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定积分与微积分基本定理复习课件


第13课时

定积分与微积分基本定理

2014高考导航
考纲展示 1.了解定积分的实际 背景,了解定积分的 基本思想,了解定积 分的概念. 2.了解微积分基本定 理的含义. 备考指南 本部分主要有两种题型,一是 定积分的计算,二是用定积分 求平面图形的面积.高考中, 多以选择题或填空题的形式考 查定积分的概念和计算以及曲 边梯

形面积的求法,难度较小.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi
-1

<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小

区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式
b-a ? f(ξi)Δ x= ? n f(ξi) i =1 i =1 _________________________,当 n→∞时,
n n

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某个常数 上述和式无限接近__________,这个常数叫做函数 f(x)在区

? f(x)dx ?a [a,b]上的定积分,记作______________,即∫bf(x)dx= a
b-a lim ? f(ξi) n→∞ i =1 n _____________________.
n

b

(2)在?bf(x)dx 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区

?a

x 函数f(x) 间[a,b]叫做积分区间,_________叫做被积函数,____叫做
积分变量,f(x)dx 叫做被积式.

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思考探究
积分? bf(x)dx 与?bf(t)dt 是否相等?

?a

?a

提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量无关.

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2.定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫bf(x)dx 的 a 几何意义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所 围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分).

(2)一般情况下,定积分∫bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲 a 线 f(x)以及直线 x=a、 x=b 之间的曲边梯形面积的和(图乙中 阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值, 在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
目录

3.定积分的性质 (1)∫bkf(x)dx=k∫bf(x)dx(k 为常数); a a

∫bf1(x)dx±∫bf2(x)dx b a a (2)∫a[f1(x)± 2(x)]dx=_________________________; f
∫c f(x)dx+∫bf(x)dx a c ∫bf(x)dx=________________________ (其中 a<c<b). (3) a

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4.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是在区间[a, b]上的连续函数, F′(x)=f(x), 且

F(b)-F(a) 那么∫bf(x)dx=______________. a
这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.

F(x)|b a 为了方便,我们常把 F(b)-F(a)记作_________,
即∫bf(x)dx=F(x)|b=F(b)-F(a). a a

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课前热身
1 ∫4 dx=( 1. 2 x A.-2ln 2 C.-ln 2 ) B.2 ln 2 D.ln 2

答案:D

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2.下列值等于 1 的积分是( A.∫1xdx 0 C.∫11dx 0

)

B.∫1(x+1)dx 0
11 D.∫0 dx

2

答案:C

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π π 3.(2011· 高考湖南卷)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y 3 3 =cos x 所围成的封闭图形的面积为( 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D. 3 )

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4.(2012· 考 江 西 卷 ) 计 算 定 积 分 ? 高 ________.

?- 1

1

(x2 + sin x)dx =

?1x3-cos x ?′=x2+sin x, 解析:∵ 3 ? ? ?1x3-cos x??1 =2. ∴? (x +sin x)dx= 3 ? ??-1 3 ?- 1 ?
1 2

2 答案: 3

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x2,x∈[0,1] ? ? 5.(2013· 长春市模拟)设 f(x)=?1 (e 为自然对数的 ?x,x∈(1,e] ? 底数),则?e f(x)dx 的值为________.

?0

解析:依题意得? f(x)dx=? x dx+? dx ?0 ?0 ?1 x x3 1 1 4 e = |0+ln x| = +1= . 3 3 3 1

e

1 2

e1

4 答案: 3

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 定积分的计算

例1 利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)?2(x2+2x+1)dx;(2)? (sin x-cos x)dx;

?1
2

?0

π

?e2x+1 ?dx. (3)? x(x+1)dx;(4)? ? x? ?0 ?1
2

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【解】

(1)?2(x2+2x+1)dx

?1

=?2x2dx+?22xdx+?21dx

?1

?1

?1

x3 2 19 22 2 = |1+x |1+x|1= . 3 3 (2)? (sin x-cos x)dx

?0
π

π

=? sin xdx- ? cos xdx

?0

?0

π

=(-cos x)|0 -sin x|0 =2.
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π

π

(3)?2x(x+1)dx=?2(x2+x)dx

?0
0

?0

1 32 1 22 =? x dx+? xdx= x |0+ x |0 3 2 ? ?
2 2 2 0

?1×23-0 ?+?1×22-0 ?=14. =3 ? ? ?2 ? 3 ?e2x+1 ?dx= 2e2xdx+ 21dx (4)? ? ? ?x x? ?1 ?1 ?1
2

1 2x 2 1 4 1 2 2 = e |1+ln x|1= e - e +ln 2-ln 1 2 2 2 1 4 1 2 = e - e +ln 2. 2 2
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【规律小结】

求简单定积分的步骤:

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函

数与常数的积的和或差;
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分;

(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值.
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跟踪训练 1.计算下列定积分:

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解:(1)? (3x2-2x+1)dx

?- 1

3

=(x3-x2+x)|- 1=24.

3

?x-1 ?dx=?1x2-ln x?|2=3-ln 2. (2)? ? x ? ?2 ?1 2 ?1
2

(3)? e dx=2e |0=2e-2.

