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高中数学必修5第二章


高中数学必修 5 第二章 等差数列例题 一、选择题: 1.一个等差数列 ?an ? 满足 a7 ? 10 , a10 ? 19 ,则公差 d ? ( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

2.在等差数列中, a5 ? a8 ? 5 ,则 a2 ? a11 等于(

A.5 B.10 C.15 D.20 3.等差数列 4,5,6,7,…,

则 100 是这个数列的第 项( A.100 B.98 C.97 D.96 4.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a77 ? a78 ? 20 ,则 a2 ? a79 ? ( A.5 B.10 C.20 5.等差数列 19,17,15,…,则该数列前 A.10 B.9 C.11 D.30 项之和最大。 ( D.8







6.在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a11 ? 40 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 的值为( A.84 B.72 C.60 D.48 ) D.4



7.在等差数列 ?an ? 中,前 15 项的和 S15 ? 90 , a8 为( A.6 B.3 C.12

8.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项的和等于( A.160 B.180 C.200 D.220 )



9.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值等于( A.45 B.75 C.180 D.300 )

10.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 Sn ? n2 ,则 ?an ? 是(

A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 二、填空题: 1.等差数列 8,5,2,…的第 20 项为___________。 2. 2 与 8 的等差中项是 , 2 与 ?8 的等差中项是 。 3. 3 ? 2 与 3 ? 2 的等差中项是
2 2



4. (a ? b) 与 (a ? b) 的等差中项是_____________。 5.若三个数 x , x ? 2 , 3 成等差数列,则 x 的值是 6.若三角形的三内角成等差数列,则必有一内角是 7.等差数列 ?an ? 中, a4 ? a7 ? 45,则 a 2 ? a9 的值是 8.正整数前 n 个数的和是___________。 9.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn= 3n ? n2 ,则 an =___________。 10.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3 , a4 ? 3 ,则 a2012 ?
1

。 。 。



三、解答题: 1.已知等差数列 ?an ? , a5 ? 11 , a8 ? 5 求 d 和 an 。

2.已知等差数列 ?an ? : (1) a1 ? 5 , d ? ?3 求 a15 及 an ; (2) a5 ? ?2 , d ? ?6 求 a1 及 an 。

3. (1)已知等差数列中 a1 ? ?1 , d ? 2 求 Sn (2)等差数列 ?an ? 中, d ? 2 , an ? 41 , Sn ? 440 ,求 a1

4.设三个数成等差数列,且三个数的和等于 27 ,三个数的平方和等于 315 ,求此三数。

2

5.已知数列 ?an ? 中,前 n 项和 S n ? ?n 2 ? 8n(n ? Z ? ) (1)求数列的通项公式 an ; (2)证明:数列 ?an ? 是等差数列。

6.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a5 ? 7 ,前 n 项和是 102,求 n 的值。

7.在 3 和 37 之间插入若干个数,使他们成为首项为 3 的等差数列,且使它们的各项和为 360,问插入多 少个数?数列的公差是多少?

8.等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 21, a5 ? 15 ,求通项 an 及前 n 项和的最大值.

3

9. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是 Sn ? 5n2 ? 3n ,求它的前 3 项,并求它的通项公式。

10.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a5 ? 17 , a2 ? a5 ? 52,且 a2 ? a5 ,求 a5 和 a2 .

4

高中数学必修 5 第二章 等差数列例题答案 一、选择题: 1.C 2.A 3.C 二、填空题: 1. ?49 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.B

2. 5 , ? 3

3. 3

4. a ? b
2

2

5. 7

6. 60

7. 45

8.

n2 ? n 2

9. 4 ? 2n

10. 3

三、解答题: 1.解:

an ? a1 ? (n ?1)d

?a5 ? a1 ? (5 ? 1)d ? 11 ?a1 ? 4d ? 11 ?? ?? ?a1 ? 7d ? 5 ?a8 ? a1 ? (8 ? 1)d ? 5 ?a ? 19 ?? 1 ? an ? 19 ? (n ? 1) ? (?2) ? 17 ? 2n ?d ? ?2
2.解: (1) an ? a1 ? (n ?1)d

? 5 ? ( n ?1) ? ( ?3) ? 8 ? 3n a15 ? 8 ? 3 ?15 ? ?37

(2) a5 ? a1 ? (5 ? 1)d ? a1 ? a5 ? 4d ? ?2 ? 4 ? (?6) ? 22 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 22 ? (n ? 1) ? (?6) ? 28 ? 6n
3.解: (1) S n ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? n ? (?1) ? ? 2 ? n 2 ? 2n 2 2

?an ? a1 ? (n ? 1)d ?a ? (n ? 1) ? 2 ? 41 ? ? 1 (2) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? na1 ? ? 2 ? 440 Sn ? na1 ? d ? ? ? 2 ? 2
? n ? 22 或者 n ? 20
①当 n ? 22 时, a1 ? ?1 ; ②当 n ? 20 时, a1 ? 1 。 4.设这三个数为: a ? d , a , a ? d

?a ? d ? a ? a ? d ? 27 ?a ? 9 ? ? ? 2 2 2 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 315 ?d ? ?6

? 这三个数为 15、9、3 或者 3、9、15
5.解: (1) an ? Sn ? Sn?1
2 ? (?n2 ? 8n) ? ? ? ?(n ? 1) ? 8(n ? 1) ? ?

? ?2n ? 9
5

(2)an ? an?1 ? (?2n ? 9) ? ??2(n ?1) ? 9? ? ?2 (常数)
? 数列 ?an ? 是等差数列
6.解: an ? a1 ? (n ?1)d

a5 ? 3 ? (5 ? 1)d ? 7 ? d ? 1 Sn ? na1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 24 ? n ? 3 ? ?1 ? 102 2 2

? n ? 12 或者 n ? ?17 (舍去) ? n ? 12
7.解:设这个数列为 ?an ? ,有 n 项,公差为 d 由题知 a1 ? 3 , an ? 37 , Sn ? 360

?an ? a1 ? (n ? 1)d ?3 ? (n ? 1)d ? 37 ?n ? 18 ? ? ?? ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? Sn ? na1 ? d ? ?3n ? 2 d ? 360 ?d ? 2 ? ? 2

? 中间插入了 16 个数,公差为 2。
8.解: am ? an ? (m ? n)d

a5 ? a2 ? (5 ? 2)d ? 15 ? 21 ? 3d ? d ? ?2 a2 ? a1 ? (2 ? 1)d ? a1 ? 23 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 23 ? (n ? 1) ? (?2) ? 25 ? 2n
an ? 25 ? 2n ? 0 ?n? 25 2
n(n ? 1) 12 ?11 d ? 12 ? 23 ? ? (?2) ? 144 2 2

? 当 n ? 12 时, Sn (max) ? na1 ?
9.解: S3 ? 5 ? 32 ? 3? 3 ? 54

2 an ? S n ? Sn ?1 ? (5n 2 ? 3n) ? ? ?5(n ? 1) ? 3(n ? 1) ? ? ? 10n ? 2

10.解:

?a2 ? a5 ? 52 ? a2 ? (17 ? a2 ) ? 52 ? ?a2 ? a5 ? 17 ? a2 2 ? 17a2 ? 52 ? 0 ? (a2 ? 4)(a2 ? 13) ? 0
①当 a2 ? 4 时, a5 ? 13 ②当 a2 ? 13 时, a5 ? 4 又

a2 ? 4 或者 a2 ? 13

a2 ? a5

? a2 ? 4 , a5 ? 13
6


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