tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> >>

2010年高考数学应考复习精品资料解题技巧第四讲 数列与探索性新题型


阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

2010 年高考数学应考复习精品资料解题技巧 年高考数学应考复习精品资料

第四讲
【考点透视】 考点透视】

数列与探索性新题型

1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答 简单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决 简单的问题. 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地 位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中 等以上难度的试题, 突出考查考生的思维能力, 解决问题的能力, 试题大多有较好的区分度. 有关数列的试题经常是综合题, 经常把数列知识和指数函数, 对数函数和不等式的知识综合 起来,试题也常把等差数列,等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高 考的热点,常在数列解答题中出现.本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查 函数与方程,转化与化归,分类讨论等重要思想,以及配方法,换元法,待定系数法等基本 数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题 转化为数学问题来解决.

【例题解析】 例题解析】
考点 1 正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题 例 1.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干 堆"正三棱锥"形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,…堆最底层(第 一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, f (n)表示第 n 堆的乒乓球总数, 以 则 f ( 3) = _____ ; f (n) = _____ (答案用 n 表示) 思路启迪: 从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4, … 推测出第 n 层的球数. 解答过程:显然 f ( 3) = 10 .
第 1 页 共 19 页



阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

第 n 堆最低层(第一层)的乒乓球数, a n = a1 + a 2 + L + a n = n ( n + 1) ,第 n 堆的乒乓球数总数
2

相当于 n 堆乒乓球的低层数之和,即 f ( n ) = a1 + a 2 + L + a n = 1 (12 + 22 + L + n 2 ) + 1 n ( n + 1) .
2 2 2

所以: f (n) =

n ( n + 1)( n + 2 ) 6

例 2.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三角数表.从上往 下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次 全行的数都为 1 的是第 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 行;第 61 行中 1 的个数是 .

………………………………………

思路启迪:计算图形中相应 1 的数量的特征,然后寻找它们之间的规律. 解:第 1 次全行的数都为 1 的是第 2 1 =1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 22 1 =3 行, 第 3 次全行的数都为 1 的是第 23 1 =7 行, ,第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n 1 行; 第 61 行中 1 的个数是 25 1 =32. 应填 2n 1 ,32 考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见 我们可把各个差列出来进行求和, 的类型进行解题. "逐差法" a n a n 1 = n, 且 a1 = 1 ; 如 若 可得到数列 {a n } 的通项.
a n = ( a n a n 1 ) + ( a n 1 a n 2 ) + L + ( a 2 a1 ) + a1 = n + ( n 1) + L + 2 + 1 =

n ( n + 1) . 2

再看"逐商法"即 a n +1 = n + 1 且 a1 = 1 ,可把各个商列出来求积. an
an = a n a n 1 a L 2 a1 = n ( n 1)( n 2 )L 2 1 = n! a n 1 a n 2 a1

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 例 3. 数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是常数, n = 1,3, ) 2,L ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的 等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 {an } 的通项公式.
第 2 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

思路启迪: (1)由 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列列方程求 c ; (2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归 纳概括出 an 与 n 之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个通项公 式. 解: (I) a1 = 2 , a2 = 2 + c , a3 = 2 + 3c , 因为 a1,a2,a3 成等比数列,所以 (2 + c )2 = 2(2 + 3c ) ,解得 c = 0 或 c = 2 . 当 c = 0 时, a1 = a2 = a3 ,不符合题意舍去,故 c = 2 . (II)当 n≥ 2 时,由于
a2 a1 = c , a3 a2 = 2c ,

LL, an an1 = (n 1)c ,
2

所以 an a1 = [1 + 2 + L + (n 1)]c = n(n 1) c . 又 a1 = 2 , c = 2 ,故 an = 2 + n( n 1) = n 2 n + 2( n = 2, L) . 3, 当 n = 1 时,上式也成立, 所以 an = n2 n + 2(n = 1, L) . 2, 小结:从特殊的事例,通过分析,归纳,抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是 创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够 的重视. 例 4. 已知数列 { xn } 满足 x2 = x1 , n = 1 ( xn 1 + xn 2 ) , = 3, 4, …. lim xn = 2 , 则 若 n x n →∞
2
2

( B )

(A)

3 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用. 解答过程: 2x n = x n 1 + x n 1 , ∴ x n x n 1 = x n 2 x n .
相叠加 x x = x + x x x . n 2 1 2 n n 1 LLL x n 1 x n 2 = x n 3 x n 1 x n x n 1 = x n 2 x n x4 x3 = x 2 x 4
Q x2 =
x1 , 2

x 3 x 2 = x1 x 3

∴ 2x n + x n 1 = 2x1 .

lim ( 2x n + x n 1 ) = lim 2x1 , lim x n = 2 ,∴ 2x1 = 6 , x 1 = 3 .
n →∞ n →∞

n →∞

解答过程 2:由 xn = 1 ( xn 1 + xn 2 ) 得:
2
1 1 1 x n + x n 1 = x n 1 + x n 2 = L = x 2 + x1 = x1 , 2 2 2

