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2015学年浙江省第二次五校联考数学(理科)试题卷(2016.5)


2015 学年浙江省第二次五校联考

数学(理科)试题卷
本试题 卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定 用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 40 分)
一、选择题(本大

题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. ) 1.定义集合 A ? x f ? x ? ? A. ?1, ?? ? B. ?0,1?

?

2 x ? 1 , B ? y y ? log 2 ? 2 x ? 2 ? ,则 A ? ?R B ? (
C. ?0,1? D. ? 0, 2 ?

? ?

?



2 2 2 2. ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,则“ a ? b ? c ”是“ ?ABC 为钝角三角形”

的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 3.对任意的 ? ? ? 0,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? ?

??

1 4 ? ,不等式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 x ? 1 恒成立,则实数 x 的取值范围是( 2?

A.

??3, 4?

B.

?0, 2?

? 3 5? ? , ? ? 2 2? ? C.

D.

??4,5?

4.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,下列数学命题不正 确的是( )

A.平面 ACB1 / / 平面 AC 1 1 D ,且两平面的距离为

3 3

B.点 P 在线段 AB 上运动,则四面体 PA 1B 1C1 的体积不变

C.与所有 12 条棱都相切的球的体积为

2 ? 3

N 是 ?AB1C 外接圆的圆周上任意一点, D. M 是正方体的内切球的球面上任意一点, 则 MN 的

最小值 是

3? 2 2

5.设函数 f ? x ? ? ?

? ?2sin x, x ? ?0, ? ? ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 在 ?0, 2? ? 内恰有 4 个不同的零 ? ? cos x , x ? ?? , 2? ?
) C. ? 0,1? D. ?1, 2 ? B. ?1, 2?

点,则实数 m 的取值范围是( A. ? 0,1?

x2 y2 6.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左 右焦点, 以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一 a b
象限 的交点为 P ,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H ,若 PH ? a ,则双曲线的离心率为( )

A.

5 2

B.

3 2

C.

5 ?1 2

D.

6 ?1 2


7.已知 3 tan A.

?
2

? tan 2
B. ?

?
2

? 1,sin ? ? 3sin ? 2? ? ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? (
C. ?

4 3

4 3

2 3

D. ?3

8. 如图, 棱长为 4 的正方体 ABCD ? A 点 A在 1B 1C1 D 1, 平面 ? 内,平面 ABCD 与平面 ? 所成的二面角为 30 ,
0

则顶点 C1 到平面 ? 的距离的最大值是(



? C. 2 ?

A. 2 2 ? 2

?

B. 2

3 ?1

?

? D. 2 ?

3? 2

?

2 ?1

?

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分, 共 36 分) 9.已知空间几何体的三视图如图所 示,则该几何体的表面积 是 ;几何体的体积是 。 10.若 x ?

?
6

是函数 f ? x ? ? sin 2x ? a cos 2x 的一条对称轴, 则函数 ;函数 f ? x ? 的最大值

f ? x ? 的最小正周期是
是 。

11. 已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 2, an ?1 ? 数列 ?bn ? 前 n 项的和为 S n ,则 S2016 ?

1 ? an , 则 aaa a1 1 2 3 ? 5 1 ? an


?

; 设 bn ? ? ?1? an ,
n

?y ? x ? 12.已知整数 x, y 满足不等式 ? x ? y ? 4 ,则 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ?
值是 。

; x 2 ? y 2 的最小

? ? ? ? ? ? ? ? 2? b 的取值范围是 13.已知向量 a, b 满足: a ? 2 ,向量 b 与 a ? b 夹角为 ,则 a ? 3
* 14.若 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? ,其中 x ? N ,且 f ?1? ? 10 ,则 f ? x ? 的表达式是
2 2 15.从抛物线 y ? 2 x 上的点 A ? x0 , y0 ?? x0 ? 2? 向圆 ? x ? 1? ? y ? 1 引两条切线分别与 y 轴交 2

B, C 两点,则 ?ABC 的面积的最小值是
三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 15 分)如图,四边形 ABCD , ?DAB ? 60 , CD ? AD, CB ? AB 。
?

(Ⅰ)若 2 CB ? CD ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 CB ? CD ? 3 ,求 AC 的最小值。

17. (本小题满分 15 分)如图(1) E , F 分别是 AC , AB 的中点, ?ACB ? 90? , ?CAB ? 30? , 沿着 EF 将 ?AEF 折起,记二面角 A ? EF ? C 的度数为 ? 。
? (Ⅰ )当 ? ? 90 时,即得到图(2)求二面角 A ? BF ? C 的余弦值;

(Ⅱ)如图(3)中,若 AB ? CF ,求 cos? 的值。

18. (本小题满分 15 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,g ? x ? ? c x ? bx ? a , 对任意的 x ? ? ?1,1?
2

都有 f ? x ? ?

