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2.4.1抛物线及其标准方程


抛物线极其标准方程
小结:

靖宇中学高二备课组 2008/11/04

抛物线的生活实例

抛球运动

复习、引题: 复习、引题:
一个动点 M 到一个定点

M2 M M1

F

和一条定直线 的距离之比 为常数

l
F
当 0<e<1 时是椭圆

e:
当 e>1 时是双曲线 当 e=1 是?

l

画抛物线

抛物线的定义:
平面内到定点 F与到定直线 L 的距 的点的轨迹叫抛物线 抛物线. 离的比值为 1 的点的轨迹叫抛物线. 定点 F 叫做 抛 物线的焦点 焦点; 物线的焦点; 定直线 L 叫做 抛物线的准线 准线. 抛物线的准线.
N M

K

F

L

平面上与一个定点F和一条定直线l(F 不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。 抛物线。 上时,轨迹是过点F F在l上时,轨迹是过点F垂
注意

直于L的一条直线。 直于L的一条直线。

二、标准方程
想 一 想 ?
步骤: 步骤:
(1)建系 ) (2)设点 ) (3)列式 ) (4)化简 ) (5)证明 )

l N

· ·F
M

如何建立直角 坐标系? 坐标系?
求曲线方程的基 本步骤是怎样的? 本步骤是怎样的?

标准方程
y y y

N Ko F

M
x

N K oF

M

N
x Ko F

M
x

L

(1)

L

(2)

L

(3)

二、标准方程
取过焦点F且垂直于准线l 取过焦点F且垂直于准线l的直线 为x轴,线段KF的中垂线y轴 线段KF的中垂线y KF的中垂线 设︱KF︱= p ︱ p p 则F( 2 ,0), :x = ( ),l: ), 2 设点M的坐标为 x,y), 的坐标为( 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知, 由定义可知, N

l y
M

K o

· ·F

x

p2 p ( x ? ) + y2 = x + 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0) ( > )

抛物线及其标准方程 定义: 一.定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的 定义
距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线。 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛 物线的焦点 焦点定直线 叫做抛物线的准线 准线。 物线的焦点定直线l 叫做抛物线的准线。

标准方程: 二.标准方程 标准方程
方程 = 2px(p>0) ( > ) 叫做抛物线的标准方程 y2 为正常数,它的几何意义是: 其中 p 为正常数,它的几何意义是
N

l y
M

K o

· ·F

x

焦点到准线的距离

方程y2 = 2px(p>0)表示抛物 ( > ) 线的焦点在 X轴的正半轴上 轴的正半轴上
p p ),l: 则F( 2 ,0), :x = ( ), 2

一条抛物线, 一条抛物线 , 由于它在坐标平 面内的位置不同, 方程也不同, 面内的位置不同 , 方程也不同 , 所 以抛物线的标准方程还有其它形式. 以抛物线的标准方程还有其它形式
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 几种不同的形式 它们是 如何建系的? 如何建系的

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形 o





准 线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x y


o

x

想一想: 想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、 形式与图形、焦点坐标、准线方程对 应关系,如何判断抛物线的焦点位置, 应关系,如何判断抛物线的焦点位置, 开口方向? 开口方向? 第一 : 一次项的变量为抛物线的对 称轴,焦点就在对称轴上; 称轴,焦点就在对称轴上; 第二: 第二:一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向. 物线的开口方向.

例1(1)已知抛物线的标准方程是 2 = 6x, )已知抛物线的标准方程是y ,
因为p= p=3 故焦点坐标为(- (-,0 解:因为p=3,故焦点坐标为(- 0) 2 3 准线方程为x=- -. 准线方程为 2

求它的焦点坐标和准线方程; 求它的焦点坐标和准线方程; 3

(2)已知抛物线的方程是 = -6x2, )已知抛物线的方程是y 求它的焦点坐标和准线方程; 求它的焦点坐标和准线方程;
1 1 方程可化为:x 解:方程可化为 =- -y,故p=-,焦点坐标 方程可化为 故 - 焦点坐标 12 6 1 1 为(0, --),准线方程为 -. - 准线方程为y= 24 准线方程为 24
2

(3)已知抛物线的焦点坐标是 (0,-2), )已知抛物线的焦点坐标是F( , ), 求它的标准方程。 求它的标准方程。
因焦点在y轴的负半轴上 解:因焦点在 轴的负半轴上 且p=4,故其标准 因焦点在 轴的负半轴上,且 故其标准 方程为:x 方程为 2 = - 8y

练习: 练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: 、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是 (3,0); )焦点是F( , );

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 、 、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; ) 4
(3)焦点到准线的距离是 。 y2 )焦点到准线的距离是2。

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = ) 20x (2)x2= )
1 y 2

(3)x2 +8y =0 )

焦点坐标

准线方程

(1) ) (2) ) (3) )

(5,0) , )
1 (0,—) , ) 8 (0 , -2)

x= -5
1 y= - — 8

y=2

求过点A( , ) 例2、求过点 (-3,2)的抛物线的 标准方程。 标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 当抛物线的焦点在 轴 的正半轴上时, 的正半轴上时,把A(-3,2) ( , ) 代入x 代入 2 =2py,得p= ,

9 4


A

y

O

x

当焦点在x轴的负半轴上时, 当焦点在 轴的负半轴上时, 轴的负半轴上时 把A(-3,2)代入 2 = -2px, ( , )代入y ,

4 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = ? x 3 2

得p=

2 3



思考题、M是抛物线 2 = 2px(P>0)上一点,若点 是抛物线y ( > )上一点, 是抛物线
M 的横坐标为 0,则点 到焦点的距离是 的横坐标为X 则点M到焦点的距离是

X0 +

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 、抛物线的定义 标准方程类型与图象的 标准方程类型与图象的对应 关系以及 以及判断方法 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它 、抛物线的定义、标准方程和它 定义 的焦点、准线、 的焦点、准线、方程

3、求标准方程(1)用定义; 、求标准方程( 用定义;
(2)用待定系数法

P71思考: P71思考: 思考
二次函数 y = ax ( a ≠ 0) 什么是抛物线? 什么是抛物线?
2

的图像为

1 y = ax (a ≠ 0) ? x = y a
2 2

1 ∴ = ±2 p a

当a>0时与当a<0时,结论都 a>0时与当a<0时 时与当a<0 为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

y y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x


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