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福建省福州八中2015届高考数学二模试卷(文科)


福建省福州八中 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x≥1},则 A∩B=() A.{2} B.{1,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,1,2}

2. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) ,

=(m,﹣1) ,且 ∥ ,则实数 m 的值为() A.﹣2 B. C. D.2

3. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

4. (5 分)函数 f(x)=

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 最小值时,n 的值是() A.3 B. 4

,则 Sn 取

C. 5

D.6

6. (5 分)若函数 f(x)=sinx﹣kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.[0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)

7. (5 分)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B. 3

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=() C . ﹣5 或 3 D.5 或﹣3

8. (5 分)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16a1 ,则 + 的最小值为() A. B. C. D.不存在

2

9. (5 分)已知非零向量 、 ,满足 A.既是奇函数又是偶函数 C. 奇函数 10. (5 分) 当 是() A.奇函数且图象关于点 对称

,则函数 B. 非奇非偶函数 D.偶函数

(x∈R)是()

时, 函数 f (x) =Asin (x+φ) (A>0) 取得最小值, 则函数

B. 偶函数且图象关于点(π,0)对称 C. 奇函数且图象关于直线 D.偶函数且图象关于点 对称 对称

11. (5 分)式子 σ(a,b,c)满足 σ(a,b,c)=σ(b,c,a)=σ(c,a,b) ,则称 σ(a,b, 2 2 2 c)为轮换对称式.给出如下三个式子:①σ(a,b,c)=abc; ②σ(a,b,c)=a ﹣b +c ; 2 ③σ(A,B,C)=cosC?cos(A﹣B)﹣cos C(A,B,C 是△ ABC 的内角) .其中,为轮换 对称式的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 12. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 成立(其中 C 为常数) ,则称函数 y=f(x)在 D 上的均值为 C,现在 给出下列 4 个函数:①y=x ②y=4sinx③y=lgx④y=2 ,则在其定义域上的均值为 2 的所有 函数是下面的() A.①② B.③④ C.①③④ D.①③
3 x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上. 13. (4 分)复数 =.

14. (4 分)幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)

2

在(0,+∞)上为增函数,则 m=.

15. (4 分)在四边形 ABCD 中, 形 ABCD 的面积是.

=

=(1,1) ,

,则四边

16. (4 分)一种平面分形图的形成过程如图所示,第一层是同 一点出发的三条线段,长度均 为 1,每两条线段夹角为 120°;第二层是在第一层的每一条线段末端,再生成两条与该线段 成 120°角的线段,长度不变;第三层按第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两 条线段;重复前面的作法,直至第 6 层,则分形图第 6 层各条线段末端之间的距离的最大值 为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 18. (12 分)已知等比数列{an}满足 a3﹣a1=3,a1+a2=3. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 2 (Ⅱ)若 bn=an +1,求数列{bn}的前 n 项和公式. 19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的取值范围. . = , ? =3.

20. (12 分)如图,已知点 A(11,0) ,函数 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H, 且点 H 在点 A 的左侧.设|PH|=t,△ APH 的面积为 f(t) . (Ⅰ)求函数 f(t)的解析式及 t 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(t)的最大值.

21. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列 * {an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 小正整数 m. 22. (14 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 对所有 n∈N 都成立的最
*

福建省福州八中 2015 届高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x≥1},则 A∩B=() A.{2} B.{1,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;规律型. 分析: 集合 A 中元素个数较少,是有限集合,B 是无限集合,可以利用交集的定义逐一确 定 A∩B 中元素,得出结果. 解答: 解:根据交集的定义 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}, ∵A={﹣1,0,1,2},B={x|x≥1}, ∴A∩B={1,2}. 故选:B. 点评: 本题考查了集合的交集运算,属于基础题.

2. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) , =(m,﹣1) ,且 ∥ ,则实数 m 的值为() A.﹣2 B. C. D.2

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接由向量平行的坐标表示列式求解 m 的值. 解答: 解:由向量 =(1,﹣2) , =(m,﹣1) ,且 ∥ ,

∴1×(﹣1)﹣(﹣2)×m=0,解得:m= . 故选:C. 点评: 本题考查了平行向量与共线向量,考查了向量平行的坐标表示,是基础的计算题.

3. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 可得 f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0,由零点的判定定理可得. 解答: 解:∵f(x)= ﹣log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0, 满足 f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C 点评: 本题考查还是零点的判断,属基础题. 4. (5 分)函数 f(x)= 的图象大致为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的 符号,从而即可得出正确选项. 解答: 解:此函数是一个奇函数,故可排除 B,D 两个选项; 又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在 X 轴下方, 当自变量从原点右侧趋近于原点时, 函数值为正, 图象在 x 轴上方, 故可排除 B, A 选项符合, 故选 A. 点评: 本题考查由函数的性质确定函数图象,其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性, 再研究某些特殊值.

5. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 最小值时,n 的值是() A.3 B. 4

,则 Sn 取

C. 5

D.6

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由递推式得到给出的数列是公差为 3 的递增等差数列,利用通项公式求出数列从第 五项开始为正值,则 Sn 取最小值时的 n 的值可求. * 解答: 解:在数列{an}中,由 an+1=an+3,得 an+1﹣an=3(n∈N ) , ∴数列{an}是公差为 3 的等差数列. 又 a1=﹣10,∴数列{an}是公差为 3 的递增等差数列. 由 an=a1+(n﹣1)d=﹣10+3(n﹣1)=3n﹣13≥0,解得
*



∵n∈N ,∴数列{an}中从第五项开始为正值. ∴当 n=4 时,Sn 取最小值. 故选:B. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了等差数列的通项公式及数 列的和,是中档题. 6. (5 分)若函数 f(x)=sinx﹣kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.[0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1) 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求 f(x)的导函数,利用导数为 0 时左右符号不同的规律,求出 k 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=sinx﹣kx,∴f′(x)=cosx﹣k, 当 k≥1 时,f′(x)≤0,∴f(x)是定义域上的减函数,无极值; 当 k≤﹣1 时,f′(x)≥0,∴f(x)是定义域上的增函数,无极值; 当﹣1<k<1 时,令 f′(x)=0,得 cosx=k,从而确定 x 的值,使 f(x)在定义域内存在极值; ∴实数 k 的取值范围是(﹣1,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题,也考查了一定的计算能力,是中档 题.

7. (5 分)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B. 3

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=() C . ﹣5 或 3 D.5 或﹣3

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合.

分析: 由约束条件作出可行域,然后对 a 进行分类,a=0 时最小值不等于 7,a<0 时目标函 数无最小值,a>0 时化目标函数为直线方程斜截式,由图看出最优解,联立方程组求出最优 解的坐标,代入目标函数,由对应的 z 值等于 7 求解 a 的值. 解答: 解:由约束条件 作可行域如图,

联立

,解得



∴A( 当 a=0 时 A 为(

) . ) ,z=x+ay 的最小值为 , 在 y 轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在; , 在 y 轴上的截距最小,z 最小. ,不满足题意;

当 a<0 时,由 z=x+ay 得 要使 z 最小,则直线 当 a>0 时,由 z=x+ay 得 由图可知,当直线过点 A 时直线 此时 z=

,解得:a=3 或 a=﹣5(舍) .

故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,解答的关键是注意 分类讨论,是中档题. 8. (5 分)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16a1 ,则 + 的最小值为() A. B. C. D.不存在
2

考点: 基本不等式;等比数列的通项公式.

专题: 常规题型;2015 届高考数学专题. 分析: 应先从等比数列入手,利用通项公式求出公比 q,然后代入到 aman=16a1 中,可得到 关于 m,n 的关系式,再利用基本不等式的知识解决问题. 解答: 解:设正项等比数列{an}的公比为 q,易知 q≠1,由 a7=a6+2a5,得到 a6q=a6+2 解得 q=﹣1 或 q=2, 因为{an}是正项等比数列,所以 q>0,因此,q=﹣1 舍弃. 所以,q=2 因为 aman=16a1 ,所以
2 2



,所以 m+n=6, (m>0,n>0) ,

所以 当且仅当

≥ m+n=6,即 m=2,n=4 时等号成立.



故选 A 点评: 对等比数列的考查一定要突出基本量思想,常规思路一般利用同项、求和公式,利 用首项,公比表示已知,进一步推出我们需要的隐含条件或结论;基本不等式要重视其适用条 件的判断,这里容易在取“=”时出错. (x∈R)是()

9. (5 分)已知非零向量 、 ,满足 A.既是奇函数又是偶函数 C. 奇函数

,则函数 B. 非奇非偶函数 D.偶函数

考点: 平面向量数量积的运算;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得, 即可检验 解答: 解:∵ ∴ = ∴f(﹣x)= =f(x) , = = ,然后结合函数的奇偶性

