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浙江省嘉兴市第一中学届高三数学下学期适应性练习试题文-课件


嘉兴一中 2016 年高考数学适应性练习(文科)
一、选择题(本大题共8小题,每题 5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合 A ? ?1,2,3? , 则集合 B 中的元素个数为 ( B ? ?( x, y) x ? y ? 4 ? 0, x, y ? A? , A.9 B. 6 C.4 D.3 )

>2.某几何体的三视图如图所示,图中的正视图、侧视图、俯 视图都是边长为 1 的正方形, 两条虚线的交点为正方形的一边的中 点,则该几何体的体积是( ) A.

1 3

B.

2 3

C.1

D.

4 3

正视图

侧视图

俯视图 3.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? x ? 3 ,则 f ( x) ? g ( x) 的图
2

象为(
y


y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C )

D

4.已知 a , b 都是实数,那么“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的为( ) ①若 ? ∥ ? , a ? ? , b ∥ ? ,则 a ? b ;②若 ? ? ? , a ? ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ; ③若 ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b ; ④若 ? ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ? b . A. ①④ B.②③ C.③④ D. ①②

6.已知函数 y ? 3cos x 的图象与 y ? 8 tan x 在 (0, ) 的交点为 M ,过点 M 作 x 的垂线 2 MN ,直线 MN 与 y ? sin x 的图象交于点 Q ,则线段 MQ 的长度( ) A. 2 2 ?

?

2 2 1 1 B. C. D. 2 2 3 3 3

7.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 0, ? x ? a, x ? 0,

,以下说法正确的是(



1

A. ?a ? R ,函数 f ( x ) 在定义域上单调递增 B. ?a ? R ,函数 f ( x ) 存在零点 C. ?a ? R ,函数 f ( x ) 有最大值 D. ?a ? R ,函数 f ( x ) 没有最小值 8. 已知点 P 是椭圆

x2 y 2 过点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 36 ? ? 1 上在 y 轴的右侧的任意一点, 72 36


的切线,切点为 Q , F 为椭圆的右焦点,则 PQ ? PF 的值为( A. 3 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 5 2

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.计算: log9 3 ? log9 27 ? , (10)
2 ? lg 16 25

?



10.设全集 U ? R ,集合 A ? x x2 ? 6 x ? 5 ? 0 ,B ? x x 2 ? 1 ? 0 , 则 CU A ?

?

?

?

?



(CU A) ? B ?



11. 设 e1 , e2 为单位向量,其中 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,且 a 在 b 上的投影为 2 , 则a ? b ? , e1 与 e2 的夹角为 .

?y ? x ? 12. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ?| x ? 3 y | 的最大值为 ? x ? ?2 ?
小 值为 . 13.将函数 f ( x) ? cos ? x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移 象重合,则 f ( ) ? 3

,最

? 个单位,若所得图象与原图 3

?



14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数

k?

. 15. 已知直线 2ax ? by ? 1(其中 ab ? 0 )与圆 x ? y ? 1相交于 A 、 B 两点,O 为
2 2

坐标原点,且 ?AOB ? 120 ,则
0

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b

.

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,且

3cos B ? 2sin( ? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A . 3 3
(1)求角 B 的值; (2)若 b ? 2 3 ,求三角形 ABC 周长的最大值.

?

?

17 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 正 项 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a1 ? 1 ,

1 2 Sn ? (an ? 3an ? 2), n ? N? . 6
(1)求 a n ; (2)若 akn ??a1 , a2 ,?, an ,?? ,且 ak1 , ak2 ,?, akn ,? 成等比数列,当 k1 ? 1, k2 ? 4 时,求 k n .

18. (本题满分 15 分)如图,在 Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90 ,?B ? 30 , D, E 分
? ?

别为 AB ,CD 的中点, AE 的延长线交 CB 于 F .现将△ ACD 沿 CD 折起, 折成二面角

A ? CD ? B ,连接 AF . (1)求证:平面 AEF ⊥平面 CBD ;
(2)当二面角 A ? CD ? B 为直二面角时,求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值.
A A

D

D

E C F B C

E F

B

(第18题图)

3

19. (本题满分 15 分) 如图, 已知抛物线的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) , Q 过点 A(0, ?1) 作直线 l 与抛物线相交于 P, Q 两点,点 B 的坐标为 (0,1) , 连接 BP, BQ ,设 QB, BP 与 x 轴分别相交于 M , N 两点. (1)如果 p ? 2 ,且三角形 BPQ 的面积为 4,求直线 l 的方程; (2)如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 ,求 MN 的长度.

y

B ? P
N
O M

x

A

20. (本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 3a ? 1 . (1) 若 0 ? a ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 )

x1 , x2 满足 x1 ?[b, b ? a] , x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] ,求实数 b 的最大值; ( 2 )当 x ? [ ? 4, 4]时,
f ( x ) ? 0 恒成立,求 5a ? b 的最小值.

