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2015-2016学年江苏省泰州市高一下学期期末考试数学(含详解)


江苏省泰州市 2015-2016 学年高一下学期期末考试数学

一、填空题:共 14 题
1.已知,,则直线

的斜率为 中,若 ,,

. ,则 = ,则边 的长度为 . .

2.在公差为 的等差数列 3.若 Δ

满足:

4.已知
<

br />,且

,则

的值是



5.如图,在直三棱柱中,

, .





,则四棱



的体积为

6.在平面直角坐标系

中,直线 . ,则 中, . ,

和直线

互相垂

直,则实数的值是
7.已知正实数

满足

的最大值是

. 与线段 有公共点,

8.在平面直角坐标系

,,若直线

则实数 的取值范围是
9.已知实数

满足:

,则的最小值是 ,给出下列四个结论:



10.如图,对于正方体

①直线 ③直线

平面 平面

②直线 ④直线 .

直线 直线

其中正确结论的序号为
11.在 Δ

中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 . 中,圆 的方程为

,则角 的值



12.在平面直角坐标系

,若过点 , 则点 的横坐标为 ,且

的 .

直线与圆 交于两点(其中点 在第二象限), 且
13.已知各项均为正数的数列

满足 .

,则 的最大值是
14.如图,边长为

)的正方形被剖分为 个矩形,这些矩形的面积

如图所示,则

的最小值是



二、解答题:共 6 题
15.在平面直角坐标系

中,直线 平行,求实数 的值;

.

(1)若直线 与直线

(2)若,
16. 在

,点 在直线 上,已知的中点在轴上,求点 的坐标. 中, 角 、 、 的对边分别为 、 、 ), 已知 .

(1)若

,求

的值;

(2)若

,且

,求

的面积 .

17.如图,在三棱锥中,平面

平面





,点 , 分别为



的中点.

求证:(1)直线 (2)平面平面 .

平面



18.如图,某隧道的截面图由矩形

和抛物线型拱顶

组成( 为拱顶

的最高

点),以

所在直线为 轴,以的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系,已知拱顶

的方程为



(1)求

的值;

(2)现欲在拱顶上某点 处安装一个交通信息采集装置,为了获得最佳采集效果,需要点 对隧道底 的张角 最大,求此时点 到 的距离.

19.在平面直角坐标系

中,圆 的方程为 .

,且圆 与 轴交于 ,

两点,设直线的方程为

(1)当直线 与圆 相切时,求直线 的方程; (2)已知直线与圆 相交于 , 两点.

(ⅰ)若

,求实数 的取值范围;

(ⅱ)直线

与直线

相交于点 , 直线

, 直线

, 直线

的斜率分别为 , , ,

是否存在常数 ,使得 由.
20.已知数列

恒成立?若存在,求出 的值;若不存在,说明理

的首项,前 项和为 .数列

是公差为的等差数列.

(1)求 的值;

(2)数列

满足: 的前 项的和,

,其中 ; ,证明:

.

(ⅰ)若,求数列

(ⅱ)当时,对所有的正整数 ,都有

.

参考答案

1.1 【解析】本题考查直线的斜率.由题意得直线 【备注】 . 的斜率 .

2.7 【解析】本题考查等差数列.由题意得 = 【备注】等差数列中 . =1+6=7.

3. 【解析】 本题考查正弦定理.由题意得 【备注】正弦定理: . ;由正弦定理得 ,又 ,解得 .

4. 【解析】本题考查差角公式. = = = .

5.24 【解析】 本题考查空间几何体的体积.因为 三棱柱,所以 体积 平面 ;即 . 为四棱锥 ,所以 ;而 为直 的

的高,所以四棱锥

6. 【解析】本题考查两直线的位置关系.由题意得 ,解得 .

7.2

5

【解析】本题考查基本不等式.由题意得 等号成立).即 的最大值是 2.

,即

(当且仅当



8. 【解析】本题考查一元二次不等式.由题意得 ,即 是 . 两点在直线两侧,即 ,解得 或 ;即实数 的取值范围

9.-2 【解析】本题考查不等关系与不等式.由题意得 = 是-2. + ,所以 ,即 , ,即 ;而 的最小值

10.①③④ 【解析】本题考查线面平行与垂直.直线 平面 平面 ,所以 , ,所以直线 ,即②错误,④正确; 平面 , ,即①正确;直线 ,所以直线

,即③正确;所以正确结论的序号为①③④.