∴f(x)是偶函数 故选 D 点评: 本题主要考查了向量的数量积的性质,函数的奇偶性的判断,属于基础试题

10. (5 分) 当 是()

时, 函数 f (x) =Asin (x+φ) (A>0) 取得最小值, 则函数

A.奇函数且图象关于点

对称

B. 偶函数且图象关于点(π,0)对称 C. 奇函数且图象关于直线 D.偶函数且图象关于点 对称 对称

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由 f( )=sin( +φ)=﹣1 可求得 φ=2kπ﹣ (k∈Z) ,从而可求得 y=f( ﹣

x)的解析式,利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可. 解答: 解:∵f( ∴ +φ=2kπ﹣ , )=sin( +φ)=﹣1,

∴φ=2kπ﹣ ∴y=f(

(k∈Z) , ﹣x)=Asin( ﹣x+2kπ﹣ )=﹣Asinx,

令 y=g(x)=﹣Asinx,则 g(﹣x)=﹣Asin(﹣x)=Asinx=﹣g(x) , ∴y=g(x)是奇函数,可排除 B,D; 其对称轴为 x=kπ+ 令 k=0,x= ,k∈Z,对称中心为(kπ,0)k∈Z,可排除 A;

为一条对称轴,

故选 C. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求 φ 是难点,考查正弦函数 的奇偶性与对称性,属于中档题. 11. (5 分)式子 σ(a,b,c)满足 σ(a,b,c)=σ(b,c,a)=σ(c,a,b) ,则称 σ(a,b, c)为轮换对称式.给出如下三个式子:①σ(a,b,c)=abc; ②σ(a,b,c)=a ﹣b +c ; 2 ③σ(A,B,C)=cosC?cos(A﹣B)﹣cos C(A,B,C 是△ ABC 的内角) .其中,为轮换 对称式的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 新定义. 分析: 根据轮换对称式的定义,考查所给的式子是否满足 σ(a,b,c)=σ(b,c,a)=σ(c, a,b) ,从而
2 2 2

得出结论. 解答: 解:根据①σ(a,b,c)=abc,可得 σ(b,c,a)=bca,σ(c,a,b)=cab, ∴σ(a,b,c)=σ(b,c,a)=σ(c,a,b) ,故①是轮换对称式. 2 2 2 ②根据函数 σ(a,b,c)=a ﹣b +c , 2 2 2 则 σ(b,c,a)=b ﹣c +a ,σ(a,b,c)≠σ(b,c,a)故不是轮换对称式. 2 ③由 σ(A,B,C)=cosC?cos(A﹣B)﹣cos C=cosC×[cos(A﹣B)﹣cosC] =cosC×[cos(A﹣B)+cos(A+B)]=cosC×2cosAcosB=2cosAcosBcosC 同理可得 σ(B,C,A)=2cosA?cosBcosC,σ(C,A,B)=2cosA?cosBcosC, ∴σ(A,B,C)=σ(B,C,A)=σ(C,A,B) ,故③是轮换对称式, 故选:C. 点评: 本题考查对新概念的阅读理解能力,以及三角函数化简与运算能力,分析问题的能 力,属于创新题,属于中档题. 12. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 成立(其中 C 为常数) ,则称函数 y=f(x)在 D 上的均值为 C,现在 给出下列 4 个函数:①y=x ②y=4sinx③y=lgx④y=2 ,则在其定义域上的均值为 2 的所有 函数是下面的() A.①② B.③④ C.①③④ D.①③ 考点: 函数恒成立问题. 专题: 新定义. 分析: 由题意可得,均值为 2,则 即 f(x1)+f(x2)=4,要满足已
3 x

知的条件,则必需使所求的函数单调函数,也不能为周期函数,还得让函数满足值域为 R,然 后结合已知函数逐项排除. 解答: 解:由题意可得,均值为 2,则
3

即 f(x1)+f(x2)=4
3 3

①:y=x 在定义域 R 上单调递增,对应任意的 x1,则存在唯一 x2 满足 x1 +x2 =4①正确 ②:y=4sinx,满足 4sinx1+4sinx2=4,令 ,则根据三角函数的周期性可得,

满足 sinx2=0 的 x2 无穷多个,②错误 ③y=lgx 在(0,+∞)单调递增,对应任意的 x1>0,则满足 lgx1+lgx2=4 的 x2 唯一存在③正 确 ④y=2 满足
x

,令 x1=3 时 x2 不存在④错误

故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的新定义,解决问题的关键是要根据已知定义,把题中的定义 进行转化,要求考生具备阅读转化的能力 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上.