第 3 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教
1 lim lim x n + x n 1 = x1 ,因为 n →∞ x n = 2 . n →∞ 2

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

所以: x1 = 3 . 解答过程 3:由 xn = 1 ( xn 1 + xn 2 ) 得:
2

1 1 x n x n 1 = ( x n 1 x n 2 ) = ( x n 2 x n 3 ) 2 2 1 =L= 2
n 2

2









( x 2 x1 ) =
2

1 2

n 1

x1 ,
3 n 1

从而 x 3 x 2 = 1 x1 ; x 4 x 3 = 1 x1 ;……; x n x n 1 = 1 2 2 2
2 3 n 1 叠加得: x x = x 1 + 1 + L + 1 . n 2 1 2 2 2
n 2 n 2 1 1 1 1 x n = x 2 + x1 1 , lim x n = lim x 2 + x1 1 . n →∞ n →∞ 6 2 6 2

x1 .

2=

x1 1 + x1 , 从而 x1 = 3 . 2 6

小结: 数列递推关系是近几年高高数学的热点, 主要是一些能转化为等差等比数列的递推 关系式.对连续两项递推 a n = ka n-1 + d ( n ≥ 2,k ≠ 1) ,可转化为
an d d ;对连续三项递推的关系 a = k a n 1 n +1 1 k 1 k

= ka n + da n-1 ( n ≥ 2 )

如果方程 x 2 kx d=0 有两个根 α,β ,则上递推关系式可化为
a n +1 α a n = β ( a n a n 1 ) 或 a n +1 β a n = α ( a n a n 1 ) .

考点 3 数列的通项 a n 与前 n 项和 Sn 之间的关系与应用

a n 与 Sn 的关系:a n = S1

Sn Sn 1 n ≥ 2

n=1 ,数列前 n 项和 S 和通项 a 是数列中两个重要的量, n n

在运用它们的关系式 a n = Sn Sn 1 时,一定要注意条件 n ≥ 2 ,求通项时一定要验证 a1 是否适 合.解决含 a n 与 Sn 的式子问题时,通常转化为只含 a n 或者转化为只 Sn 的式子. 例 5 . 在等比数列 {an } 中 , a1 = 2 , 前 n 项和为 S n , 若数列 {an + 1} 也是等比数列 , 则 S n 等于 ( )

(A) 2n+1 2

(B)

3n

(C) 2n

(D) 3n 1

命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力. 过程指引因数列 {an } 为等比,则 an = 2 q n 1 ,因数列 {an + 1} 也是等比数列,则 过程指引
(an+1 + 1) 2 = ( an + 1)(an + 2 + 1) an +12 + 2an +1 = an an+ 2 + an + an + 2 an + an + 2 = 2an+1 an (1 + q 2 2q ) = 0 q = 1
第 4 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 即 an = 2 ,所以 Sn = 2n ,故选择答案 C.

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

例 6.已知在正项数列{a n}中,S n 表示前 n 项和且 2 Sn = a n + 1 ,求 a n. 思路启迪:转化为只含 a n 或者只含 Sn 的递推关系式. 解答过程 1:由已知 2 Sn = a n + 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时, a n= S n-S n-1,代入已知有 2 Sn = Sn Sn 1 + 1 , Sn 1 = Sn 2 Sn + 1 .
Sn 1 =

(

Sn 1 ,又 a n > 0,Sn > Sn 1 ,故 Sn 1 = Sn 1 .

)

2

Sn Sn 1 = 1 ,

{ S } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
n

Sn = n 故 a n = 2n 1 .

解答过程 2:由已知 2 Sn = a n + 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时
因为 Sn = a n + 1 ,所以 a n = a n + 1 a n 1 + 1 . 2 2 2
2 2 2
2 2 4a n = a n + 2a n a n 1 2a n 1 , a 2 2a n a 2 1 2a n 1 = 0 n n

( a n + a n 1 )( a n a n 1 2) = 0 ,因为 a n > 0 ,
所以 a n a n 1 = 2 ,所以 a n = 2n 1 . 考点 4. 数列中与 n 有关的等式的理解与应用 对数列中的含 n 的式子,注意可以把式子中的 n 换为 n 1 得到另外的式子.也可以把 n 取自然数中的具体的数 1,2,3…等,得到一些等式归纳证明. 例 7.已知数列 {a n } 满足 a1 = 1, a n +1 = 2a n + 1 (n∈N ) .


(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足 4b11 ×4b2 1 × 4b3 1 ×L×4bn 1 = ( an +1)
bn

(n∈N*),证明: {bn } 是等差数列;

思路启迪: 本小题主要考查数列基本知识, 考查化归的数学思想方法, 考查综合解题能力. 把递推关系式变形转化
* 解答过程: (I)解:Q an +1 = 2 an + 1( n ∈ N ),

∴ an +1 + 1 = 2( an + 1),

{a n + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ an + 1 = 2 n.



an = 2 2 1( n ∈ N * ).
b

(II)证法一: 4b11 × 4b2 1 × 4b3 1 ×L× 4bn 1 = ( an +1) n ,

∴ 4 ( b 1 + b 2 + ... + b n ) n = 2 n b n .
∴ 2[(b1 + b2 + ... + bn ) n] = nbn ,
第 5 页 共 19 页



阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教
2[(b1 + b2 + ... + bn + bn +1 ) ( n + 1)] = ( n + 1)bn +1.

