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2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷


2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷
1.考生要认真填写考场号和座位序号。

考 生 须 知

2.本试卷共 4 页,分为两部分,第一部分选择题,20 个小题(共 60 分) ; 第二部分非选择题,二道大题(共 40 分) 。 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须 用 2B 铅笔

作答;第二部分必须用黑色的签字笔作答。 4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡及草稿纸放在桌面上,待监考员收回。

第一部分

选择题(每小题 3 分,共 60 分)
) (D) {?1, 2}

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合 A ? { ? 1, 2} , B ? {x | x ? 0} ,那么集合 A ? B 等于( (A) ?
2

(B) {?1} )

(C) {2}

2.不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为( (A) {x | x ? 2}

(B) {x | x ? 0}

(C) {x | 0 ? x ? 2} )

(D) {x | x ? 0 或 x ? 2}

3.已知向量 a ? (?2, 3) , b ? (1, 5) ,那么 a ? b 等于( (A) ?13 (B) ?7 (C) 7

(D) 13 ) (D) 3

4.如果直线 y ? 3x 与直线 y ? ?mx ? 1 平行,那么 m 的值为( (A) ?3 (B) ?

1 3

(C)

1 3

1 ? 1 的最小值是( ) a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ? 6.要得到函数 y ? 2sin( x ? ) 的图象,只要将函数 y ? 2sin x 的图象( ) 6 ? ? (B)向右平移 个单位 (A)向左平移 个单位 6 6 ? ? (D)向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 3 3
5.如果 a ? 0 ,那么 a ? 7.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , S5 ? 25 ,那么 a5 等于( (A) 9 (B) 8 (C) 7 ) (D) 6 ) (D) y ? ln x

3 x 8.在函数 y ? cos x , y ? x , y ? e , y ? ln x 中,奇函数是(

(A) y ? cos x

(B) y ? x

3

(C) y ? e

x

数学试题 第 1 页 (共 5 页)

11? 的值为( ) 6 3 2 2 3 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 2 2 10.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ( x ? R) 的最小正周期是( ) ? (A) (B) ? (C) ?? (D) ?? 2 11.已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在区间 [0, 1] 上最大值是 2 ,那么 a 等于( 1 1 (A) (B) (C) 2 (D) 4 4 2
9. cos 12.在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 2 3 , BC ? 3 2 ,则角 B 等于( (A) 45 ? (B) 30 ? 或 60 ? (C) 135? )



(D) 45 ? 或 135?

13.口袋中装有 4 个大小、材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色, 从口袋中随机摸出 2 个小球,摸到红色小球和白色小球的概率是( (A) )

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01

(D)

2 3

14.为了解决某学校门前公路的交通状况,从行驶过的 汽车中随机抽取 200 辆进行统计分析,绘制出关于 它们车速的频率分布直方图(如图所示) ,那么车速 在 [60,70) 区间的汽车大约有( (A)20 辆 (B)40 辆 (C)60 辆 (D)80 辆 15.已知平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b ,下面的四个命题 )

40 50

60 70

80 车速

a∥b ? a ?? ① ② ? ? b ?? ; b ?? a ???
所有正确命题的序号是( (A)①② (B)②③

a ??? a ?? ? ? ? b 中, ? ? a∥b ;③ b ? ? ? ? a ? b ;④ b ? ? ? ? a ∥ ? ∥? ? ? ? ?? ? ?
(C)①④ (D)②④



? x ? y, ? 16.当 x, y 满足条件 ? y ? 0, 时,目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是( ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
(A) 1 (B) 1.5 (C) 4 (D) 9



数学试题 第 2 页 (共 5 页)

17.针对 2020 年全面建成小康社会的宏伟目标,十八大报告中首次提出“实现国内生产总 值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”的新指标.按照这一指标,城乡居民人均收 入在这十年间平均增长率 x 应满足的关系式是( (A) 1 ? 10 x ? 2 (B) 10(1 ? x) ? 2 ) (D) 1 ? x ? 2
10

(C) (1 ? x)10 ? 2

18.一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为( (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36


3

正(主)视图 3 4 俯视图

3 侧(左)视图

19.将长度为 1 米的绳任意剪成两段,其中一段长度小于 0.4 米的概率是( (A) 1 (B) 0.8 (C) 0.6 (D) 0.5



20.记时钟的时针、分针分别为 OA 、 OB ( O 为两针的旋转中心) .从 12 点整开始计时, 经过 m 分钟, OA ? OB 的值第一次达到最小时,那么 m 的值是( (A) 30 (B)

??? ? ??? ?



360 11

(C) 31

(D)

2? 11

第二部分 非选择题(共 40 分)
一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.计算 ( ) ? log 3 1 的结果为

1 2

?1

. .

22.已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,那么圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值为 24.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,且各项均为正整数, 如果 a1 ? 1 , an ? 16 ,那么 n ? d 的最小值为 .
i≤4 是 S=S+2i i = i+1



开始

S=1,i=1



输出S

数学试题 第 3 页 (共 5 页)

结束

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 7 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点. (Ⅰ)证明: AC1 ∥平面 BDE ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD .
A1 D1 B1 E C1

D A B

C

26. (本小题满分 7 分)

? ? , ? ? ? ?) 的顶点与原点 O 重合, 2 2 始边与 x 轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于 A, B 两点, A, B 两点的纵坐标分别 5 3 为 , . 13 5
在平面直角坐标系 xOy 中, 角 ? , ? (0 ? ? ? (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 ?AOB 的面积.

27. (本小题满分 7 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 5m2 (m ? 0) ,直线 l 过点且与圆 C 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1 ,且 | AB |? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 | PA |? 2 | PM | ,求直线 l 的斜率.

??? ?

???? ?

数学试题 第 4 页 (共 5 页)

27. (本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足:
2

① f ( x) 的一个零点为 2 ; ② f ( x) 的最大值为 1 ; ③ 对任意实数 x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) . (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

x? A ? x, 是定义域为 (0, 1) 的单调增函数,且 0 ? x0 ? x? ? 1 . ? f ( x), x ? B

当 x0 ? B 时,证明: x? ? B .

数学试题 第 5 页 (共 5 页)


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