13. (4 分)复数

=﹣2i.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果. 解答: 解:复数 = = =﹣2i,

故答案为:﹣2i. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.
2

14. (4 分)幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)

在(0,+∞)上为增函数,则 m=2.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义,列出方程 m ﹣m﹣1=1,求出 m 的值,再验证函数是否为增函 数即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=(m ﹣m﹣1) ∴m ﹣m﹣1=1, 解得 m=2,或 m=﹣1. 当 m=﹣1 时,幂函数 f(x)=x 在(0,+∞)上是减函数,不满足题意,应舍去; 3 当 m=2 时,幂函数 f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数,满足题意; ∴实数 m 的值为 2. 故答案为:2 点评: 本题考查了幂函数的定义,也考查了偶函数的定义的应用问题,是基础题. 15. (4 分)在四边形 ABCD 中, 形 ABCD 的面积是 . = =(1,1) , ,则四边
﹣1

2

2

为幂函数,且在(0,+∞)是偶函数,

2

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意知四边形 ABCD 是菱形,其边长为 再由向量数量积运算的应用可得 ABCD 的面积 解答: 解:由题 分∠ABC,四边形 ABCD 是菱形,其边长为 所以 cos∠BAD= =﹣ ,

,且对角线 BD 等于边长的 和

倍,

,最终可得四边形

,可知平行四边形 ABCD 的角平分线 BD 平 ,且对角线 BD 等于边长的 倍,

故 sin∠BAD=

,SABCD=(

)×

2

=



故答案为: . 点评: 本小题考查向量的几何运算,基础题. 16. (4 分)一种平面分形图的形成过程如图所示,第一层是同 一点出发的三条线段,长度均 为 1,每两条线段夹角为 120°;第二层是在第一层的每一条线段末端,再生成两条与该线段 成 120°角的线段,长度不变;第三层按第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两 条线段;重复前面的作法,直至第 6 层,则分形图第 6 层各条线段末端之间的距离的最大值 为6 .

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 规律型. 分析: 分析图形可知,左右两端的两个点为各条线段末端之间的距离的最大值.再根据 30° 直角三角形的性质、等腰三角形的性质分别计算前三个图形中的距离,进一步推而广之. 解答: 解:第一层的左右两端的两个点的距离为 ; 第二层的左右两端的两个点的距离为 2 ; 第三层的左右两端的两个点的距离为 3 ; 第四层的左右两端的两个点的距离为 4 ; … 推而广之,则第 6 层的左右两端的两个点的距离为 6 . 而各层各条线段末端之间的距离的最大值为的左右两端的两个点的距离. 即分形图第 6 层 各条线段末端之间的距离的最大值为 6 . 故答案为 6 .

点评: 此题考查了简单的合情推理,综合运用了等腰三角形的性质、30°直角三角形的性质 以及数的计算. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c, 且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. = , ? =3.

考点: 二倍角的余弦;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用二倍角公式利用 = 求得 cosA,进而求得 sinA,进而根据

求得 bc 的值,进而根据三角形面积公式求得答案. (Ⅱ)根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c,进而根据余弦定理求得 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 , 又由 , ,∴

得 bccosA=3,∴bc=5, ∴ (Ⅱ)对于 bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=20,∴ 点评: 本题主要考查了解三角形的问题.涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角 形面积公式等,综合性很强. 18. (12 分)已知等比数列{an}满足 a3﹣a1=3,a1+a2=3. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 2 (Ⅱ)若 bn=an +1,求数列{bn}的前 n 项和公式. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由 a3﹣a1=3,a1+a2=3.可得 可解得; (II)由( I)可得 ,再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. ,即

解答: 解: ( I)设等比数列{an}的公比为 q, 由 a3﹣a1=3 得 ,

由 a1+a2=3 得 a1(1+q)=3, (*) (q≠﹣1) , 两式作比可得 q﹣1=1,∴q=2, 把 q=2 代入解得 a1=1, ∴ . ,

( II)由( I)可得

可知数列{4

n﹣1

}是公比为 4 的等比数列, .

由等比数列求和公式可得

点评: 本题考查了等比数列的通项公式及前 n 项和公式,属于基础题. 19. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的取值范围. .

