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高一数学上学期期末学情测试苏教版 (1)


高一数学上学期期末学情测试苏教版(1)
一.填空题:本大题 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 不等式 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集为 2. 用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示, 则它的体积的最大值与最小值之差为 . 3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1 ,则 a7 ?<

br />主视图 俯 视 图

.

4. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 a 、 b 、 c 成等差数列, 则

cos A ? cos C ? 1 ? cos A cos C

5. 已知等差数列

?an ? 中的前 n 项和为 sn ,若, a5 ? 9 ,则 S9 ?
3 5

a

5

S

.

6. 已知 m、n 是直线,α 、β 、γ 是平面,给出下列命题:

①若 α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β ; ②若 α ∥β ,α ∩γ =m,β ∩γ =n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α ,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α ∩β =m,n∥m 且 n ? α ,n ? β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中所有正确命题的序号是
7. 若 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 ,且 2 y ? x ? 1 ,则 z ? 2 y ? x ? 4 的最小值为 8. 已知数列 为

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 4an ? 3(n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的通项公式


9. 已知 a ? b ? c ,则 (a ? b)(b ? c) 与

a?c 的大小关系是 2


10.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则实数 ab 的取值范围是

11. 过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有



12. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,已知 a, b, c 成等比数列,且

a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,则角 A=

..

13. 假设实数 a1 , a2 , a3 , a4 是一个等差数列,且满足 1 ? a1

? 3 及 a3 ? 4 .

若定义 bn ③ b2

? 2an ,给出下列命题:① b , b , b , b 是一个等比数列; b1 ? b2 ; ②
1 2 3 4

? 4 ;④ b4 ? 32 ;⑤ b2 ? b4 ? 256 .其中正确的命题序号为



14. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于 x ??1,2?, y ??2,3? 恒成 立,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 . 二.解答题:本大题 6 小题,共 90 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分)
如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,四边形 A ABB1 为菱形,?A AB ? 60? ,四边形 BCC1 B1 1 1 1 为矩形,若 AB ? BC 且 AB ? 4 , BC ? 3 ⑴求证:平面 A CB ? 平面 ACB1 ; 1 ⑵求三棱柱 ABC ? A B1C1 的体积. 1

C

C1

B

B1

A

A1

16. ( 本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分) 已知集合 A={x|x2-2x-8≤0,x∈R},B={x|x2-(2m-3)x+m2-3m≤0,x∈R,m∈R }. (1)若 A∩B=[2,4],求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

17.( 本大题 15 分)

b c 在△ABC 中, 已知 a 、 、 分别是角 A、 C 的对边, B、 不等式 x cosC ? 4 x sin C ? 6 ? 0
2

对一切实数 x 恒成立. ① 求角 C 的最大值; ②求 sin A ? sin B 的取值范围; ③若角 C 取得最大值, a ? 2b , 且 求角 B 的大小.

18. ( 本大题 15 分) 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m, C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离 比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计 AB, CD 的长,可使建造这个支架的成本最低? A
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D 地面

19. ( 本大题 16 分 ) 设

o 点为坐标原点,曲线 x

2

? y2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 上有两点 P、Q 满足关于直线

x ? my ? 4 ? 0 对称,又满足 OP ?OQ ? 0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.

20. ( 本大题 16 分,第一小题 5 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且满足:a3 ? a4 ? 117,a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c; n?c

(3)若(2)中的 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn (n ? 9)bn ?1

海安高级中学高一数学期末复习综合练习(2)参考答案
一.填空题: 1. 3. 7. 2. 【解析】6.体积的最大值为 16,体积最小值为 10. 64 4. 3/5 5. 1 6. ②④ 解:如图,易知不等式组围成的平面区域如图中阴影部分,令 z ? 0 ,得到直线

(-1,1)

2 y ? x ? 4 ? 0 ,已知此直线与图中边界所在直线 AB 平行,故将直线 2 y ? x ? 4 ? 0 平移到和边界所在直线 AB 重合时,均可得 z min ? 5
8. B A

an ? 22n?1 ? 1
①②③⑤ 14.

9.

(a ? b)(b ? c) ?

a?c 1 1 10. [ ? , ] 2 2 2

11. 3 12.

? 3

13.

[?1,??)