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教



②-①,得 2(bn +1 1) = (n + 1)bn +1 nbn , 即 (n 1)bn +1 nbn + 2 = 0,
nbn + 2 (n + 1)bn +1 + 2 = 0.

③ ④

③-④,得 即

nbn + 2 2nbn +1 + nbn = 0,

bn + 2 2bn +1 + bn = 0,

∴ bn + 2 bn +1 = bn +1 bn ( n ∈ N * ),

故 {bn } 是等差数列. 等差, 考点 5 等差,等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差,等比数列中,已知五个元素 a1 , a n , n,d 或 q , Sn 中的任意三个,运用方程的思想, 便可求出其余两个, "知三求二" 本着化多为少的原则, 即 . 解题时需抓住首项 a 1 和公差 (或 公比 q ) .另外注意等差,等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 {an } 中,若 m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q ;等比数列 {a n } 中,若

m + n = p + q ,则 a m a n = a p a q .
(2)等差数列 {an } 中,Sn ,S2n Sn ,S3n S2n ,LSkn Sk( n 1) ,L 成等差数列.其中 Sn 是等差数列 的前 n 项和;等比数列 {an } 中( q ≠ 1 ) Sn ,S2n Sn ,S3n S2n ,L Skn Sk ( n 1) ,L 成等比数列.其 , 中 Sn 是等比数列的前 n 项和; (3)在等差数列 {an } 中,项数 n 成等差的项 a n 也称等差数列. (4)在等差数列 {an } 中, S2n 1 = ( 2n 1) a n ; S 2 n = n ( a n + a n + 1 ) . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想,整 体思想,分类讨论思想,数形结合思想的运用. 典型例题 例 8.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 OB=a1 OA+a 200 OC ,且 A,B,C 三点共线 . (该直线不过原点 O) ,则 S200=( A.100 B. 101 ) C.200 D.201
uuu r uuur uuu r

命题目的:考查向量性质,等差数列的性质与前 n 项和. 过程指引:依题意,a1+a200=1,故选 A 过程指引 例 9.某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以 . 后每年交纳的数目均比上一年增加 d (d>0) 因此, , 历年所交纳的储备金数目 a1, a2, … 是 一个公差为 d 的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,

而且计算复利. 这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么, 在第 n 年末,第一年所交纳的
第 6 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教
-

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教
-

储备金就变为 a1(1+r)n 1,第二年所交纳的储备金就变成 a2(1+r)n 2,……. 以 Tn 表 示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证 Tn=An+ Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. 命题目的:本小题主要考查等差数列,等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资 料,提取信息,建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解: (I)我们有 Tn = Tn 1 (1 + r ) + a n (n ≥ 2). (II) T1 = a1 , 对n ≥ 2 反复使用上述关系式,得
Tn = Tn 1 (1 + r ) + a n = Tn 2 (1 + r ) 2 + a n 1 (1 + r ) + a n = L
a1 (1 + r ) n 1 + a 2 (1 + r ) n 2 + L + a n 1 (1 + r ) + a n ,



在①式两端同乘 1+r,得
(1 + r )Tn = a1 (1 + r ) n + a 2 (1 + r ) n 1 + L + a n 1 (1 + r ) 2 + a n (1 + r ).



②-①,得
rTn = a1 (1 + r ) n + d [(1 + r ) n 1 + (1 + r ) n 2 + L + (1 + r )] a n d [(1 + r ) n 1 r ] + a1 (1 + r ) n a n , r a r+d a r+d d 即Tn = 1 2 (1 + r ) n n 1 2 . r r r a1 r + d a r+d d 如果记An = (1 + r ) n , Bn = 1 2 n, 2 r r r 则Tn = An + Bn , = a1 r + d (1 + r )为首项,以1 + r (r > 0)为公比的等比数列; r2 a r+d d d | Bn | 是以 1 2 首项, 为公差的等差数列. r r r 其中 | An | 是以

2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面 求解的过程中适时应用. 等差, 考点 6 等差,等比数列前 n 项和的理解与应用 等差,等比数列的前 n 项和公式要深刻理解,等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次
n 函 数 . 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 Sn = a1 (1 q ) = a1 a1 q n ( q ≠ 1 ) 因 此 可 以 改 写 为 ,

1 q

1 q

1 q

Sn = aq n + b (a + b = 0) 是关于 n 的指数函数,当 q = 1 时, Sn = na1 .
例 10.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k= . A.9 B.8 C.7 D.6

思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问 题和解决问题的能力. 解:此数列为等差数列, an = Sn Sn 1 = 2n 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8.
第 7 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 (本小题满分 13 分) 例 11. .

