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高中数学(人教版)选修2-3教学设计《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案3


第二课时 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x
2
2 5
王新敞
奎屯 新疆

? 3x ? 2) 5 ? (x ? 1) 5 (x ? 2) 5
1

∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C5
5 5

5

? 5x ,
1 4

在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C5 2 ∴展开式中含 x 的项为

x ? 80x

1 ? (80x) ? 5x(32) ? 240x ,
王新敞
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∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 (
王新敞
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x?

2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开式的常数项 x2

解:依题意 C n

4

: C2 ? 14 : 3 ? 3C4 ? 14C2 n n n
王新敞
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∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又

Tr ?1 ? C ( x )
r 10

10 ? r

2 r (? 2 ) r ? (?2) r C10 x x

10 ?5 r 2



10 ? 5r ? 0 ? r ? 2, 2
王新敞
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2 ? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180

例 6. 设 当 a0

?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ?
2

3

? ? ? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ,
n
王新敞
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? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值
? 1 得:
2 3

解:令 x

2(2n ? 1) ? 254 , a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ?1
n

∴2

n

? 128, n ? 7 ,
f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ??? an ,令 x ? a ? 1, 即 x ? a ? 1 可得各项系

点评:对于 数的和 a0
王新敞
奎屯 新疆

? a1 ? a2 ? ? ? an 的值;令 x ? a ? ?1, 即 x ? a ? 1 ,可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例 7.求证: Cn

1

2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 1 2 3 n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn

证(法一)倒序相加:设 S 又∵ S

① ②

n n n 2 1 ? nCn ? (n ?1)Cn ?1 ? (n ? 2)Cn ?2 ? ?? 2Cn ? Cn

∵ Cn

r

n 0 n 1 n ? Cn ?r ,∴ Cn ? Cn , Cn ? Cn ?1,? ,
0 1 2 n ? n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ,

由①+②得: 2 S ∴S

?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r rCn ? r ?

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!



1 2 3 n 0 1 2 n ?1 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? ? n ? 2n?1 .

例 8.在 (2 x ? 3 y) 的展开式中,求:
10

①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 2 x ? 3 y 中的系数
r

无关. 解:设 (2x ? 3 y)
10

? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*),

各项系数和即为

a0 ? a1 ? ? ? a10 , 奇 数 项 系 数 和 为 a0 ? a2 ? ? ? a10 , 偶 数 项 系 数 和 为

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为 C10 ②令 x ?
0 1 10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 ,

③奇数项的二项式系数和为 C10 偶数项的二项式系数和为 C10 ④设 (2x ? 3 y) 令x?
10 1

3 9 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 .

? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 ,

y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1),

令 x ?1,

y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2)

(1)+(2)得 2(a0

? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 ,
10

∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
2

(1)-(2)得 2(a1

? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 ,
10

∴偶数项的系数和为 1 ? 5
2

.
10

⑤ x 的奇次项系数和为 a ? a ? a ? ? ? a ? 1 ? 5 1 3 5 9
2

;

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地 区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.


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