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山东省威海市2012届高三第二次模拟考试数学(文)试题


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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考 试时间 120 分钟.考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定

的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改 液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = {1,10, A. {

1 } , B = { y | y = lg x, x ? A} ,则 A I B = 10
C. {1} D. ?

1 B. {10} } 10 1 2.复数 的共轭复数为 1-i 1 1 1 1 A. + i B. - i 2 2 2 2

C. - +

1 1 i 2 2

D. -

1 1 - i 2 2

3.如图,边长为 2 的正方形内有一不规则阴影部分,随机向正方形内投入 200 粒芝麻,恰有 60 粒落入阴影部分,则不规则图形的面积为 A.

3 5

B.

4 5

C.

6 5

D.

3 2
第 3 题图

4.若函数 f ( x ) = sin( x + j ) 是偶函数,则 tan A. 0 B. 1 C. -1

j
2

=
D. 1 或 -1

5.如图,三棱锥 V - ABC 底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA = VC ,已知其主视 图的面积为

2 ,则其左视图的面积为 3
B.

V

A.

3 2

3 3

C.

3 4

D.

3 6

[来源:Zxxk.Com]

A B 第 5 题图

C

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6.等差数列 {an } 中, S10 = 90, A. 16 B. 12
x +1

a5 = 8 ,则 a4 = C. 8

D. 6

函数 y = 2 - a 7.已知命题 p :

恒过 (1,2) 点; 命题 q : 若函数 f ( x -1) 为偶函数, f ( x ) 则

的图像关于直线 x = 1 对称,则下列命题为真命题的是 A. p

q

B. p

q

C.

p q

D. p

q

8. R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x + 3) = f ( x ) ,当 0 < x ? 1 时, f ( x ) = 2 x ,则 f (2012) = A. -2 B. 2 C. -

1 2

D.

1 2

9.椭圆

3 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,若直线 y = kx 与其一个交点的横坐标为 b , 2 a b 3

则 k 的值为 A. –1 B. – 2 C. –

3 3

D. – 3

10.函数 f ( x )=

lg x 的大致图像为 x2

11.如图,菱形 ABCD 的边长为 2 , — A = 60 , M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任 意一点 M D C (含边界) ,则 AM AN 的最大值为 N A. 3 B. 2 3 C. 6 D.9 A
第 11 题图

o

uuuu uuur r

B

12.函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若存在非零实数 t , 使得对于任意 x ? C (C ? A) 有 x + t ? A, 且

+? f ( x + t ) ? f ( x ) , 则 称 f ( x ) 为 C 上 的 t 度 低 调 函 数 . 已 知 定 义 域 为 0, ) 的 函 数 +? f ( x )= - mx - 3 ,且 f ( x ) 为 0, )上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取值范围是
A. 0, 1]

+? B. 1, )

C. ( , 0] -?

D. ( , 0]U 1, +? ) -?

[来源:学+科+网]

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第Ⅱ卷( 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某商场调查旅游鞋的销售情况, 随机抽取了 部分顾客的购鞋尺寸,整理得如下频率分布直 方图,其中直方图从左至右的前 3 个小矩形的 面 积 之 比 为 1: 2 : 3 , 则 购 鞋 尺 寸 在

39.5, 43.5 )内的顾客所占百分比为______.
14.已知 a = (-1, k ) , = (4, - 2) 且 a + b 与 a b 垂直,则 k 的值 为__________. 15.阅读右侧程序框图,则输出的数据 S 为________. 16.若集合 A1 , A2 L An 满足 A1 U A2 ULU An = A ,则称

r

r

r

r

r

A1 , A2 L An 为集合 A 的一种拆分.已知:
①当 A1 U A2 = {a1 , a2 , a3 } 时,有 3 种拆分; ②当 A1 U A2 U A3 = {a1 , a2 , a3 , a4 } 时,有 7 种拆分; ③当 A1 U A2 U A3 U A4 = {a1 , a2 , a3,a4 , a5 } 时,有 15 种拆分; …… 由以上结论,推测出一般结论: 当 A1 U A2 UKU An = {a1 , a2 , a3 ,K an +1} 有 _____________种拆分. 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满 分 12 分) 从总体中抽取容量为 50 的样本,数据分组及各组的频数如下: 分组 频数 [22.7,25.7) [25.7,28.7) 4 2 [28.7,31.7) [31.7, 34.7) [34.7,37.7) 30 10 4
5 4 3