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

已知数列{an}和{bn}满足: a1 = 1, a2 = 2, an > 0, bn = an an+1 (n ∈ N *) 且{bn}是以 q 为公比的等比数 列. (Ⅰ)证明: a n + 2 = a n q 2 ; (Ⅱ)若 c n = a 2 n 1 + 2a 2 n , 证明数列 {c n } 是等比数列; (Ⅲ)求和: 1 + 1 + 1 + 1 + L + 1 + 1 .
a1 a2 a3 a4 a 2 n 1 a2 n

命题目的: 本小题主要考查等比数列的定义, 通项公式和求和公式等基本知识及基本的运 算技能,考查分析问题能力和推理能力. 解法 1: (I)证:由 bn +1 = q ,有 an +1an + 2 = an + 2 = q ,∴ an + 2 = an q 2 ( n ∈ N*) .
bn

an an +1

an

(II)证:Q an = qn 2 q 2 ,
∴ a2 n 1 = a2 n 3 q 2 = L = a1q 2 n 2 , a2 n = a2 n 2 q 2 = L = a2 q n 2 ,
∴ cn = a2 n 1 + 2 a2 n = a1q 2 n 2 + 2 a2 q 2 n 2 = ( a1 + 2 a2 ) q 2 n 2 = 5q 2 n 2 .

∴{cn } 是首项为 5,以 q 2 为公比的等比数列.

(III)由(II)得 1 = 1 q 2 2 n , 1n = 12 q 2 2 n ,于是 a2 a a2 n 1 a1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L + = + +L+ + + +L + a1 a2 a2 n a1 a3 a2 n 1 a2 a4 a2 n
= 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 . 1 + 2 + 4 + L + 2 n 2 + 1 + 2 + 4 + L + 2n 2 = 1 + 2 + 1 + L + 2 n2 a1 q q q q q q a2 q 2 q q

当 q = 1 时, 1 + 1 + L + 1 = 3 1 + 1 + 1 + L + 1 = 3 n . a1 a2 a2 n 2 q 2 q 4 q 2n2 2
2n 2 n 当 q ≠ 1 时, 1 + 1 + L + 1 = 3 1 + 1 + 1 + L + 1 = 3 1 q = 3 q 1 . q 2 n 2 ( q 2 1) 2 4 2n2 2 a1 a2 a2 n 2 q q q 2 1 q 2

故1

3 q = 1, n, 1 1 2 + +L + = 2n a1 a2 a2 n 3 q 1 q 2 n 2 (q 2 1) ,q ≠ 1. 2

解法 2: (I)同解法 1(I) . (II)证:
cn +1 a2 n +1 + 2a2 n + 2 q 2 a2 n 1 + 2q 2 a2 n = = = q 2 (n ∈ N* ) ,又 c1 = a1 + 2a2 = 5 , cn a2 n 1 + 2a2 n a2 n 1 + 2a2 n

∴{cn } 是首项为 5,以 q 为公比的等比数列.
2

(III)由(II)的类似方法得 a2 n 1 + a2 n = (a1 + a2 )q 2 n 2 = 3q 2 n 2 ,
第 8 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

a +a 1 1 1 a +a a +a + +L + = 1 2 + 3 4 + L + 2 n1 2 n , a1 a2 a2 n a1a2 a3a4 a2 n 1a2 n
Q


a2 k 1 + a2 k 3q 2 k 2 3 2 k + 2 , k = 1, L,n . 2, = 4k 4 = q a2 k 1a2k 2q 2
1 1 1 3 + +L + = (1 + q 2 + L + q 2 n + 2 ) .下同解法 1. a1 a2 a2 k 2

考点 7

数列与函数的迭代问题

由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目, 此类问题将函数与数列知识 综合起来, 考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用, 涉及的知识点由函数 性质,不等式,数列,导数,解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和 实际背景,它与当前国际数学主流之一的动力系统(拓扑动力系统,微分动力系统)密切相 关,数学家们极为推崇,函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中,近几年又频频出现在 高考数学试题中. 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 例 12.已知数列{ a n }中, a1 = 1 ,点(n,an +1 an) . 2
2

(Ⅰ)令 bn = an +1 an 1, 求证数列{bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项; (Ⅲ)设 S n,Tn 分别为数列 {a n },bn } 的前 n 项和,是否存在实数 λ ,使得数列 S n + λTn 为等差 {
n

数列?若存在,试求出 λ .若不存在,则说明理由. 思路启迪:利用等比的定义证明 b n 是等比数列;对 a n 可由已知用叠加法求出求.求出
a n 与 b n 便可顺利求出第三问.