?0

x 2 2

x 22

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考点 2

利用定积分的几何意义求定积分 π -x -2xdx= ,则 m 等于( 4
2

例2 若定积分?m

?- 2

)

A.-1 C.1

B.0 D.2

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【解析】

根据定积分的几何意义知,定积分

? ?- 2

m

-x2-2xdx的值,就是函数 y= -x2-2x的图象与 x

轴及直线 x=-2, x=m 所围成图形的面积, y= -x2-2x是 π m 一个半径为 1 的半圆,其面积等于 ,而? 2 ?- -x2-2xdx
2

π 1 = ,即在区间[-2,m]上该函数图象应为 的圆,于是得 m 4 4 =-1,故选 A.

【答案】

A
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【规律小结】

求由不同曲线围成的图形的面积时,若被积

函数的原函数难以找到,但被积函数具有明显的几何意义, 可利用几何法求其面积.

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跟踪训练

π π 解:由于函数 y=sin x 在区间[- , ]上是一个奇函数, 2 2 图象关于原点成中心对称,在 x 轴上方和下方面积相等,故 该区间上定积分的值为面积的代数和,等于 0,即

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考点3 定积分在物理中的应用 例3 一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2 -4t+

3(m/s)运动.求:
(1)在t=4 s的位置; (2)在t=4 s内运动的路程.
【解】
4 2

(1)在时刻 t=4 时该点的位置为

?1t3-2t2+3t?|4 =4(m), ? (t -4t+3)dt=?3 ?0 3 ?0
4 即在 t=4 s 时刻该质点距出发点 m. 3

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(2)因为 v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及 [3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0,所以 t=4 s 时的路程为 s= ? 1 (t2-4t+3)dt+|?3 (t2-4t+3)dt|+∫4(t2-4t+3)dt 3

?0

?1

?1t3-2t2+3t?|1 +|?1t3-2t2+3t?|3 |+ ?1t3-2t2+3t?|4 =3 ? ?0 ?3 ?1 ?3 ?3
4 4 4 = + + =4(m), 3 3 3 即质点在 4 s 内运动的路程为 4 m.

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【规律小结】

(1)作变速直线运动的路程 s 等于其速度函数

v=v(t)(v(t)≥0)在时间[a,b]上的定积分?bv(t)dt.

?a

(2)作变速直线运动的速度 v,等于其加速度函数 a=a(t)在时 间[a,b]上的定积分? ba(t)dt.

?a

(3)如 果力 F(x)使得物 体沿力 的方 向由 x=a 运 动到 x= b(a<b),则力 F(x)对物体所做的功 W=?bF(x)dx.

?a

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跟踪训练

3.设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动
到x=10,已知F(x)=x2+1且和x轴正向相同,求变力F(x) 对质点M所做的功.
解: 变力 F(x)=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x =10 所做的功为 W=? 10F(x)dx=? 10(x2+1)dx

?1

?1

1 3 ?10=342, =( x +x) 3 ?1 即变力 F(x)对质点 M 所做的功为 342.
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方法感悟
1.被积函数若含有绝对值号,应去绝对值号,再分段积分.
2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是积分变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非 负,而定积分的结果可以为负.

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名师讲坛精彩呈现
易错警示
因不能正确理解定积分的几何意义致误

例 (2011· 高考课标全国卷)由曲线 y= x,直线 y=x-2
及 y 轴所围成的图形的面积为( A. 10 3 B.4 D.6 )

16 C. 3 【常见错误】

解答本题易出现两点错误:一是不理解定积

分的几何意义写错图形面积与定积分间的关系,二是积分

上、下限确定出错.
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【解析】 y= x与 y=x-2 以及 y 轴所围成的图形面积为如 图所示的阴影部分,

?y= x 联立? 得交点坐标为(4,2),故所求面积为 ? y=x-2
S=? 4[ x-(x-2)]dx

?0

2 2 x2 16 4 =[ x -( -2x)]|0= . 3 2 3

3

【答案】

C
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【防范措施】

使用定积分的几何意义求定积分和使用定积

分的方法求曲边图形的面积是有区别的.使用定积分的几何
意义计算定积分,定积分的值是“面积的代数和”,即面积

是带有符号的,当函数图象在x轴下方时,这个值是负值,只
有函数图象在x轴上方时,定积分的值才是正值,因此在使用 定积分的几何意义求定积分时一定要注意该点.

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跟踪训练
4.若 y=f(x)与 y=g(x)是[a,b]上的两条光滑的曲线,且两条 曲线在[a,b]上不相交,则这两条曲线及直线 x=a,x=b 所 围成的平面区域的面积为( A.?b[f(x)+g(x)]dx )

?a

B.? b[g(x)-f(x)]dx

?a

C.?b|f(x)-g(x)|dx

?a ?a

D.?b[f(x)-g(x)]dx
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解析:选 C.由定积分的几何意义可知,曲线围成的图形面积 是定积分得出的结果,当 f(x)>g(x)时,所求的面积为?b[f(x)

?a

-g(x)]dx;当 f(x)≤g(x),所求的面积为?b[g(x)-f(x)]dx.综

?a

上可知,所求的平面区域的面积为?b|f(x)-g(x)|dx.

?a

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知能演练轻松闯关

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