(Ⅰ)估计尺寸在[28.7,34.7)的概率; (Ⅱ)从样本尺寸在[22.7,28.7)中任选 2 件,求至少有 1 个尺寸在[25.7,28.7)的概率.

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18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = sin w x cos w x + 3 cos
2

wx-

3 (w > 0 ) ,直线 x = x1 , x = x 2 是 2

y = f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 - x 2 | 的最小值为
(I)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

p
4



p
8

个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) + k = 0 ,在区间

? p? ? 0, 2 ? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ?
19.(本小题满分 12 分) 在等比数列 {a n } 中, a 2 =

1 1 , a3 a 6 = .设 bn = log 2 a 2 2 log 2 a2 2 , Tn 为数列 n n+1 4 512

{bn } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求 an 和 Tn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ,不等式 lTn < n - 2(-1) 恒成立,求实数 l 的取值范围.
*
n

20.(本小题满分 12 分) 如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 AD,BP 的中 点,AD= 3 ,AP= 5 ,PC= 2 7 . (Ⅰ)求证:EF∥平面 PDC; (Ⅱ)若∠CDP=90°,求证 BE⊥DP; (Ⅲ)若∠CDP=120°,求该多面体的体积.

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21.(本小题满分 12 分)

a +1 2 x +1 . 2 1 1 (Ⅰ)当 a = - 时,求 f (x) 在区间 [ , e] 上的最值; 2 e
已知函数 f ( x) = a ln x + (Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调性. 22.(本小题满分 14 分)

x2 y2 如图,已知椭圆 C : + = 1, F1,F2 分别为其左右焦点, A 为左顶点,直线 l 的方程 4 3
为 x = 4 ,过 F2 的直线 l′与椭圆交于异于 A 的 P 、 Q 两点. (Ⅰ)求 AP AQ 的取值范围;

uuu uuur r

[来源:Z,xx,k.Com]

(Ⅱ)若 AP I l = M , AQ I l = N , 求证:M、N 两点的纵坐标之积为定值;并求出该定值.

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一、选择题

C B C D B,
二、填空题 13. 55%

D B A C D,
3或- 1

DD
0

14.

15.

16.

(2n -1) n+1

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)尺寸在[28.7,34.7) 中共有 40 个,所以所求的概率为

40 = 0.8 --------4 分 50

(Ⅱ)设尺寸在[22.7,25.7)中的产品编号为 a1 , a2 , a3 , a4 ,在[25.7,28.7)中产 品编号为 b1 , b2 ,从样本中尺寸在[22.7,28.7)中任选 2 件共有: a1a2 , a1a3 , a1a4 ,

a1b1 , a1b2 , a2 a3 , a2 a4 , a2b1 , a2b2 , a3 a4 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 ,15 种情况;
------------------- 7 分 其中至少有 1 个尺寸在[25.7,28..7)中的有:

a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 9 种情况 ----------------------------- 10 分
因此所求概率为

9 3 = 15 5

--------------------------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

1 1+ cos 2w x 3 1 3 p = sin 2w x + f ( x) = sin 2w x + 3 cos 2w x = sin(2w x + ) , 2 2 2 2 2 3
-------------------------------------------3 分 由题意知,最小正周期 T = 2 ·

p
4

=

p
2



T=

2p p p = = ,所以 w = 2 , 2w w 2

∴ f ( x) = sin(4 x +

p
3

)

-----------------------------------------6 分

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

p
8

个单位后,得到 y = sin(4 x -

p
6

) 的图象,再将所得图

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象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y = sin(2 x -

p
6

) 的图象.