二.解答题: 15.[解]:⑴略;⑵ VABC ? A B C ? 12 3 . 1 1 1 16. 解:由已知得 A=[-2,4],B=[m-3,m]. ?m-3=2, (1)∵A∩B=[2,4],∴? ∴m=5. ?m≥4. (2)∵B=[m-3,m],∴?RB=(-∞,m-3)∪(m,+∞). ∵A??RB,∴m-3>4 或 m<-2.∴m>7 或 m<-2. ∴m∈(-∞,-2)∪(7,+∞). 17. 解:(1)由条件知,当 cos C ? 0 时,不合题意。

?cos C ? 0 当 cos C ? 0 时, ? 2 ?? ? 16sin C ? 24 cos C ? 0
? cos C ?

?cos C ? 0 即? 2 ?2cos C ? 3cos C ? 2 ? 0

1 ? ? ? C 为 ?ABC 的内角,? 0 ? C ? 。所以角 C 的最大值为 。 2 3 3 ? 2? 2? 2? ? A,0 ? A ? (2) 由(1)得 C ? ,? A ? B ? ,? B ? 3 3 3 3

? sin A ? sin B ? sin A ? sin( ? sin A ?
?0 ? A ?

2? 2? 2? ? A) ? sin A ? sin cos A ? cos sin A 3 3 3

3 1 3 3 ? cos A ? (? ) sin A ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) 2 2 2 2 6

2? ? ? 5? 1 ? , ? A? ? ? ,? ? sin( A ? ) ? 1 , 3 6 6 6 2 6

?

3 ? ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6

? 3 ? 即 sin A ? sin B 的取值范围是 ? ? 2 , 3? 。 ? ?

(3) 由(1)得 C ?
? sin(

?
3

,? A ? B ?

2? 。由 a ? 2b 得 sin A ? 2sin B 3

2? 3 1 ? B) ? 2sin B,即 cos B ? sin B ? 2sin B 3 2 2
2? ? ?B?( 0 , , B= )? 3 6

?

3 3 3 cos B ? sin B,即 tan B ? 2 2 3

18. 、解:设 BC ? am(a ? 1, 4), CD ? bm. 1 连结 BD. 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos60?. 2
1 4. ?b ? a ?1 a2 ?
1 4 ? 2a. ? b ? 2a ? a ?1 a2 ?
2

设 t ? a ? 1, t ? 2.8 ? 1 ? 0.4,
2

1 (t ? 1) ? 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t

等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4.

答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低. 19. 解: (1)曲线方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ,表示圆心为(-1,3) ,半径为 3 的圆.

?点P, Q在圆上且关于直线 ? my ? 4 ? 0对称, ∴圆心(-1,3)在直线上, x 代入直线方程得 m ? ?1 . (2)∵直线 PQ 与直线 y ? x ? 4 垂直, ?设P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), PQ方程y ? ? x ? b 2 2 将直线 y ? ? x ? b 代入圆方程. 得 2x ? 2(4 ? b) x ? b ? 6b ? 1 ? 0.
? ? 4(4 ? b) 2 ? 4 ? 2 ? (b 2 ? 6b ? 1) ? 0, 得2 ? 3 2 ? b ? 2 ? 3 2
b 2 ? 6b ? 1 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?(4 ? b), x1 ? x 2 ? 2 2 b ? 6b ? 1 y1 ? y 2 ? b 2 ? b( x1 ? x2 ) ? x1 ?x 2 ? ? 4b 2 ??? ???? ? ? OP ? OQ ? 0,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即b 2 ? 6b ? 1 ? 4b ? 0.
解得b ? 1? (2 ? 3 2, 2 ? 3 2).? 所求的直线方程为y ? ? x ? 1.
20.解: (1) {an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117,

∴ a3 , a4 是方程 n ? 22x ? 117 ? 0 的两个根
2

又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 ???????? 2 分 ∴ ?

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

∴?

?a1 ? 1 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3 ?????????? 4 分

(2)由(1)知, S n ? n ? 1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n ??????????? 2

5分

∴ bn ?

Sn 2n 2 ? n ? ??????????????????? n?c n?c
1 6 15 , b2 ? , b3 ? ????????????? 1? c 2?c 3?c
2

6分

∴ b1 ?

8分

∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c ? c ? 0 ???????? 9 分

1 ( c ? 0 舍去) ??????????????? 10 分 2 2n 2 ? n ? 2n ???????????????? 12 分 (3)由(2)得 bn ? 1 n? 2 2 2Tn ? 3bn?1 ? 2(n ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 , n ? 1 时取等号 ?? 15 分 64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 ,n ? 3 时取等号 17 分 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n
∴c ? ? (1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn ????? 18 分 (n ? 9)bn ?1


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