解答过程: (I)由已知得

1 a1 = , 2an +1 = an + n, 2

3 3 1 3 Q a2 = , a2 a1 1 = 1 = , 4 4 2 4

又 bn = an +1 an 1, bn+1 = an+ 2 an +1 1,
b a a 1 ∴ n +1 = n + 2 n +1 = bn an +1 an 1
∴{bn } 是以

an +1 + (n + 1) an + n an +1 an 1 1 2 2 = 2 = . an+1 an 1 an +1 an 1 2

3 为首项,以 1 为公比的等比数列. 4 2
4 2 2 2

(II)由(I)知, bn = 3 × ( 1 )n 1 = 3 × 1 , n
3 1 3 1 ∴ an +1 an 1 = × n , ∴ a2 a1 1 = × , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 a2 1 = × 2 , ∴ an an 1 1 = × n1 , 2 2 2 2

将以上各式相加得:
第 9 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教
3 1 1 1 ∴ an a1 (n 1) = ( + 2 + + n1 ), 2 2 2 2

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

1 1 (1 n 1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ∴ an = a1 + n 1 × = + ( n 1) (1 n1 ) = n + n 2. 1 2 2 2 2 2 1 2

∴ an =

3 + n 2. 2n

(III)解法一: 存在 λ = 2 ,使数列 { S n + λTn } 是等差数列.
n Q S n = a1 + a2 + + an = 3( 1 1 1 + 2 + + n ) + (1 + 2 + + n) 2n 1 2 2 2

1 1 2 2 (1 n ) 2 + n(n + 1) 2n = 3(1 1n ) + n 3n = 3 + n 3n + 3. = 3× 2 2 2 2n 2 1 2 1 2
3 1 (1 n ) 4 2 = 3 (1 1 ) = 3 + 3 . Tn = b1 + b2 + + bn = 1 2 2n 2 2n +1 1 2

数列 { S n + λTn } 是等差数列的充要条件是 S n + λTn = An + B, ( A , B 是常数 )
n n

即 S n + λTn = An 2 + Bn,
2 2 又 S n + λTn = 3 + n 3n + 3 + λ ( 3 + 3 ) = n 3n + 3(1 λ )(1 1 ) . n n n +1

2

2

2

2

2

2

2

∴ 当且仅当1 λ = 0 ,即 λ = 2 时,数列 { S n + λTn } 为等差数列.
2 n

解法二:存在 λ = 2 ,使数列 { S n + λTn } 是等差数列.
n

由(I)(II)知, an + 2bn = n 2 ,∴ S n + 2T = n(n + 1) 2n . ,
2
S n + λTn = n n(n + 1) 2n 2Tn + λTn n 3 λ 2 2 = + Tn . 2 n n

又 T = b + b + + b = n 1 2 n

3 1 (1 n ) 4 2 = 3 (1 1 ) = 3 + 3 . 1 2 2n 2 2n +1 1 2

S n + λTn n 3 λ 2 3 3 = + ( + n+1 ) . n 2 n 2 2

∴ 当且仅当 λ = 2 时,数列 { Sn + λTn } 是等差数列.
n

(5) S = 2 + 22 + 222 + L + 22L 2 n 1 3 2
n

第 10 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 例 13

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

已知各项全不为零的数列 {a k } 的前 k 项和为 Sk, S k = 且 (Ⅰ)求数列 {a k } 的通项公式;

1 , a k a k +1 ( k ∈ N*)其中 a1 = 1. 2

(II)对任意给定的正整数 n ( n ≥ 2) ,数列 {bk } 满足 bk +1 = k n (k = 1,2,L, n 1),
bk a k +1
b1 = 1.求b1 + b2 + L + bn .

思路启迪:注意利用 bk =

bk bk 1 b L 2 b1 解决问题. bk 1 bk 2 b1

解: (Ⅰ)当 k = 1 ,由 a1 = S1 =

1 a1a2 及 a1 = 1 ,得 a2 = 2 . 2 1 1 ak ak +1 ak 1ak ,得 ak ( ak +1 ak 1 ) = 2ak . 2 2

当 k ≥ 2 时,由 ak = S k S k 1 =

因为 ak ≠ 0 ,所以 ak +1 ak 1 = 2 .从而 a 2 m 1 = 1 + ( m 1) 2 = 2m 1.

a 2 m = 2 + ( m 1) 2 = 2m , m ∈ N * .故 ak = k ( k ∈ N* ) .
(Ⅱ)因为 ak = k ,所以 所以 bk =

bk +1 nk nk . = = bk ak +1 k +1

bk bk 1 b ( n k + 1)(n k + 2) L 2 b1 = ( 1) k 1 1 bk 1 bk 2 b1 k (k 1) L 2 1

1 k = ( 1) k 1 C n ( k = 1,2, L , n). n
故 b1 + b2 + b3 + L + bn =

1 1 3 n Cn Cn2 + Cn L + ( 1) n 1 Cn n

1 1 0 1 = {1 [C n C n + C n2 L + ( 1) n C nn ]} = . n n
考点 8 数列综合应用与创新问题 数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点, 全面考察数学知识的掌握和运用的情 况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性,深刻性,技巧性等,涉及的数学思想方 法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想,函数与方程的思想,探索性思想等. 例 14.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某 数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆 序数. 记排列 (n + 1)n(n 1) L 321 的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 = 1 ,排列 321 的逆 序数 a 3 = 6 .求 a4,a5,并写出 an 的表达式; 命题目的:考查排列,数列知识.
第 11 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教
n(n + 1) . 2