所以 g ( x) = sin(2 x - ). 6
令 2x -

p

-------------------------9 分

p
6

= t ,∵ 0 ? x ?

p
2

,∴ -

p

5 ?t ? p 6 6

? p? g ( x) + k = 0 ,在区间 ? 0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y = g ( x) 与 y = -k 在区间 ? 2?

1 1 ? p? ? 0, 2 ? 上有且只有 一个交点,由正弦函数的图像可知 - 2 ? -k < 2 或 -k = 1 ? ?
∴-

1 1 < k ? 或 k = -1 . 2 2

-------------------12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {a n } 的公比为 q ,由 a3 a 6 = a 2 ∴ an = a2 q
n

2

q5 =

1 5 1 1 得q = , q = 16 512 2
---------------------------------- 2 分

n -2

bn = log 2 a 2 2 log 2 a2 =

n+1

1 = ( )n . 2 2= log 1 2 n-1 2 log
( ) 2

1 ( )2 n +1 2

2

1 1 1 1 = ( ) (2n -1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 n . ∴ Tn = (1 - + - + K + )= (1 )= 2 3 3 5 2 n - 1 2n + 1 2 2n +1 2n +1
-------------------------------------5 分 (Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 lTn < n - 2 恒成立得, l < 即 l < ( 2n 而 2n -

(n - 2)(2n + 1) 2 = 2n - - 3 恒成立, n n
----------------------------------6 分

2 - 3) min , n

2 2 - 3 随 n 的增大而增大,∴ n = 2 时 (2n - - 3) min = 0 , n n
----------------------------------8 分

∴l < 0 ; ②当 n 为奇数时,由 lTn < n + 2 恒成立得, l < 即 l < ( 2n +

(n + 2)(2n + 1) 2 = 2n + + 5 恒成立, n n
-----------------------------------9 分

2 + 5) min , n

而 2n +

2 2 2 + 5 ? 2 2n + 5 = 9 ,当且仅当 2n = ? n = 1 等号成立, n n n
---------------------------------------11 分 ----------------------------------------12 分

∴l < 9 . 综上,实数 l 的取 值范围 - ? , . ( 0) (本小题满分 12 分) 20.

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解(Ⅰ)取 PC 的中点为 O,连 FO,DO,
∵F,O 分别为 BP,PC 的中点,

∴ FO ∥BC,且 FO =

1 BC , 2 1 BC , 2

又 ABCD 为平行四边形, ED ∥BC,且 ED = ∴ FO ∥ED, 且 FO = ED ∴四边形 EFOD 是平行四边形 即 EF∥DO 又 EF ? 平面 PDC

------------------------------------ ---------2 分

∴EF∥平面 PDC. (Ⅱ)若∠CDP=90°,则 PD⊥DC, 又 AD⊥平面 PDC ∴PD⊥平面 ABCD, ∵BE 平面 ABCD, ∴AD⊥DP,

--------------------------------------------- 4 分

--------------------------------- 6 分

∴BE⊥DP

-------------------------------- 8 分

(Ⅲ)连结 AC,由 ABCD 为平行四边形可知 DABC 与 DADC 面积相等, 所以三棱锥 P - ADC 与三棱锥 P - ABC 体积相等, 即五面体的体积为三棱锥 P - ADC 体积的二倍. ∵AD⊥平面 PDC,∴AD⊥DP,由 AD=3,AP=5,可得 DP=4 又∠CDP=120°PC=2 7 , 由余弦定理并整理得 DC + 4 DC -12 = 0 , 解得 DC=2
2

