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有心力 圆锥曲线


§1.9

有心力

一、有心力的基本性质 1. 有心力定义 方向:质点在运动中受力的方向总通过某固定点 o 力心 ? 大小:矢径 r 的函数 F ( r )

2. 质点始终在一平面内运动 用两个坐标表示: ( x , y ) ? ? r F (r ) ? F (r ) r
3. 基本方程

/>或

( r ,? )

? ?? ? F ( r ) mr

? r r

分量形式

直角坐标: 极坐标:

? ?? ?m x ? F (r ) ? ? ? m ?? ? F ( r ) y ? ?

x r y r

? m ( ?? ? r ?? ) ? F ( r ) ? r ? ? ? ? m ( r ?? ? 2 r ?? ) ? F? ? 0 ?

(1) (2)

(2)式物理意义: 1 d
m r dt
2

( r ?? ) ? 0
2

mr ?? ? mh ? ? r ? m v ? mh

动量矩守恒

4. 有心力是保守力

证明
2

? ??F ? 0

机械能守恒 1 m ( r 2 ? r 2?? 2 ) ? V ( r ) ? E ? 二、轨道微分方程(比耐公式)
由方程
? m ( ?? ? r ?? ) ? F ( r ) ? r ? 2 ? r ?? ? h ?
2

可证明: ? mhu (

d u d?
2

2

? u) ? F

“ ? ? ”斥力 F? “ ? ?”引力

已知

r ? r (? ) ? F ( r )

例题 证明:质点受有心力作用做圆
F ? ? 8 ma h r
5 2 2

r ? 2 a cos ?

的运动,则

解:根据

? mhu (
2

d u d?
1
2

2

? u) ? F

u ?
du d?

1 r
?

?
1

2 a cos ?
sin ?
2

2 a cos ?

d u d?
2

2

?

1

2 a cos ?
2

[

2

?

1 cos ?

]

三、平方反比引力---行星的运动
1.

用比耐公式求行星的轨道方程

已知

F (r ) ? u ? r

太阳(M)与行星(m)间的万有引力:
F ? ? GMm r
2

? ?

k m r
2

2

? ? mk u
2

2

k

2

? GM

由比耐公式: 方程解:

hu (

2

d u d?
2

2

? u) ? k u
2

2

u ? A cos( ? ? ? 0 ) ?

k h

2 2

A、 ? 0

由初始条件定

轨道方程

r ?

h 1? Ah
2

2 2

k

2

k cos( ? ? ? 0 )

适当选取坐标原点可使
r ? h 1? Ah
2 2

?0 ? 0

圆锥曲线的标准方程
p

k

2 2

k cos ?

?

1 ? e cos ?

讨论:
e?1 e ?1 e ?1

椭圆

抛物线
双曲线

3. 用能量守恒求轨道 引力势能
V ? ? ? F ( r ) dr ?

?

r

k m r
2

2

?

dr ? ?

k m r

2

机械能守恒 角动量守恒

?

1 2

2 2 ?2 m ( r ? r ?? ) ?

k m r

2

? E

r ?? ? h
2

dr d?

?

r h

2E m

r ? h ? 2k r
2 2 2

解:

r ?

h 1?
2

2

k
4

2

1 ? 2 h E k m ? cos( ? ? ? 0 )

两种方法结果比较
e? 1? 2E m ( h k
2

)

2

e的物理于意义
e?1 e ?1 e ?1 E ?0 E ? 0 E ? 0

椭圆 抛物线 双曲线

说明:轨道的形状由总能量E决定,而E守恒,所以
E ? E0 ? 1 2 mv 0 ?
2

k m r0

2

初始能量决定

四、开普勒定律 第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一 个焦点上. 第二定律:行星和太阳之间的联线 (矢径),在相等时 间所扫过面积相等. 第三定律:行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比. 后来,牛顿发表了万有引力定律。

从开普勒定律推出万有引力定律

1.

由开普勒第二定律得出行星受有心力作用

开普勒第二定律: dA
dt
dA dt ? ?A ?t ?

? 常数
1 2 ?? ?t 1 2 d? dt

lim

?t ? 0

lim

r

2

?

r

2

?t ? 0

2 ? ? 2 A ? r ??

? ?A?c

2 ? r ?? ? c

? mr ?? ? mh ? ? ?r?F ?0
2

? J ?c

? ?M ?0
? F ?0

行星有加速度,

所以:r必与F共线,行星必受有心力作用,太阳是力心

2. 由开普勒第一定律求行星受力量值

第一定律: r ?
du d?

p 1 ? e cos ?
? ? e p
2

u ?
2

1 p

?

e p

cos ?

sin ?

d u d?
2

? ?

e p

cos ?

F ? ? mhu (
? ? mh r
2 2

d u d?
2

2

? u ) ? ? mh u
2

2

1 p

p

? ?

1 r
2

说明:行星受力是平方反比引力,但不能说就是万有引 力,因 h、p与行星有关,而万有引力中 k 2 ? GM

与行星无关.

3. 由开普勒第三定律说明 h 2 p 设行星运行周期
?t ? ?
2

的意义
? A ? ? ab

扫过面积



dA

?? 1h ? r ? dt 2 2 h ? 2 ? ab

1

?



h

2

p ?

4? a b
2 2

2

b

2

?
?

2
3 2

?

4? a
2

3

a
?c

?
2

2

开普勒第三定律:

a

?h

p ?c
2

结论:h、p虽与行星有关,但

h

p

与行星无关.

4. 与万有引力比较
F ? ? mh r
2 2

p

? ?

k m r
2
2

2

2

k

2

?h

2

p ?

4? a

3

?

2

行星运动周期

3

? ?

2? a 2 k

五、宇宙速度与宇宙航行 人造卫星运动轨道
r ?
k m r0
2 2 2
2

h 1?

2 2

k

2 4

1 ? 2 h E k m ? cos ?

E ? E0 ?

1 2

mv 0 ?
2

r ? 1? 1? h
2

h
4

k
2

k ? (v0 ?
2 0

2k r0
2

) ? cos ?

e?

1? h

2

k ? (v ?
4

2k r0

)

讨论
1.

当e ? 0
v0 ? k r0 ?

E ?1
GM r0 ?

圆形轨道
Rg ? 7 . 9 ? 10 m / s
3

第一宇宙速度

e ?1
1 2
v0 ?

E ?0

沿抛物线轨道飞出,脱离地球

mv 0 ?
2
2

k m r0
2 GM R

2

?0

2k r0

?

?

2 Rg ? 11 . 2 ? 10 m / s
3

第二宇宙速度

3.当

e ?1

E ?0

双曲线 脱离太阳
2 GM Rs
s

仿照地球:

v? ?

? 42 . 2 ? 10 m / s
3

地球相对太阳的速度: v e ? 30 ? 10 3 m / s

行星脱离太阳的速度: v ? v ? ? v e ? 12 ? 10 m / s
3

还需克服地球引力: 第三宇宙速度:
v3 ?

1 2

mv 3 ?
2
2 2

1 2

mv

2

?

k m R
3

2

?

1 2

mv

2

?

1 2

mv 2

2

v ? v 2 ? 16 . 5 ? 10 m / s


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