11. 【解析】本题考查正弦定理,诱导公式,和角公式.由正弦定理得 = ,所以 ,即 = ,所以角 . ,所以 ,即

12.1

6页

【解析】本题考查直线与圆的位置关系.画出图形, ,所以 为等边三角形,则 垂直平分

,半径 ,即 .

;因为 ,所以三角形

,所以 的横坐标为

【备注】体会数形结合思想. 13. 【解析】本题考查数列.因为 ,且各项均为正数,所以 ; ,所以 或 ;而

14.2 【解析】本题考查基本不等式.由题意得 式 原式 = = ,而 恒成立,即 【备注】体会分类讨论思想. 15.(1)∵直线 与直线 ∴ ,经检验知,满足题意. , ,则 的中点为 , , 平行,∴ , (当且仅当 = = ;当 时,原 时, ;即

时等号成立);当 ,即 的最小值是 2. ,所以原式

(2)由题意可知: 设 ∵

的中点在 轴上,∴

7



. 平行,∴ ,而 的中点 在 轴上,∴

【解析】本题考查两直线的位置关系.(1)直线 与直线 ,∴ ,∴ . .(2)设

16.(1)∵ 由正弦定理: ∴ ∵ ∴ (2)由 ∵ 当 ,∴ 时,∵ . 得: 或 ,∴ ,又∵ . ,由正弦定理:

, , , ,∴ ,



,此时 ,∴ ,∴ . 或

,舍去,∴ , (舍)



由(1)可知: ∴ 所以

【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(1) ,∵ 得 ,由正弦定理 ,即 ,由余弦定理得 ,∴ ,所以

,由正弦定理得 ,∴ . .(2)由

17.(1)证明:∵点 , 分别为 又∵ ∴直线 (2)证明:∵ ∵平面 ∴ 平面 平面 , 平面 平面 , . ,点 为 ,平面 平面



的中点,∴ ,

;

中点,∴ 平面

, , 平面 , ,

8页



平面

,∴ ,∵ , ,∴平面

, ,∴ , 平面 . ,∴直线 . 平面 .(2) , , , 在平面 内,∴ 平面 ,

由(1)可知: ∵ ∵ , 平面

【解析】本题考查线面平行与垂直.(1) ∴ 平面 ,∴平面 平面

18.(1)由题意: ∴ (2)(法 1)设 设 ∴ ∵



,∴ .



, ,则

,过 作

于 , , ,

,∴当且仅当



最大,即 的距离为 , 米.

最大.

答:位置 对隧道底 (法 2)设 ∴ ∵ ∴ ∵ ,

的张角最大时 到 ,∴ ,∴

, , ,

,∴

,∴当且仅当



最大,即 的距离为 米.

最大.

答:位置 对隧道底

的张角最大时 到

【解析】本题考查二倍角公式,解三角形的应用,基本不等式. (1)由题意得 .(2)求得 ,当 ,∴ 时 到 的距离为 米.

,∴

9

19.(1)由题意,

,∴圆心 到直线 的距离 ,∴ ,



∵直线 与圆 相切,∴ ∴直线 .

(2)解:由题意得: 由(1)可知: ∴ (3)证明: 得: ∴ ,同理可得: . ,与圆 ,∴ ,

,∴

,

联立, ,∴ , , ,



,∴

,即





,∴

,设





,∴

,∴

,即



∴ ∴存在常数

,∴ ,使得

, 恒成立. , .(3)联

【解析】本题考查直线的方程,直线与圆的位置关系.(1)∵直线 与圆 相切,∴ 求得 ,∴直线 ,使得 .(2)由题意得 恒成立. ,解得

立方程得:存在常数

20.(1)由题意, 当 当 时, 时,上式也成立,∴ ,

,∴ , ,



10 页



,∴

. , , , , , , ,

(2)(ⅰ)由题意: 当 ∴ ∴ ∴前 项的和 + = (ⅱ)证明:由题意得: 令 ∴ , ,∴ 时,

+?+ . , ,

=

, ∴ ∵ ∴ , ∴ ①当 为偶数时, ∵ , , ,∴ ,即 . ,∴ +?+ , , , ,∴ , , , , ,

②当 为奇数时, ∵ 综上: ,

【解析】本题考查等差数列,数列的通项与求和.(1)由题意得 .(2)(ⅰ) +

11

= ,∴ ,分类讨论得 , ,即

=

.(ⅱ)令 ,∵

, ,∴ .

12 页


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