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高三数学复习之30分钟小练习(35)


高三数学复习之 30 分钟小练习(35)
1.如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? A. ? BC ? C. BC ?

1 BA 2

B. ? BC ? D. BC ?

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

/>2.与向量 a= ? , ?, b ? ? 1 , 7 ? 的夹解相等,且模为 1 的向量是 ? ?
?2 2?

?7 1? ? 2 2?

A. ? 4 , ? 3 ?
? ?5 ? 5?

B. ? 4 , ? 3 ? 或 ? ? 4 , 3 ? ? ? ? ? ? 5 5? ? 5 5? D. ?

? 2 2 1? ? 2 2 1? ? ? 3 ,? 3? 或?? 3 , 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? =
? C. ? 2 2 , ? 1 ? ? ? 3 3? ?

?

?

A.0 4.已知向量 a ? A. ? 3 , 1 ? ? ? ? 2 2?
? ?

B.-1

C.-2

D.0.5
3 ,则 b =

? 3,1?, b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ?
B. ? 1 , 3 ? ? ?
?2 ? 2 ? ?

C. ? 1 , 3 ?
?4 ?

3? ? 4 ? ?

D. (1,0)

5.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量 的数量积中最大的是 A. P1 P2 ? P1 P3 C. P1 P2 ? P1 P5 B. P P2 ? P P4 1 1 D. P1 P2 ? P1 P6

??? ? ??? ? ???? ??? ? 6.在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 等
于 A. a ? (b ? a)
a ?b
2

B. a ? (a ? b) 2 a ?b

C. a ? (b ? a) a ?b

D. a ? (a ? b)
a ?b

7.在Δ ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值为 . 8.已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?3 ? m) ,若点 A、B、C 能构成三角形, 则实数 m 满足的条件是 .

9. (本小题满分 14 分)已知点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的一个动点,过点 P 作 PQ ? x 轴于点

???? ??? ???? ? ? Q ,设 OM ? OP ? OQ .
(1)求点 M 的轨迹方程; (2)求向量 OP 和 OM 夹角的最大值,并求此时 P 点的坐标

??? ?

???? ?

y P

O

Q

x

参考答案
1. CD ? CB ? BD ? ? BC ?

1 BA ,故选 A. 2

? ? ? 2.B 设所求向量 e =(cos ? ,sin ? ),则由于该向量与 a, b 的夹角都相等,故

a?e | a |?| e|

?

b?e | b || e |

? a ?e ? b?e ? c o? ? s

7 2

1 1 s i?n ? 2 2

c? s o?

7 2

??n3cos ? =-4sin si

? ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知 B 选项成立,故选 B.

3.D

依 题 意 知 向 量 a ? ? b 与 2a ? b 共 线 , 设 a ? ? b ? k ( 2a ? b ) 则 有 ,

?

?

?

?

?1 ? 2k ? 0 ,解得 k ? 0.5 ,选 D. (1 ? 2k )a ? (k ? ?)b ? 0 ,所以 ? ?k ? ? ? 0
1 ? ? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 2 , ? ? 4.解选 B.设 b ? ? x, y ? ( x ? y) ,则依题意有 ? ? ? 3x ? y ? 3. ? y ? 3 . ? ? ? 2
5.解析:利用向量数量积 PP2 ?PPi (i = 1, 2,3, 4,5,6) 的几何意义:数量积 PP2 ?PPi 等于 P1 P2 的长度 1 1 1 1
???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? P P2 与 P Pi 在 P P2 的方向上的投影 PPi cos < PP2 , PPi > 的乘积.显然由图可知 P P3 在 1 1 1 1 1 1 1
???? ? P P2 方向上的投影最大.所以应选(A). 1 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ?

6.B ? AD ? ? AB,? OD ? OA ? ? OB ? OA , 即得

???? ??? ?

?

??? ??? ? ?

?

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? OD ? ?1 ? ? ? OA ? ?OB ? ?1 ? ? ? a ? ?b, 又 ? OD 是 AB 边 上 的 高 , ?OD ? AB ? 0 即
???? ??? ??? ? ? 2 OD ? OB ? OA ? 0,? ??1 ? ? ? a ? ?b ? ? ? b ? a ? ? 0 , 整 理 可 得 ? ? b ? a? ? a(? a ? )b,即 得 ? ?

?

?

??

a ? ? a? b ,故选 B. ? 2 a ?b

7



?2









AO ? x





OM ? 2 ? x
A O







OA ? (OB ? OC) ? OA ? 2OM ? ?2 ? OA ? OM

?2x(2 ? x) ? 2x 2 ? 4x ? 2( x ? 1) 2 ? 2 ,
故当 x ? 1 时, OM ? mOA ? nOB 取最小值-2.

B

M

C

???? ?

??? ?

??? ?

8 . m?

1 2

因 为 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?3 ? m) , 所 以

AB ? (3,1), BC ? (?m ? 1,?m) .由于点 A、B、C 能构成三角形,所以 AB 与 BC 不共
1 3 1 ? ,解得 m ? ,故当点 A、B、C 能构 2 ? m ?1 ? m 1 成三角形时实数 m 满足的条件是 m ? . 2 ??? ? ???? 9. 解 析 :( 1 ) 设 P( x , ? y ) M ( x, y ) , 则 O P ( ? x, ? y) OQ ? ( x? ,0) , , , ? ?
线,而当 AB 与 BC 共线时,有

???? ??? ??? ? ? ? OM ? OP ? OQ ? (2x? , y? )
1 ? ? x ? 2 x? x2 ? x? ? x 2 2 2 ?? ?? 2 ,? x? ? y? ? 1,? ? y ? 1 . 4 ? y ? y? ? y? ? y ?
(2)设向量 OP 与 OM 的夹角为 ? ,则

??? ?

???? ?

??? ???? ? ? 2 x?2 ? y?2 ( x?2 ? 1)2 OP ? OM ? ? cos ? ? ??? ???? ? ? , 3x?2 ? 1 | OP | ? | OM | 4 x?2 ? y?2
令 t ? 3x?2 ? 1 ,则 cos ? ?

1 (t ? 2)2 1 4 2 2 , ? t? ?4 ? 3 t 3 t 3

当且仅当 t ? 2 时,即 P 点坐标为 (?

3 6 ,? ) 时,等号成立. 3 3
3

??? ???? ? ? ? OP 与 OM 夹角的最大值是 arccos 2 2 .
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