嘉兴一中 2016 年高考数学适应性练习(文科)参考答案 一、选择题(本大题共8小题,每题 5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合 A ? ?1,2,3? , 则集合 B 中的元素个数为 ( B ? ?( x, y) x ? y ? 4 ? 0, x, y ? A? , A.9 D B. 6 C.4 D.3 )

3) 提示: x, y ? A 的数对共 9 对,其中 (2, 3), (3, 2), (3, 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,所以集合 B 中的元素个数共 3 个.
2.某几何体的三视图如图所示,图中的正视图、侧视图、俯 视图都是边长为 1 的正方形,两条虚线的交点为正方形的中点,则 正视图

侧视图
4

俯视图

该几何体的体积是( A. B

) C.1 D.

1 3

B.

2 3

4 3

提示:由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥,其中正方体的棱为 1 , 正四棱锥的底面边长为正方体的上底面,顶点为正方体下底面的中心,因此,该几何体的体

1 2 积为 V ? 13 ? ?1?12 ? . 3 3
3.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? x2 ? 3 ,则 f ( x) ? g ( x) 的图象为(
y y y y



O

x

O

x

O

x

O

x

A C

B

C

D

提示:由 f ( x) ? g ( x) 为偶函数,排除 A, D ,当 x ? e 时, f ( x) ? g ( x) ? ?e2 ? 3 ? 0 ,排除 B. 4.已知 a , b 都是实数,那么“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 D 提示:因为 a3 ? b3 等价于 a ? b ,由于 a , b 正负不定,所以由 a ? b 不能得到 a 2 ? b 2 ;由

a3 ? b3 也不能得到 a ? b ,因此“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的既不充分也不必要条件. 5.设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的为( ) ①若 ? ∥ ? , a ? ? , b ∥ ? ,则 a ? b ;②若 ? ? ? , a ? ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ;
③若 ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b ; ④若 ? ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ? b . A. ①④ A 6.已知函数 y ? 3cos x 的图象与 y ? 8 tan x 在 (0, ) 的交点为 M ,过点 M 作 x 的垂线 2 MN ,直线 MN 与 y ? sin x 的图象交于点 Q ,则线段 MQ 的长度( ) A. 2 2 ? A B.②③ C.③④ D. ①②

?

2 2 1 1 B. C. D. 2 2 3 3 3

5

? 1 提示:设 3cos x ? 8 tan x ,则 3sin 2 x ? 8sin x ? 3 ? 0 ,因为 x ? (0, ) ,所以 sin x ? 且 2 3
cos x ? 2 2 1 ,因此 MQ ? 3cos x ? sin x ? 2 2 ? . 3 3


?2 x , x ? 0, 7.已知函数 f ( x) ? ? ,以下说法正确的是( ? x ? a, x ? 0,
A. ?a ? R ,函数 f ( x ) 在定义域上单调递增 B. ?a ? R ,函数 f ( x ) 存在零点 C. ?a ? R ,函数 f ( x ) 有最大值 D. ?a ? R ,函数 f ( x ) 没有最小值 D 8. 已知点 P 是椭圆

x2 y 2 过点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 36 ? ? 1 上在 y 轴的右侧的任意一点, 72 36


的切线,切点为 Q , F 为椭圆的右焦点,则 PQ ? PF 的值为( A. 3 2 C 提示: 设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 由题意 PQ ? 所以 PQ ? B. 4 2 C. 6 2 D. 5 2

2 2 PO ? 36 ? x0 ? y0 ? 36 , 因为 y02 ? 36 ?

2

x02 , 2

x2 2 2 2 x0 ,又因为 PF ? ( x0 ? 6)2 ? y0 ? ( x0 ? 6)2 ? 36 ? 0 ? 6 2 ? x0 , (因为 2 2 2

0 ? x ? 6 2 )因此 PQ ? PF ? 6 2 .
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.计算: log9 3 ? log9 27 ? 2,64. 10.设全集 U ? R ,集合 A ? x x2 ? 6 x ? 5 ? 0 ,B ? x x 2 ? 1 ? 0 , 则 CU A ? , (10)
2 ? lg 16 25

?



