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(构造法)解决导数小题


一、利用导数求值

2.对于每一个正整数

n ,设曲线 y ? xn?1 在点 ?1,1? 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则

1.函数,f(x)=2x -xf’(2)则函数 f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是

2

.<

br />
a1 ? a2 ? ? ? a99 ? _____________

2.已知函数 f(x)=e -f(0)x+

x

1 2

x ,则 f′(1)=____.

2

三、单调

1.f(x)=ax-x ,对(0,1)上任意 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x2)-f(x1)>x2-x1,则 a 范围_____________

3

3.若函数 f(x)在 R 上可导,

f ? x ? ? x3 ? x2 f ? ?1? ,则 ? f ? x ?dx ?
2 0

______;

2.已知函数

f ( x) ? sin x ? x, x ? R ,则 f(2)、f(1),f(3)的大小关系(



4.设函数 f(x)的导数 f’(x),且

f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x ,则 f ?( ) ? 3 6
3. f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(

?

?

3? 4

错误! 未找到引用源。 ),f(-错误! 未找到引用源。 )的大小关系为

(用 “<”

5. f(x)满足 f(x)=f’(1)e -f(0)x+

x-1

1 2

x .求 f(x)的解析式。

2

连接).

6,f(x)=x +2xf’(2)+15 在闭区间[0,m]有最大值 15,最小值-1,则

2

m 的取值范围是(



? x ? 1? 4.f(x)=

? sin x ,其导函数记为 f′(x),则 f(2 x ?1
2

2

012)+f′(2 012)+f(-2012)-f′(-2012)=___.

(A)m≥2

(B)4≥m≥2

(C)m≥4

(D)8≥m≥2

四、导数的深入研究 二、切线斜率

1.已知点

在曲线 y

?

4 e x ?1

1, f(x)=(x -2x)e ,x∈[-2,+∞],f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)有两个零点 x1 和 x2(X1<x2),则 f(x)的最小值为 上, 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的取值范围 A.f(x1) B.f(x2) C.f(-2) D.以上都不对

2

x

2.设错误!未找到引用源。f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),(错误!未找到引用源。是互不相等的常数),则错误!未找到引用

源。=_________

4.可导函数 f(x)定义域 R,满足 xf’(x)+f(x)<0,则不等式 f(x2)<

f(x) 解集 x

3.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的对称中心为 M(x0 ,y0),记函数 f(x)的导函数为 f′(x),f′(x)的导函数为 f’′
3 2 (x),则有 f′’(x0)=0,.若函数,f(x)=x -3x 则可求得 f ( 1 ) ? f (

3

2

2013

2 4024 4025 _________. ) ? ??? ? f ( )? f ( ) 2013 2013 2013

5 . 设 函 数 f(x) 是 定 义 在 ( -∞ , 0 ) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f′ ( x ) , 且 有 f(x)+xf’(x) <x , 则 不 等 式

(x+2014)f(x+2014)+2f(-2)>0 的解集为(

)A.(-∞,-2012)

B.(-2012,0),

C.(-∞,-2016)

D. (-2016,0))

4.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)给出定义:设 f′(x)是函数 f(x)的导数,f′’(x)是函数 f′(x)的导数,若

3

2

方程 f′’(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0)为函数 y=f(x)的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有 “拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数 f ( x) ? 1 x 3 ? 1 x 2 ? 3 x ? 5 ,请你

5 . f(x) 关 原 点 对 称 , 且 当 x<0 时 , f(x)+xf’(x) <0 成 立 , , 若 a=(3 )f(3 ), b=(log π )f(log π ) ,

0.3

0.3

3

3

3

2

12

c=(log3

1 9

)f(log3

1 9

),a,b,c 大小关系 A.a>b>C

B.c>b>a

C.c>a>b

D.a>c>b

根据上面探究结果,计算 f (

1 2 3 2012 = )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( ) 2013 2013 2013 2013

.

6.f(x)图象关 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,a=(2 )·f(2 ),b=(logπ 3)·f(logπ 3),

0.2

0.2

五、恒成立

六、构造法(构造一个新函数 F(x) ,利用它的单调性求解

c=(log39)·f(log39),则 a,b,c 关系 A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b

(一)构造 F(x)=xf(x)

1.f(x)是定义在(0,+∞)上非负可导函数,且满足 xf ’(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b,则

7.f(x)奇函数,x∈R,x≤0 时,f(x)+xf’(x)<0,则(ln 2)f(ln2)与 f(1)大小如何

A.af(b)≤bf(a) B.af(b)≥bf(a)

C.af(a)≤bf(b)

D.af(a)≥bf(b)

8.f(x)奇函数, x>0,

f ( x) +f’(x)>0,则 y=xf(x)+1 零点___ x

2.已知 f(x)定义域为(1,+∞),f ’(x)为 f(x)的导函数,且满足 xf ’(x)+f(x)<0,则不等式 f(x+1)>(x-1)f(x -1)的解集是

2

(二)构造 F(x)=x f(x)

2

3.(0,+∞)上可导函数 f(x),xf’(x)+f(x)<0,f(1)=1,则不等式 xf(x)>1 解集

1.设函数 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为 f’(x),且有 2f(x)+xf’(x) >x2,则不等式的解集为(



(x+2014) f(x+2014)-4f(-2)>0

2

A.(-∞,-2012)

B.(-2012,0),

C.(-∞,-2016)

D. (-2016,0))

(A)f(x)>g(x)

(B)f(x)<g(x) (C)f(x)+g(a)>g(x)+f(a)

(D)f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

2.设 f(x)在 R 上的导数 f′(x),且 2f(x)+xf′(x)>x ,下面在 R 上恒成立(

2

)