过程导引:由已知得 a 4 = 10, a 5 = 15 , a n = n + (n 1) + L + 2 + 1 =

例 15 . 设 f ( x) 是 定 义 在 (0, +∞) 上 的 单 调 可 导 函 数 . 已 知 对 于 任 意 正 数 x , 都 有
2 1 ,且 f (1) = a > 0 . f [ f ( x) + ] = x f ( x)

(Ⅰ)求 f ( a + 2) ,并求 a 的值; (Ⅱ)令 an = 1 , n ∈ N ,证明数列 {an } 是等差数列; f ( n) (Ⅲ)设 kn 是曲线 y = f ( x) 在点 ( n 2 , f (n 2 )) 处的切线的斜率( n ∈ N ) ,数列 {kn } 的前 n 项 和为 S n ,求证: 4 < Sn ≤ 2 . 思路启迪:根据已知条件求出函数 f ( x ) 的关系式,求出 a n 的递推关系式然后可求解题中 要求. 解答过程: (Ⅰ)取 x = 1, f (a + 2) = 1 ; 解答过程:
a

再取 x = a + 2 ∴ f ( 1 + 2 ) = a = f (1), 1 + 2 = 1 ,
a a+2 a a+2

则 a = 2 ,或-1(舍去). (Ⅱ)设 f ( x) = t ,则 f (t + 2 ) = 1 ,再令 x t
2 1 2 1 2 , ) = t = f ( x),∴ + x→t+ ∴ f ( + =x x t t+2 t t+2 x x

即 xt 2 t 2 = 0,∴ t = 2 , 或 1 ,又 f (1) = a > 0 ,
x x x

则 f ( x ) = t = 2 , an = 1 = n ,
x

f ( n)

2

由 an +1 an = 1 , n ∈ N ,所以 {an } 是等差数列.
2

(3)由(2)得 f ( x) = 2 ,∴ f ′( x) = 2 , 则 kn = f ′(n 2 ) = 2 , 2 4
x x n

所以 S n = 2(1 + 1 + 1 + L + 1 ) ≤ 2 ; 4 4 4
2 3 n

又当 n ≥ 2 时, kn = 2 > 2 > 4 2
n n

2 1 1 = 2( ), (n 1)n n 1 n

则 Sn ≥ 2[1 + (1 1 ) + ( 1 1 ) + L + ( 1 1 )] = 2[1 + (1 1 )] > 4 ,
2 2 3 n 1 n n

故 4 < Sn ≤ 2 . 例 16. 已知函数 f ( x) = x 2 + x 1 , α , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) , f '( x ) 是 f(x)的导数;设
第 12 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教
a1 = 1 , an +1 = an f ( an ) (n=1,2,……) f '(an )

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

(1)求 α , β 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; (3)记 bn = ln
an β (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an a

思路启迪: (1)注意应用根与系数关系求 α , β 的值; (2)注意先求 f '( x ) ; (3)注意利用

α , β 的关系.
解: (1)∵ f ( x) = x 2 + x 1 , α , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) , ∴α =
1 + 5 1 5 ,β = . 2 2
1 1 5 an (2an + 1) + (2an + 1) 2 an + an 1 2 4 4 = an = an 2an + 1 2an + 1

(2) f '( x) = 2 x + 1 , an +1

5 1 1 5 1 5 1 >0 = (2an + 1) + 4 , a1 = 1 , ∵ ∴由基本不等式可知 a2 ≥ (当且仅当 a1 = 4 2 an + 1 2 2 2

时取等号) ,∴ a2 >

5 1 5 1 5 1 > 0 同,样 a3 > = α (n=1,2,……) ,……, an > . 2 2 2
(an α )(an β ) an β = (an + 1 + α ) ,而 α + β = 1 ,即 α + 1 = β , 2an + 1 2an + 1

(3) an +1 β = an β
an +1 β = b1 = ln ( an β ) 2 2 an + 1

,





an +1 α =

( an α ) 2 2 an + 1

,

bn +1 = 2bn

,



1 β 3+ 5 3+ 5 = ln = 2 ln 1α 2 3 5

Sn = 2(2n 1) ln

3+ 5 . 2

第 13 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 【专题训练】 专题训练】 一.选择题

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

1.已知{a n }是等比数列,且 a n >0,a 2 a 4 +2 a 3 a 5 +a 4 a 6 =25,那么 a 3 + a 5 的值等于 ( A.5 ) B.10 C.15. D.20 )

2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20,那么 a 3 等于( A.4 B.5 C.6 D7.
S5 32
n →∞

3.等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 S10 = 31 ,则 lim Sn 等于(
A. 2 3 B. 2 3

)

C.2

D.-2

4.已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛物线在 x 轴上 截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim (d1+d2+…+dn)的值是(
n →∞