?

?

?

?



(CU A) ? B ?



CU A ? ?x 1 ? x ? 5? , ? .
11. 设 e1 , e2 为单位向量,其中 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,且 a 在 b 上的投影为 2 , 则a ? b ? , e1 与 e2 的夹角为 .

6

? a ? b ?2, . 3
提示:设 e1 与 e2 夹角为 ? ,则
2 a ? b (2e1 ? e2 ) ? e2 2e1 ? e2 ? e2 ? ? |b| | e2 | 1

? 2 | e1 | ? | e2 | cos? ? 1 ? 2 ,解得 cos ? ?

1 ? ? ,所以 ? ? .故填 . 2 3 3
,最

?y ? x ? 12. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ?| x ? 3 y | 的最大值为 ? x ? ?2 ?
小 值为 .

解:依题意,画出满足条件的可行域如图中阴影部分,则对于目标函数 z ?| x ? 3 y | , 当直线经过点 A(?2, 2) 时, z ?| x ? 3 y | 取得最大值,即 zmax ?| ?2 ? 3? 2 |? 8 . 13.将函数 f ( x) ? cos ? x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移 象重合,则 f ( ) ? 3

? 个单位,若所得图象与原图 3

?



1
提示:由题意

?
3

?

2?

?

? k (k ? N * ) ,所以 ? ? 6k (k ? N * ) ,因此 f ( x) ? cos 6kx ,从而

f ( ) ? cos 2k? ? 1 . 3
14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数

?

k?
12 .

. 提 示 : 依 题 意 a6 ? S6 ? S5 ? 0 , a7 ? S7 ? S6 ? 0 , a6 ? a7 ? S7 ? S5 ? 0 , 则

11(a1 ? a 1 ) 12(a1 ? a12 ) 12(a6 ? a7 ) 1 ? ?0, , S12 ? ?1 1 a6 ? 0 2 2 2 13(a1 ? a13 ) S13 ? ? 13a7 ? 0 ,所以 S12 S13 ? 0 ,即满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ? 12 . 2 S11 ?
15. 已知直线 2ax ? by ? 1(其中 ab ? 0 )与圆 x ? y ? 1相交于 A 、 B 两点,O 为
2 2

坐标原点,且 ?AOB ? 120 ,则
0

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b

.

2 提示: 由题意 ?AOB ? 120 , 且 OA ? OB ? 1 , 所以圆心 (0, 0) 到直线 2ax ? by ? 1
0

7

的 距 离 d?

1 , 得 2

1 2a ? b
2 2

?

1 2 2 , 得 2a ? b ? 4 , 由 基 本 不 等 式 , 得 2

1 2 1 1 2 1 2 1 b 2 4a 2 1 2 2 ? ? (2 a ? b )( ? ) ? (2 ? 2 ? ? 2 ) ? (4 ? 4) ? 2 ,故 2 ? 2 的最 2 2 2 2 2 a b 4 a b a b 4 a b 4
小值为 2. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,且

3cos B ? 2sin( ? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A . 3 3
(1)求角 B 的值; (2)若 b ? 2 3 ,求三角形 ABC 周长的最大值.

?

?

? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A 3 3 3 1 3 1 3 3 3 1 ? 2( cos A ? sin A)( cos A ? sin A) ? 2sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? , 所以 cos B ? , 2 2 2 2 2 2 2 2
因为 B 是三角形的内角,所以 B ? (2)正弦定理得

解: (1)因为 3cos B ? 2sin(

?

?

?
3



a c 2 3 2 ? ? ? 4 ,所以 a ? 4sin A, c ? 4sin( ? ? A ),因此三 ? sin A sin C sin 3 3 2 ? 2 角形 ABC 周长 l ? 4sin A ? 4sin( ? ? A ) ? 2 3 ? 4 3 sin( A? ? ) 2 ,因为 3 0? A? ? , 3 6 3
所以当 A ?

?
3

时, lmax ? 6 3 .

17 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 正 项 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a1 ? 1 ,

1 2 Sn ? (an ? 3an ? 2), n ? N? . 6
(1)求 a n ; (2)若 akn ??a1 , a2 ,?, an ,?? ,且 ak1 , ak2 ,?, akn ,? 成等比数列,当 k1 ? 1, k2 ? 4 时,求 k n .