A.f(x)>0

B.f(x)<0C.f(x)>x

D.f(x)<x

(四)构造 F(x)=

f(x) ee

1.f(x)为 R 上的可导函数,且满足 f(x)> f′(x),对任意正实数 a,下面不等式恒成立

(三)构造 F(x)= f(x)g(x)

F(x)= f(x)/g(x)

A. f(a)>

f(0) e
a

B. f(a)<

f(0) ea

C. f(a)>e f(0)

a

D. f(a)<e f(0)

a

1.设 f(x),g(x)是 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x)>0,且

g (?3) ? 0 ,则 f(x) g(x)<0 解

______

2.已知 f()x)为 R 上的可导函数,且任意的 x∈R,均有 f(x)>f ’(x),则以下判断正确的是

2. f(x), g(x)是 R 上的函数, g(x)≠0, f ’(x)g(x)>f(x)g ’(x), 且 f(x)=a g(x) a>0, 且 a≠1

x

f(1) f ( ?1) 5 f (n ) ? ? . 若{ } g (1) g ( ?1) 2 g ( n)
D.9

A.f(2013)>e

2013

f(0) B.f(2013)<e

2013

f(0) C..f(2013)=e

2013

f(0) . D.f(2013),e

2013

f(0)大小不定

的前 n 项和大于 62,则 n 最小 A.6

B.7

C.8

3.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e

x

3.已知定义在

R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f(x) x f(1) f ( ?1) 5 ? a 且,f ’(x)g(x)<f(x)g ’(x), ? ? ,若有 g ( x) g (1) g ( ?1) 2


的解集为(

)(A)(-2,+∞)

(B)(0,+∞)(C)(1,+∞)

(D)(4,+∞)

穷数列{

31 f (n ) }( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于( g ( n) 32

4.f(x)导函数 f’(x),对任意 x∈R 都有 f’(x)>f(x)成立, A.3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3)C. 3f(ln2)<2f(ln3) 4 . f(x),g(x) 都 是 定 义 在 R 上 , g(x) ≠ 0 , , f ’(x)g(x)<f(x)g ’(x) , f(x)=a g(x) ,
x

D. 3f(ln2) 与 2f(ln3)的大小不确定

f(1) f ( ?1) 5 ? ? g (1) g ( ?1) 2

,则

abx 2 ? 2 x ?

5 ? 0 ( b ? (0,1) )有两个不同实根概率为 2

.

5.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f’(x),满足 f(x)< f’(x),且 f(0)=2 则不等式

f ( x) ex

>2 的解

(三)构造 F(x)= f(x)-g(x)

A.x<0

B. .x>0

C. .x<2

D. .x>2

1.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有(

)

6.错误!未找到引用源。F(x)=

f ( x) e
x
2

是定义在 R 上,满足 f’(x)<f(x)错误!未找到引用源。对于 x∈R 恒成立,则

3. f(x)满足:f(1)=1,且对于任意的 x∈R,都有 f’(x)<

1 2

,则 f(loh2x)>

log2 x ? 1 解为_________ 2

f(2)<e f(0),f(2012)<e

2

2012

f(0) f(2)>e f(0),f(2012)<e

2012

f(0)C 错误!未找到引用源。D 错误!未找到引用源。

4.f(x)定义域为 R,f(0)=2,对任意 x,有 f(x)+f’(x)>1,则 e f(x)>e +1 解_____________

x

x

7.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f’(x)>f(x) ,则





A. {x| x>0} B. {x| x<0} C. {x| x<-1,或 x>1} D. {x| x<-1,或 1>x>0}

A.f(2)< e f(0)B.f(2)≤ e f(0) C.f(2)= e f(0)D.f(2)> e f(0)

2

2

2

2

8.y=f(x),x∈R,f(x)=f(-x),f′(x)<f(x).则下列 3 个数:ef(2),f(3),e f(-1)从小到大依次排列为______ (七) 利用单调直接解不等式

2

(五)构造 F(x)=

f(x) f(x) 或 x x2
1 ) >f(x)解集 x

1.偶函数 f(x)在 x≥0 上满足 f’(x)>0,则满足 f(x -2x)<f(x)的 x 的范围_______

2

1.定义在(0,+∞)上可导函数 f(x),f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式 x2f(

2.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足,(x-1) f′(x)≥0 则必有( 2.f(x)定义域(-∞,0) ,导函数 f′(x) ,xf′(x)>x2+2f(x) ,则不等式 4f(x+2014)-(x+2014)2f(-2)>0 A.(-∞,-2012) B.(-2012,0), C.(-∞,-2016) D. (-2016,0))

)f(0)+f(2)>2f(1)

A. f(0)+f(2)≤2f(1) B. f(0)+f(2)<2f(1)

C. f(0)+f(2)≥2f(1)

D. f(0)+f(2)>2f(1)

(六) 解 f(x)>g(x)可构造 F(x)= f(x)-g(x)

3. 若定义在 R 上 f(x)满足 f(1-x)=f(x+3),且(x-2)f’(x)<0,a=f (log25),b=f (log415),c=f (20.5), 则 a,b,c 关系为 A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. c>a>b

1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1 且对一切 x∈R 都有 f′(x)<4,则不等式 f(x)>4x-3 的解集为(

)

A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)

2,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2 则 f(x)>2x+4 解集 A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.R

## . f(x) 在 R 上可导,导函数 f’(x) ,若 f(x) 满足 (x-1)[f’(x)-f(x)]>0 , f(2-x)=f(x)e

2-2x

,则下列一定正确是

A. f(1)<f(0)_

B.f(2)>ef(0)

C.f(3)>e f(0)

3

D. f(4)<e f(0)

4


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