) D.4

A.1 二.填空题

B.2

C.3

5.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是 _________. 6.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为 _________. 7. 设 zn=( 1 i )n , (n ∈ N*) , 记 Sn= | z2 - z1 | + | z3 - z2 | + … + | zn+1 - zn | , 则
2
n →∞

lim Sn=_________.
8.作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内

再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________. 9.从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用水加满;这样 倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升. 10.据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》"2001 年国内生产总值达到 : 95933 亿元,比上年增长 7.3%, "如果"十五"期间(2001 年~2005 年)每年的国内生产 总值都按此年增长率增长,那么到"十五"末我国国内年生产总值约为_________亿元. 三,解答题 11.已知:在等比数列{a n }中,S n = a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n ,若 S 10 =5,S 20 =15.求:S 30 的值. 12.项数为奇数的等差数列{a n }中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中 间项和项数. 13.数列{a n }中,前 m 项(m 为奇数)的和为 77,其中偶数项之和为 33,且 a 1 -a m =18,
第 14 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 求这个数列的通项公式.

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2,…,S12 中哪一个值最大,并说明理由. 15.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 a b1 ,a b2 ,…,a bn ,… 为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 Tn=C 1 b1+C 2 b2+C 3 b3+…+C n bn,求 lim n n n n
n →∞

Tn 4n + bn

.

16.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出{an}及{bn} 的前 n 项和 S10 及 T10. 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=(m+1)-man.对任意正整数 n 都成立,其中 m 为 常数,且 m<-1. (1)求证:{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足:b1=

1 a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N*).试问当 m 3

为何值时, lim (bn lg a n ) = lim 3( b1b2 + b2 b3 + L + bn 1bn ) 成立?
n→∞ n→∞

18.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项 bn; (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+ 1 )(其中 a>0 且 a≠1),记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,
bn

试比较 Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3

19.某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小, 1 到 n 排序, 1 位职工得奖金 由 第

b n

元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后 剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k,n 和 b 表示 ak(不 必证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n →∞

第 15 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 【参考答案】 参考答案】 一.选择题

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

1.解法一 解法一:因为{a n }是等比数列,设{a n }的公比为 q,由 a n >0 知 q>0, 解法一 因 a 2 a 4 +2 a 3 a 5 + a 4 a 6 =25, 所以,a 1 q a 1 q 3 +2a 1 q 2 a 1 q 4 +a 1 q 3 a 1 q 5 =25, 即[a 1 q 2 (1+ q 2 )] 2 =25,∴ a 1 q 2 (1+ q 2 )=5, 得 a 3 + a 5 = a 1 q 2 +a 1 q 4 = a 1 q 2 (1+ q 2 )=5 . 故选择答案 A .
2 2 解法二:因{a n }是等比数列,∴ a 2 a 4 = a 3 ,a 4 a 6 = a 5 , 解法二 2 2 ∴ 原式可化为 a 3 +2 a 3 a 5 + a 5 =25, 即(a 3 + a 5 ) 2 =25.

因 a n >0 , ∴ a 3 + a 5 = 5 , 故选择答案 A 2. 解法一 解法一:因为{a n }是等差数列,设其首项为 a 1 ,公差为 d, 由已知 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 有 5 a 1 +10d = 20,
∴ a 1 +2d = 4, 即 a 3 = 4.故选择答案 A.

解法二:因{a n }是等差数列,所以 a 1 + a 5 = a 2 + a 4 =2 a 3 , 解法二 由已知 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 得 5 a 3 = 20,∴ a 3 = 4. 故选择答案 A 3.解析:利用等比数列和的性质.依题意, S10 = 31 ,而 a1=-1,故 q≠1,
S5 32

∴ S10 S5 = 31 32 = 1 ,根据等比数列性质知 S5,S10-S5,S15-S10,…,也成等比数列,
S5 32 32

1 且它的公比为 q5,∴q5=- 1 ,即 q=- .
32

2

∴ lim S n = a1 = 2 .
n→ ∞

1 q

3

故选择答案 B. 4.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|= ,得 dn=
a 1 , n( n + 1)

∴d1+d2+…+dn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L+ = 1 + +L+ = 1 1 2 2 3 n( n + 1) 2 2 3 n n +1 n,+1 1 ∴ lim ( d1 + d 2 + L + d n ) = lim (1 ) = 1. n→∞ n→∞ n +1 =

故选择答案 A. 二,5.解析:解出 a,b,解对数不等式即可.
第 16 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 故填答案:(-∞,8) 6.解析:利用 S 奇/S 偶= n + 1 得解.
n

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

故填答案:第 11 项 a11=29.
1 i n +1 1 i n 2 7.解析 : 设cn =| zn +1 zn |=| ( ) ( ) |= ( ) n +1 , 2 2 2

1 2 2 [1 ( ) n ] 1 ( ) n 2 . 2 ∴ S n = c1 + c2 + L + cn = 2 = 2 2 2 1 2
∴ lim S n =
n→∞

1 2+ 2 2 = = 1+ . 2 2 2 2
2

故填答案:1+ 2 . 8.解析:由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an},可得 an= a ,正三角形的内切圆
2 n 1