1 2 (an ? 3an ? 2), n ? N ? ,得 6 1 2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ? 3an ? 3an ?1 ) ,整理, 6
解: (1)由 S n ? 得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ,? an ? 0,?an ? an?1 ? 0,?an ? an?1 ? 3 所以,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列. ,

8

因此, an ? 3n ? 2, n ? N ? . ( 2 ) ak1 ? a1 ? 1, ak2 ? a4 ? 10,? akn

? ? 是首项为

1 , 公 比 为 10 的 等 比 数

列.?akn ? 10n?1, n ? N ? ,又 akn ??a1, a2 ,?, an ,? ? ,?akn ? 3kn ? 2 ? 10n?1,

? kn ?

10n ?1 ? 2 ,n? N? . 3
? ?

18. (本题满分 15 分)如图,在 Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90 ,?B ? 30 , D, E 分 别为 AB ,CD 的中点, AE 的延长线交 CB 于 F .现将△ ACD 沿 CD 折起, 折成二面角

A ? CD ? B ,连接 AF . (1)求证:平面 AEF ⊥平面 CBD ;
(2)当二面角 A ? CD ? B 为直二面角时,求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值.
A A

D

D

E C F B C

E F

B

(第18题图)

?CAD ? 60 ,? AD ? CD ? DB , (1)证明:在 Rt?ABC中,D为AB的中点,
?

又 E 是 CD 的中点,得 AE ? CD . 折起后, AE ? CD , EF ? CD , 又 AE ? EF ? E , AE ? 平面AEF, EF ? 平面AEF ,故 CD ? 平面AEF, 又 CD ? 平面CDB,所以平面 AEF ? 平面CBD . (2)解:由(1)中知 CD ? 平面 AEF ,过 B 作 EF 的延长线的垂线交 EF 于 O 点, 连结 OA ,∴ OB ∥ CD ,∴ OB ? 平面AEF,∴ ?BAO 就是直线 AB 与 平面AEF 所成 的角.设 AC ? a ,在△ CDB 中,

?DCB ? 30 ? , CE ?

a , CB ? 3a, 2

A

D

∴ EB 2 ? CE 2 ? CB 2 ? 2CE ? CB ? cos?DCB ? 又 AE ?

7a , 4

2

E C F
(第18题图)

B

7a 2 3a 2 10 3 ? ? a, a ,∴ AB ? 2 4 4 2 a 3 3 2 3 又CF ? 2 ? ? a,? BF ? 3a ? a? a, 3 3 3 cos30 2 3 BO 10 a sin 60? ? a, ∴ sin ?BAO ? ? ∴ BO ? , 3 AB 5

O

9

∴直线 AB 与 平面AEF 所成的角的正弦值为

10 . 5

19. (本题满分 15 分) 如图, 已知抛物线的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) , Q 过点 A(0, ?1) 作直线 l 与抛物线相交于 P, Q 两点,点 B 的坐标为 (0,1) , 连接 BP, BQ ,设 QB, BP 与 x 轴分别相交于 M , N 两点. (1)如果 p ? 2 ,且三角形 BPQ 的面积为 4,求直线 l 的方程; (2)如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 ,求 MN 的长度. 解: (1)直线 l 的斜率必定存在,设为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,

y

B ? P
N
O M

x

x 1 代 入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 则 因 为 p?2 , 把 y? k? ? ? 16 k2 ?1 6 ?, 0 所 以 k 2 ? 1 , 设 P, Q 两 点 的 坐 标 分 别 为

A

( x1 , y1 ) , x( y,,则 ) x1 , x2 为方程 x 2 ? 4 kx ? 4 ? 0 的两个解,因此 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 4 ,所以 2 2

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ,点 B(0,1) 到直线 l 的距离 d ?

2 k2 ?1

,由三角形 BPQ 的面积为 4

1 2 ? 4 ,解得 k ? ? 2 ,满足 k 2 ? 1 . 得 ? 4 1? k 2 ? k 2 ?1 ? 2 k2 ?1
因此直线 l 的方程为 2x ? y ? 1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . ( 2 )把直线 l 的方程代入 x 2 ? 2 py 得 x2 ? 2 pkx ? 2 p ? 0 ,设 P, Q 两点的坐标分别为

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 则 x1 , x2 为 方 程 x2 ? 2 p k ? x2

的 两 个 解 , 因 此 x1 x2 ? 2 p , p ?0

kBP ?

x ? x1 y1 ? 1 x12 ? 2 p x12 ? x1 x2 x1 ? x2 ? ? ? , 同理 k BQ ? 2 , 因此 kBP ? kBQ ? 0 , 因为 QB 的 2p x1 2 px1 2 px1 2p

斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 ,所以 QB 的斜率为 ? 3 ,从而 ?BMN ? ?BNM ? 60? ,即
?MNB 为正三角形,因为 BO 为正三角形 MNB 的高,且 BO ? 1,所以 MN ?