-------------------------- 10 分
o

∴ 三棱锥 P - ADC 的体积 V = · · 2 · 4 · sin120 · 3 = 2 3 ∴该五面体的体积为 4 3

1 1 3 2

----------------------------- 12 分

21.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ)当 a = -

1 1 x2 时, f ( x) = - ln x + + 1, 2 2 4

( ∴ f ? x) =

-1 x x 2 -1 + = . 2x 2 2x

∵ f (x) 的定义域为 (0,+? ) ,∴由 f ? x) = 0 得 x = 1 . ---------------------------3 分 (

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∴ f (x) 在区间 [ , e] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到,

1 e

1 e

[来源:Zxxk.Com]

而 f (1) =

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) = + 2 , f (e ) = + , 4 2 4e 2 4 e 1 e2 5 + , f ( x) min = f (1) = . 2 4 4
---------------------------6 分

∴ f ( x) max = f (e) =

(a +1) x 2 + a (Ⅱ) f ? x) = ,x ? (0, +? ) . ( x
①当 a + 1 ? 0 ,即 a ? -1 时, f ? x) < 0,\ f ( x) 在 (0,+? ) 单调递减;-------------7 分 ( ②当 a ? 0 时, f ? x) > 0,\ f ( x) 在 (0,+? ) 单调递增; (

----------------8 分

③当 - 1 < a < 0 时,由 f ? x) > 0 得 x > (

2

-a -a -a 或x<(舍去) ,\ x > a +1 a +1 a +1
--------------------10 分

∴ f (x) 在 ( 综上,

-a -a ,+? ) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a +1 a +1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,+? ) 单调递增;

当 - 1 < a < 0 时, f (x) 在 (

-a -a ,+? ) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a +1 a +1
-----------------------12 分

当 a ? -1 时, f (x) 在 (0,+? ) 单调递减;

22. (本小题满分 14 分)
解: (Ⅰ)①当直线 PQ 的斜率不存在时,由 F2 (1, 0) 可知 PQ 方程为 x = 1,

x2 y 2 3 3 + = 1 得 P (1, ), Q(1, - ), 又 A(-2, 0) 4 3 2 2 uuu r uuu uuur 27 r 3 uuur 3 ∴ AP = (3, ), AQ = (3, - ) , AP AQ = ------------------------------2 分 2 2 4
代入椭圆 C : ②当直线 PQ 的斜率存在时,设 PQ 方程为 y = k ( x -1)(k ? 0)

代入椭圆 C :

x2 y 2 + = 1 得 (3 + 4k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 --------------------------4 分 4 3

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设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 得x1 + x2 =

8k 2 4k 2 -12 ----------------------------5 分 , x1 x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2
-9k 2 3 + 4k 2

y1 y2 = k 2 ( x1 -1)( x2 -1) = k 2 (-x1 - x2 + x1 x2 +1) =
uuu uuur r

∴ AP AQ = ( x1 + 2)( x2 + 2) + y1 y2 = x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 + y1 y2

=

27 k 2 27 27 = ? (0, ) 2 3 3 + 4k 4 +4 2 k

----------------------------------------9 分

uuu uuur r 27 综上, AP AQ的取值范围是(0, ] 4

---------------------------------------10 分

(Ⅱ)AP 的方程为 y =

y1 ( x + 2)与 l 的方程 : x = 4联立 x1 + 2
--------------------------------------11 分

得M (4,

6 y1 6 y2 ) 同理, 得N (4, ) x1 + 2 x2 + 2

\ yM y N =

6 y1 6 y2 36 y1 y2 = x1 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4
36

3 3 (- ) 2 2 = -9 1 当k不存在时, yM y N = 1 1 + 2(1 +1) + 4 -

------------------------------------12 分

324k 2 3 + 4k 2 2 当k 存在时, yM y N = 2 = -9 ----------------------------------13 分 4k -12 16k 2 + +4 3 + 4k 2 3 + 4k 2
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∴ M , N 两点的纵坐标之积为定值 - 9

-----------------------14 分

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