构成等比数列{rn},可得 rn= 3 1 a,
6 2 n1

∴这些圆的周长之和 c= lim 2π(r1+r2+…+rn)= 3 3π a2,
n→∞

2

面积之和 S= lim π(n2+r22+…+rn2)= π a2
n→∞

9

故填答案:周长之和 3 3 πa,面积之和 π a2
2
9

9.解析: 第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1- b )升, 第二次有纯酒精 a(1- b )-
a a

b a (1 ) a b, a

即 a(1- b )2 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- b )n 升.
a a

故填答案:a(1- b )n
a

10.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公 比的等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 故填答案:120000. 三,11. 解:因为 {a n }为等比数列, 所以 S 10 ,S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 是等比数列. 即 5,15-5,S 30 -15 是等比数列,得 5(S 30 -15)=10 2 ,∴ S 30 =35. 12.解:设等差数列{a n }共有 2n-1 项,S 1 =80,S 2 =75,则 得 n=16,所以 2n-1=2×16-1=31
S1 n 80 16 = = = , S 2 n 1 75 15

即此数列共有 31 项.

又由{a n }的项数为 2n-1,知其中间项是 a n ,故 a n = S 1 -S 2 =80-75=5,
∴ a 16 =5.
第 17 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教

13. 解:设等差数列{a n }中,前 m 项的和为 S m ,其中奇数项之和为 S 1 ,偶数项之和为 S 2 ,由题意得 S m =77,S 2 =33,S 1 = S m -S 2 = 44, 令 m=2n-1 则
S1 n 4 = = ,得 n =4, S 2 n 1 3

∴ m=7,∴ a 4 =S 1 -S 2 =11,又 a 1 -a 7 =18,得首项为 20,公差为-3,

故通项公式为 a n =-3 n+23.

a3 = a1 + 2d = 12, 14.(1)解:依题意有: 12 × 11 d > 0, S12 = 12a1 + 2 13 × 12 S13 = 13a1 + 2 d < 0.

解之得公差 d 的取值范围为- 24 <d<-3.
7

(2)解法一:由 d<0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在 S1,S2,…,S12 中 Sk 为最大 值的条件为:ak≥0 且 ak+1<0,即 a3 + (k 3)d ≥ 0
a3 + (k 2) d < 0

∵a3=12,∴ kd ≥ 3d 12 ,∵d<0,∴2- 12 <k≤3- 12 .
kd < 2d 12

d

d

∵- 24 <d<-3,∴ 7 <- 12 <4,得 5.5<k<7.
7 2

d

因为 k 是正整数,所以 k=6,即在 S1,S2,…,S12 中,S6 最大. 解法二:由 d<0 得 a1>a2>…>a12>a13,因此,若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥ 0,且 ak+1<0,则 Sk 是 S1,S2,…,S12 中的最大值.由等差数列性质得,当 m,n,p,q∈ N*, 且 m+n=p+q 时 , am+an=ap+aq. 所 以 有 : 2a7=a1+a13= 2 S13 < 0, ∴ a7 <
13

0,a7+a6=a1+a12= 1 S12>0,∴a6≥-a7>0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 最大.
6

解法三:依题意得: S n = na1 + n (n 1)d = n(12 2d ) + d (n 2 n)
2 2 = d 1 24 d 24 1 24 [n (5 )]2 (5 ) 2 ,Q d < 0,∴[ n (5 )]2 最小时,Sn 最大; 2 2 d 8 d 2 d

∵- 24 <d<-3,∴6< 1 (5- 24 )<6.5.从而,在正整数中,
7 2 2 d d

当 n=6 时, [n- 1 (5- 24 )]2 最小,所以 S6 最大. 15.解:(1)由题意知 a52=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2, ∵d≠0,∴a1=2d,数列{ abn }的公比 q= a5 = a1 + 4d =3,
a1 a1

∴ abn =a13n

-1


第 18 页 共 19 页

阳光家教网 阳光家教网 www.ygjj.com 西安家教 青岛家教 郑州家教 家教 又 abn =a1+(bn-1)d= bn + 1 a1
2

苏州家教 天津家教

中国最大找家教, 家教平台 中国最大找家教,做家教平台 家教 ②
-

由①②得 a13n 1= bn + 1 a1.∵a1=2d≠0,∴bn=23n 1-1.
-

2

(2)Tn=C 1 b1+C 2 b2+…+C n bn=C 1 (230 -1)+C 2 (231 -1)+…+C n (23n 1 - n n n n n n 1)= 2 (C 1 +C 2 32+…+C n 3n)-(C 1 +C 2 +…+C n )= 2 [(1+3)n-1]-(2n-1)= 2 4n n n n n n n
3 3 3

-

-2n+ 1 ,
3

2 n 1 2 1 n 1 1 n 4 2n + ( ) + ( ) Tn 2 3 3= 3 2 3 4 ∴ lim n = lim n = . lim n 1 n→∞ 4 + bn n→∞ 4 + 2 3 1 n→∞ 1 + 1 ( 3 ) n1 ( 1 ) n 3 2 4 4

第 19 页 共 19 页


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com