2 3 . 3

20. (本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 3a ? 1 , (1) 若 0 ? a ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 )

x1 , x2 满足 x1 ?[b, b ? a] , x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] ,求实数 b 的最大值; ( 2 )当 x ? [ ? 4, 4]时,
f ( x ) ? 0 恒成立,求 5a ? b 的最小值.

b b , 即 ( x1 ? x2 )max ? ? ,因为 2a 2a b ?10a2 x1 ?[b, b ? a] , x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] ,所以, 2b ? 5a ? ? ,解得 b ? ,令 4a ? 1 ? t , 2a 4a ? 1
解: ( 1 ) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 及 x1 ? x2 得 到 x1 ? x2 ? ?

10

a2 1 1 1 ?10a 2 ?10a2 ? (t ? ? 2) ? ,从而 ? ?2 ,即 ( )m ? ?2 ,所以,b ? ?2 , n i 4a ? 1 16 t 5 4a ? 1 4a ? 1 当 a ? 1 时, b 的最大值为 ?2 .
则 t ? (1,5] ,

b b ? ?4 , f (? ) ? 0 ,即 ?16a ? b ? 16a 且 4a 4a 1 2 1 24a 2 ? 8a ? b2 ? 0 , 整 理 得 24(a ? )2 ? b2 ? , 设 24 ( ,其中 a ? )? r cos ? b,? r s ? in 6 3 6
(2)方法一:当 a ? 0 时, (1)若 ?4 ? ?

0?r ?

6 5 7 6 1 ? ?? ,等号 成立的 条件是 , ? ?[0, 2? ] . 所 以 , 5a ? b ? ? 3 6 2 6 3 3

6 2 6 5 1 4 ,sin ? ? ? ,cos ? ? ? ,即 a ? , b ? ? . 3 7 7 21 7 b 1 (2)若 ? ? ?4 ,即 b ? 16 a ,则 5a ? b ? 21a ? 0 ? ? ; 4a 3 b 29 1 29 1 (3) ? ? 4 ,即 b ? ?16a ,又由题意知 b ? ? a ? ,所以, ?16a ? ? a ? , 4a 4 4 4 4 9 1 9 1 1 1 1 解得 a ? ,从而 5a ? b ? ? a ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 4 35 4 3 35 9 1 1 1 当 a ? 0 时,也容易知道 5a ? b ? ? a ? ? ? ? ? . 4 4 4 3 1 4 1 综上,当且仅当 a ? , b ? ? 时, (5a ? b)min ? ? . 21 7 3 r?
方法二:为了出现 5a ? b 的形式,可以把原函数换一种形式 f ( x) ? (2 x2 ? 3)a ? xb ? 1 , 只要令 a , b 对应系数成比例就会出现目标形式.

2 x2 ? 3 x 1 ? ,解得 x1 ? 3, x2 ? ? ,又 x ? [?4, 4] 时, f ( x) ? 0 ,特别地有 f (3) ? 0 , 5 1 2 1 1 1 所 以 5a ? b ? f ( 3)? ? ? , 当 且 仅 当 f (3) ? 0 时 成 立 . 另 一 方 面 , x ? [ ?4, 4] 时 , 3 3 3 1 b x ? 3 为二次函数的对称轴,即有 5a ? b ? ? ,且 ? f ( x) ? 0? f ( 3,所以, ) ? 3 ,解得 3 4a 1 4 1 4 1 a ? , b ? ? .从而,当且仅当 a ? , b ? ? 时, (5a ? b)min ? ? . 21 7 21 7 3 1 1 1 在前面的解法中,注意到 f (? ) ? ? (5a ? b) ? 1 ,所以 5a ? b ? ?2 f (? ) ? 2 ? 2 ,等号 2 2 2 2 4 1 b 1 当且仅当 f (? ) ? 0 ,即 ? ? ? 时成立,解得 a ? , b ? 时, 5a ? b 的最大值为 2. 7 7 2 4a 2


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