1 。 2

(Ⅰ)求 f ? 2? 的最大值; (Ⅱ)求证:对任意的 x ? ? ?1,1? ,都有 g ? x ? ? 1 。

19. (本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 点的连线与圆 x ? y ?
2 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,焦点与短轴的两顶 2 a b 2

3 相切。 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 过点 ?1,0 ? 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 在 x 轴上是否存在点 N , 使得 NA?NB 为定值? 如果有,求出点 N 的坐标及定值;如果没有,请说明理由。

??? ? ??? ?

2 3 3 3 * 20. (本小题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 满足: S n ? a1 ? a2 ? ? ? an n ? N ,其中 S n 为

?

?

数列 ?an ? 的前 n 项的和。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2n ? 1 (Ⅱ)求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?3。 (n ? 1) n ? 1 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? a2 n?1 ?

3

3

3

3

2015 学年浙江省第二次五校联考

数学(理科)答案
1.B 9. 8? ; 2.A 3.D 10. ? ; 4.D 5.A 11. 3; ?2100 6.C 7.B 12. 21;13 8.B 13. ? 2 ?

10 ? 3

2 3 3

? ?

4 3 4 3? ,2? ? 3 3 ?

?5? 14. f ? x ? ? 4 ? ? ?2?

21? x

?x?N ?
*

15. 8
0

16.(Ⅰ)∵ A, B, C , D 四点共圆,∴ ?DCB ? 120

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2CD? CB cos1200 ? 7 ,即 BD ? 7
所以 AC ?

BD 2 21 5 3 2 2 ? ,故 AB ? AC ? BC ? 0 sin 60 3 3
7分

S?ABC ?

1 5 3 AB?BC ? 2 6

(Ⅱ)设 BC ? x ? 0, CD ? y ? 0 ,则 x ? y ? 3

BD 2 ? x 2 ? y 2 ? xy ? ? x ? y ? ? xy
2

? ? x ? y? ?
2

1 27 3 3 2 ? x ? y ? ? ? BD ? 4 4 2

∴ AC ?

BD 2 ? BD ? 3 0 sin 60 3
3 时取到。 2
15 分

当 BC ? CD ?

17.(Ⅰ)∵平面 AEF ? 平面 CEFB ,且 EF ? EC ,∴ AE ? 平面 CEFB 过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H , 连接 AH , 则 ?A H E 为二面角 A ? BF ? C 的平面角 设 BC ? 2a ? EF ? a, AB ? 4a, AC ? 2 3a ,

AE ? 3a , EH ?

3 a 2

EH cos ?AHE ? ? AH

3 a 5 2 ? 5 3 3a 2 ? a 2 4

7分

(Ⅱ)过点 A 向 CE 作垂线,垂足为 G ,如果 AB ? CF ,则 根 据 三 垂 线 定 理 有 GB ? C F , 因 ?B C F 为 正 三 角 形 , 故

CG ? BC tan 300 ?
故 cos ? ?

2 3 3 a ,则 GE ? a ,而 AE ? 3a 3 3
15 分

GE 1 ? AE 3

18.(Ⅰ)∵ f ? 0? ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ? ?1? ? a ? b ? c ∴ f ? 2? ? 4a ? 2b ? c ? 2 f ?1? ? 2a ? c 而 f ?1? ?

1 , 2a ? f ?1? ? f ? ?1? ? 2c ? 2a ? 2 2

故 f ? 2 ? ? 4a ? 2b ? c ? 2 f ?1? ? 2a ? c ? 2 f ? 2 ? ? 2 a ? c ? 1 ? 2 ? 当 f ? x? ? x ?
2

1 7 ? 2 2

1 7 时,取到最大值 2 2

7分

(Ⅱ) g ? x ? ? c x ? bx ? a ? c x ? c ? bx ? a ? c ? c x ? c ? bx ? a ? c ∵ c x ? c ? c x ?1 ? c ? 令 u ? x ? ? bx ? a ? c

1 2



u ?1? ? a ? b ? c ?

1 1 u ? ?1? ? a ? b ? c ? 2, 2 u ? x ? ? bx ? a ? c ? 1 2

故对任意

x ???1,1?

都有

因此,对任意

x ???1,1?

都有

g ? x ? ? c x ? c ? bx ? a ? c ?

1 1 ? ?1 2 2

15 分

21. 19.(Ⅰ)∵ e ? ∴ bc ?

3 1 ? a 2 ? 4c 2 ,又焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x 2 ? y 2 ? 相切。 4 2

3 3 2 2 3 b ? c ? b2c 2 ? ? b2 ? c 2 ? ,即 ? a 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? ? a 2 ? c 2 ? ? 3 4 2 4

故 c2 ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

6分

(Ⅱ)当直线 l 的 斜率存在时,设其方程为 y ? k ? x ?1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12 ? ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ? ? ? y ? k ? x ? 1?

? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 4k 2 ? 3 则? 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 4k 2 ? 3 ?
若存在定点 N ? m,0? 满足条件,则有

??? ? ??? ? NA?NB ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? y1 y2 ? m2 ? m ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?
? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? ? m ? k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? m2

?1 ? k ?? 4k ?
2

2

? 12 ?

?

4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? 4m2 ? 8m ? 5? k 2 ? 3m2 ? 12 4k 2 ? 3

? m ? k ? 8k ?
2

2

? k 2 ? m2

如果要上式为定值,则必须有

4m2 ? 8m ? 5 4 11 ? ?m? 2 3m ? 12 3 8

验证当直线 l 斜 率不存在时,也符合。 故存在点 N ?

??? ? ??? ? 135 ? 11 ? , 0 ? 满足 NA?NB ? ? 64 ?8 ?

9分

2 3 3 3 * 20.(Ⅰ)∵ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an n ? N

?

? ? ? ?

∴ Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1
2 3 3 3
2 2 3 3 2 两式相减得 S n ? S n ?1 ? an ? an S n ? S n ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? an 2 2 则 S n ? S n ?1 ? an , S n ?1 ? S n ? 2 ? an ?1

?

?

?

?

?

?a 两式相减得

n

2 2 ? an ?1 ? ? an ? an ?1 ? ? an ? an ?1 ? ? 1

所以

an ? n
3

4分

? 1 ?2 1 (Ⅱ)根据(Ⅰ)知, ? ? ? n n ? an ?
2 ? k ? 2n ? 2 ? k ? ∵ k ? 2n ? 2 ? k ? ? ? ? ? ? n ? 1? 2 ? ? 2



1 k k

?
3

1 (2n ? 2 ? k ) (2n ? 2 ? k )
3 3

?

2 k ? 2 n ? 2 ? k ? k ? 2n ? 2 ? k ?

?

2

? n ? 1?

n ?1

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 即? ? ?? ? 2 ? ? ? ? ak ? ? a2 n? 2?k ? ? an?1 ?
令 k ? 1, 2,3,?, n ,累加后再加 ?
3 3 3

? 1 ? ? 得 ? an?1 ?
3 3 3 3 3 3

3 2

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? a a a a a ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? 2 n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 ? ? 1 ?2 2n ? 1 ? ? 2n ? 1? ? ? ? (n ? 1) n ? 1 ? an?1 ?
又∵ ?
3

9分

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ?3? ? ??? ?2 1 2 2 3 3 (2n ? 1) 2n ? 1 2 2 3 3 (2n ? 1) 2n ? 1

1 1 1 ? 1 1 ? 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? 而 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k k k ?1 k ? k ?1 k ? k ? k ?1 k k? ? k ?1

?

2 k? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ? k ? k ?1 k? k? ? k ?1

令 k ? 2,3, 4,?, 2n ? 1 ,累加得

1 2 2

?

1 3 3

?? ?

1 (2n ? 1) 2n ? 1

1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ??? 2? ? ? 2 ?1 ? ??2 ? ? 2? 2? ? 2 3? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ?
? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2n ? 1 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?3 (n ? 1) n ? 1 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? a2 n?1 ?
3 3 3 3

14 分

03(Ⅰ) 2 z ? 3 ? ( z ? 1)i ? z ? 2 ? i ? ? 3 ? i ? z ? ∴ z ? 1? i

3?i ? 1? i 2?i

z 3 ? a ? bi ? ?1 ? i ? ? a ? bi ? ?2 ? 2i ? a ? bi
3

a ? ?2, b ? 2 ? a ? b ? 0
(Ⅱ) f ' ? x ? ?

a ? x ? ?1 ? a ? ? 0 x
2

即不等式 x ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 在区间 ?1, 2 ? 上恒成立 令 g ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? a
2

? ? g ?1? ? 0 ?a?2 则 ? g ? 2? ? 0 ? ?
04(Ⅰ)令 x ? 1, y ? 1 ? a0 ? a1 ? ?? a7 ? 37 ① ②

令 x ? 1, y ? ?1 ? ?a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 1

①-②除以 2 得

37 ? 1 a0 ? a 2 ? a 4? a ? 6 2

令 x ? 0, y ? 1 ? a0 ? 1,所以 a2 ? a4 ? a6 ?

37 ? 1 ? 1 ? 1092 2
1 4 1 3

2 (Ⅱ)基本事件数为 C8 ? 28 ,而使两直线垂直的数对有 ?4, ; ?3, ; ?1,1 三种情况

故所求的概率为 P ?

3 28


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