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双曲线知识点归纳总结


选修 1-1

第二章 2.3 双曲线
标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2 2

标准方程(焦点在 y 轴)
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 ,

F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的 点的轨迹叫双曲线。这 两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。

?M MF ? MF
1

2

? 2a? ?2a ? F1F2 ?
y

P

y
x

x
P

y F2
y x

F1
定义

F2 F1

x

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。 P

y

y

y

P
x

P

y
x

x
P

F2

F1

F2 F1

x

范围 对称轴

x ?a, y?R

y ?a,x?R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b

对 称 中 原点 O(0, 0) 心 焦 点 坐 标

F1 (?c,0)

F2 (c,0)

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a2 ? b2 ;焦距: F1F2 ? 2c (0, ? a ,) (0, a )

顶 点 坐 ( ? a ,0) ( a ,0) 标
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选修 1-1

离心率

e?

c (e ? 1) a
a2 c
y?? a2 c

准 线 方 2 程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c
a 顶 点 到 顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 a ? c 准 线 的 2 顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a ? a 距离 c
a 焦 点 到 焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c ? c 准 线 的 2 焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a ? c 距离 c
2

x??

2

a b 渐近线 y?? x y?? x a b 方程 共 渐 近 x2 y2 y2 x2 线 的 双 ? 2 ? k (k ? 0) ? ? k(k ? 0) a2 b a2 b2 曲 线 系 方程 1. 双曲线的定义 ① 当|MF1|-|MF2|=2a 时,则表示点 M 在双曲线右支上; 当 MF2 ? MF1 ? 2a 时,则表示点 M 在双曲线左支上;



注意定义中的“ (小于 F1 F2 ) ”这一限制条件,其根据是“三角形两边

之和之差小于第三边” 。 若 2a=2 c 时,即
MF1 ? MF2 ? F1 F2

,当 MF1 ? MF2 ? F1F2 ,动点轨迹是以 F2 为端点向

右延伸的一条射线;当 MF2 ? MF1 ? F1F2 时,动点轨迹是以 F1 为端点向左延伸的一 条射线; 若 2a>2 c 时,动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是: 如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上; 如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判 断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 x2 y2 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a b x2 y2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a b

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选修 1-1

4. 形如 Ax2 ? By2 ? 1( AB ? 0) 的方程可化为
1 1 ? 0, ? 0 ,双曲线的焦点在 y 轴上; A B 1 1 当 ? 0, ? 0 ,双曲线的焦点在 x 轴上; A B

x2 y2 ? ?1 1 1 A B



5.求双曲线的标准方程, 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系
c2 a 2 ? b2 b2 e ? 2 ? ? 1? 2 a a2 a
2

b ?b? ? e2 ?1 1) e ? 1 ? ? ? 2) a ?a? 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . (1)若双曲线方程为 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ?( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). x2 y2 x2 y2 (4)与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 (5)与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 2 a ?k b ?k a b (6)当 a ? b时 ? 离心率 e ? 2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲 线为等轴双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? ;
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2

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8. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b

(2)过双曲线 是

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
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选修 1-1

( 3 ) 双 曲 线
A x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 a 2 b2 B?y 0? C 相切的条件是 A2 a 2 ? B2b2 ? c 2 .

4 A2

F2

9. 直线与双曲线的位置关系 直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) 双曲线 C:
x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0) a2 b2
2 2 2 2

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

? (b ? a k ) x ? 2a mkx? a m ? a b ? 0
2 2 2 2 2

2 2 2 1) 当 b ? a k ? 0 ,即 k ? ?

b 时,直线 l 与双曲线的渐进线_平行_,直线与双 a

曲线 C 相交于一点; 2) 当 b2-a2k2≠0,即 k ? ? 时,△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) ① ? ? 0 时,直线 l 与双曲线相交,有两个公共点 ② ? ? 0 时,直线 l 与双曲线相切,有且仅有一个公共点 ③ ? ? 0 时,直线 l 与双曲线相离,无公共点 3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?(不一定) 10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ① 联立方程法: 双曲线 C:
x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0) a2 b2
b a

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

? (b ? a k ) x ? 2a mkx? a m ? a b ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? 0 ,以及 x1 ? x2 , x1 x2 ,还可进一步求出
y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m



y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? a

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AB ? 1 ?

1 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? k 2 2 k k a
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0 ? ② 点差法:

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入双曲线方程,得
x1 y ? 12 ? 1 2 a b
2 2

x2 y ? 22 ? 1 2 a b

2

2

将两式相减,可得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a2 b2

y1 ? y2 b 2 ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 a 2 ( y1 ? y2 )
a. 在涉及斜率问题时, k AB

b 2 ( x1 ? x2 ) ? 2 a ( y1 ? y2 )

b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,

y1 ? y2 b 2 ? 2 x0 b 2 x0 , ? ? x1 ? x2 a 2 ? 2 y0 a 2 y0
即 k AB ?

b 2 x0 , a 2 y0
1 2

2 11. 焦点三角形面积公式: S ?F PF ? b , (? ? ?F1 PF2 ) 。

t an

?

2

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