不 等 式 的 解 集 为 ②当 c<2 时 , 不 等 式 的 解 集 为 ③当 c=2 时 , 不 等 式 的 解 集 为
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{x2 < | x < c }; {x|c<x< 2 } ; ?.
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【答案】 1 ( )

? ?a=1 ? ? ?b=2

2 ( ) ①当 c>2 时,不等式的解集为{x2 < | x<c}; ②当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x< 2 } ; ③当 c=2 时,不等式的解集为?.

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1.一 元 二 次 方 程 、 一 元 二 次 不 等 式 、 二 次 函 数 三 者 密 切 相 关 , 因 而 在 一 元 二 次 不 等 式 求 解 时 要 注 意 利 用 相 应 二 次 函 数 的 图 像 及 相 应 二 次 方 程 的 根 迅 速 求 出 解 集 , 掌 握 2. 在 解 形 如 “数 形 结 合 ”思 想 .

a x 2+b x + c >0 的 不 等 式 时 , 若 没 有 说 明 二 次

项 系 数 取 值 时 , 别 忘 了 对 系 数 为 零 的 讨 论 . 3. 分 式 不 等 式 要 注 意 分 母 不 为 零 . 4. 掌 握 分 类 讨 论 思 想 在 解 不 等 式 中 的 运 用 , 尤 其 注 意 分 类 的 标 准 是 不 重 不 漏 .
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1. 若 关 于 x的 不 等 式

x的 不 等 式

a x -b>0 的 解 集 是 ( )

(1, + ∞), 则 关 于

a x +b >0 的 解 集 是 x-2

A.(-∞, -1 ) ∪(2,+∞) B.(-2 1 ) , C.2 1 ) ( , D.(-∞,1 ) ∪(2, + ∞)
答案 A

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解析 因为不等式 ax-b>0 的解集是(1,+∞),所以 a>0 且 a=b, 则 不 等 式 或 x<-1,故选 A. ax+b x+1 >0 等价于 >0?(x+1 ( ) x-2 > ) 0 x-2 x-2 ?x>2

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2.2 ( 0 1 3

· 重庆)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2< 0 ( a> 0 ) 的 解 集 )

为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( 5 A.2 15 C. 4
答案 A

7 B.2 15 D. 2
x2-2a x -8a2=0 的 两 根 , 则

解 析

由 条 件 知

x1,x2 为 方 程

x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-(4x1x2)=(2a)2 5 -4×(-8a )=3 6 a =15 , 得 a=2, 故 选
2 2 2
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A.
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x +1 3.不等式 x ≤3 的解为________.

1 答案 x<0 或 x≥2

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4.2 ( 0 1 3 ·

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江苏)已知 f(x)是定义在 R 上 的 奇 函 数 . 当

x>0 时, ________.

f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的 解 集 用 区 间 表 示 为
答案 (-0 5 ) , ∪(5,+∞)

解 析

由 于 f ( x) 为 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 当 ?x2-4x,x>0, ? f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x< 0 . ?

x=0 时 , f0 ( ) =0;

当 x<0 时 , - x>0, 所 以 4x, 所 以

f(-x)=x2+4x= - f(x),即 f(x)= - x2 - 由 f(x)>x, 可 得
2 ? ?x -4x>x, ? ? ?x>0



2 ? ?-x -4x>x, ? ? ?x<0,

解 得 x>5 或 -5 < x<0, 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为

(-

0 5 ) ,

∪(5,+∞).
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5. 若 不 等 式 值.

1 x +ax+1≥0 对 x∈(0,2]恒 成 立 , 求
2

a 的最小

5 答案 -2
解析 方法一:1 ( ) Δ=a2-4 < 0 ,即-2≤a≤2 成立. a 2 ( ) a<-2 时 , - 2>1, 12 1 5 只须(2) +a· 2+1≥0,即 a≥-2.

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a 3 ( ) a>2 时 , - 2<-1 恒 成 立 . 综 上 所 述 , 方 法 二 : 由 5 a≥-2.

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1 1 x +a x +1≥0, 得 a≥-x-x ,x∈(0,2].
2

1 1 1 令 f ( x) = - x-x (x∈(0,2])= - ( x+ x ) , 1 1 5 5 当 x=2时 , f(2)= - 2,∴f(x)x - 2. m a = 要 使 原 命 题 成 立 , 则 5 a≥-2.
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课时作业(四十一)

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