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦;正弦函数的 定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (I)函数解析式后两项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出 f(x)的最小正周期; (II)根据 x 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质即可求出 f(x)的取值范 围. 解答: 解: (I)f(x)= cos2x+cos( ﹣2x)= cos2x+sin2x=2sin(2x+ ) ,

∵ω=2,∴f(x)最小正周期为 T=π; (II)∵﹣ ∴﹣ ≤x≤ ,∴﹣ ≤2x+ ≤ , )≤2,

≤sin(2x+

)≤1,即﹣

≤2sin(2x+

则 f(x)取值范围为(﹣ ,2]. 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数公式,二倍角的余 弦函数公式,以及正弦函数的图象与性质,熟练掌握公式是解本题的关键. 20. (12 分)如图,已知点 A(11,0) ,函数 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H, 且点 H 在点 A 的左侧.设|PH|=t,△ APH 的面积为 f(t) . (Ⅰ)求函数 f(t)的解析式及 t 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(t)的最大值.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: ( I)S△ APH= PH×AH.其中 AH=OA﹣OH,OH 等于 P 的横坐标,P 的纵坐标即为 |PH|=t,利用函数解析式可求 OH.得出面积的表达式.

( II)由( I) ,面积为 求出最值. 解答: 解: ( I)由已知可得
2 2

.利用导数工具研究单调性,

,所以点 P 的横坐标为 t ﹣1, .

因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t ﹣1<11,即 由已知 t>0,所以 , 2 2 所以 AH=11﹣(t ﹣1)=12﹣t , 所以△ APH 的面积为 ( II) 由 f'(t)=0,得 t=﹣2(舍) ,或 t=2. 函数 f(t)与 f'(t)在定义域上的情况如右图: 所以当 t=2 时,函数 f(t)取得最大值 8. ,



点评: 本题考查了函数的综合应用,其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题, 属于中档题. 21. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列 {an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 小正整数 m. 考点: 数列的求和;导数的运算. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) ,根据导函数求得 f(x)的表达式,再根 * 据点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上,求出 an 的递推关系式, (Ⅱ)把(1)题中 an 的递推关系式代入 bn,根据裂项相消法求得 Tn,最后解得使得 对所有 n∈N 都成立的最小正整数 m. 2 解答: 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) , 则 f′(x)=2ax+b, 由于 f′(x)=6x﹣2,得 a=3,b=﹣2, 2 所以 f(x)=3x ﹣2x. * 又因为点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上, 2 所以 Sn=3n ﹣2n.
* *

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得

对所有 n∈N 都成立的最

*

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(3n ﹣2n)﹣[3(n﹣1) ﹣2(n﹣1)]=6n﹣5. 2 当 n=1 时,a1=S1=3×1 ﹣2=6×1﹣5, * 所以,an=6n﹣5(n∈N ) (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 = = ,

2

2

故 Tn=

=
*

= (1﹣ (n∈N )成立的 m,必须且仅须满足 ≤

) .

因此,要使 (1﹣

)<

,即 m≥10,

所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 点评: 本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技 能,考查分析问题的能力和推理能力. 22. (14 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)m=e 时,f(x)=lnx+ ,利用 f′(x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极 小值; (Ⅱ)由函数 g(x)=f′(x)﹣ ,令 g(x)=0,求出 m;设 φ(x)=m,求出 φ(x)的值 域,讨论 m 的取值,对应 g(x)的零点情况; (Ⅲ)由 b>a>0, <1 恒成立,等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立;即

h(x)=f(x)﹣x 在(0,+∞)上单调递减;h′(x)≤0,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,

∴f′(x)=



∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数; ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2;

(Ⅱ)∵函数 g(x)=f′(x)﹣ = ﹣ 令 g(x)=0,得 m=﹣ x +x(x>0) ; 设 φ(x)=﹣ x +x(x≥0) ,
3 3

﹣ (x>0) ,

∴φ′(x)=﹣x +1=﹣(x﹣1) (x+1) ; 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数, 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴x=1 是 φ(x)的极值点,且是极大值点, ∴x=1 是 φ(x)的最大值点, ∴φ(x)的最大值为 φ(1)= ; 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象,如图; 可知: ①当 m> 时,函数 g(x)无零点; ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 综上,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点;

2

(Ⅲ)对任意 b>a>0, 等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立; 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0) , ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减; ∵h′(x)= ﹣ ∴m≥﹣x +x=﹣ ∴m≥ ; 对于 m= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立;
2

<1 恒成立,

﹣1≤0 在(0,+∞)上恒成立, + (x>0) ,

∴m 的取值范围是[ ,+∞) .

点评: 本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及 求函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题.


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