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高三文科数学每日三题(7)


高三文科数学每日三题(7)
1. (本题满分 13 分)

1 AD ? 1, CD ? 3, G, E, F 分别是 AD, BC, CD 2 的中点,且 CG ? 2 , 沿 CG 将 ?CDG 翻折到 ?CD 'G.
已知梯形 ABCD 中, // AD, BC ? BC (Ⅰ)求证 : EF // 平面 AD' B; (Ⅱ)求证:平面 CD' G ? 平面 AD 'G.

2. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的长轴长为 2 2 , 一个焦点的坐标为(1,0). (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)设直线 l: y ? kx 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 P 为椭圆的右顶点. (i)若直线 l 斜率 k ? 1, 求 ?ABP 的面积; (ii)若直线 AP,BP 的斜率分别为 k1 , k2 , 求证: k1 ? k 2 为定值.

3. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2, {bn } 为等比数列,且 b1 ? 1, b4 ? 8. 数列 (I)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (II)若数列 {cn } 满足 cn ? abn , 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (III)在(II)的条件下,数列 {cn } 中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出 此三项;若不存在,说明理由.

1

参考答案
1.证明:(I)? E, F 分别是 BC, CD 的中点,即 E, F 分别是 BC,CD' 的中点,

? EF 为 ?D' BC 的中位线,
又? EF ? 平面 AD' B,

? EF // D ' B. ……….......……2 分

D' B ? 平面 AD' B, …………….…4 分

? EF // 平面 AD ' B. ……………..............................................…6 分 1 (II)∵G 是 AD 的中点, BC ? AD ? 1, 即 AD ? 2, ? DG ? 1. 2 又?CD ? 3, CG ? 2 ,
∴ ?DGC 中, DG ? GC ? DC 在
2 2 2

?GC ? D' G, GC ? AG. ? AG ? D' G ? G, ?GC ? 平面 AD 'G. …….......................…………12 分 又? GC ? 平面 CD 'G, ∴平面 CD' G ? 平面 AD 'G. ……...........................................…………13 分

? DG ? GC ………………9 分

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2.解:(I)依题意椭圆的焦点在 x 轴上,且 c ? 1,2a ? 2 2 , ……..........1 分

?a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 …………………………..........2 分 x2 ? y 2 ? 1. ………………….........4 分 ∴椭圆 C 的标准方程为 2 ?x2 ? 2 y 2 ? 2 (II)(i) ? …........…………………………………….5 分 y?x ? ? ? 6 6 ? ? ?x ? 3 ?x ? ? 3 , ........................………………7 分 或? ?? ?y ? 6 ?y ? ? 6 ? ? 3 3 ? ?
6 6 6 6 , ), B ( ? ,? ), 3 3 3 3 P( 2 ,0). 1 2. 6 2 3 所以 S ?ABP ? ? 2 ? ? . ...................……….........9 分 3 3 2 (ii)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,椭圆的右顶点为 P( 2 ,0)
即 A(

?x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 2 ,消 y 整理得 (2k ? 1) x ? 2, ? ? y ? kx
不妨设 x1 ? 0 ? x2 , ? x1 ?

2 2k ? 1
2

, x2 ? ?

2 2k ? 1
2

,

y1 ? k
k AP ? k BP ?

2 2k ? 1
2

,

y2 ? ? k

2 2k ? 1
2

, ..................…………12 分

y1 y2 y1 y2 ? ? …………13 分 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 2
2

2 1 2k ? 1 ? ? 2k ?? 2 ?2 ? 2 ? 4k 2 2 2? 2 2k ? 1 1 ? k AP ? k BP 为定值 ? . …………..............................................……14 分 2

?

? k2

2

2

3.解:(I)∵数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2 , ∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 亦满足上式,故 an ? 2n ? 1, (n ? N*)..……......3 分 又数列 {bn } 为等比数列,设公比为 q,

?b1 ? 1, b4 ? b1q3 ? 8, ?q ? 2. ?bn ? 2n?1 (n ? N*)..............……….........6 分
(Ⅱ) cn ? ab ? 2bn ? 1 ? 2n ? 1.

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?cn ? (21 ? 1) ? (22 ? 1) ? ? ? (2n ? 1) ? (21 ? 22 ? ?2n ) ? n
2(1 ? 2n ) ? n. 1? 2 所以 Tn ? 2n?1 ? 2 ? n. ......................................................................................9 分 (III)假设数列 {cn } 中存在三项 cm , ck , cl 成等差数列,不妨设 m ? k ? l (m, k , l ? N *) ?
因为 cn ? 2n ? 1, 所以 cm ? ck ? cl , 且三者成等差数列. 所以 2ck ? cl ? cm , 即 2(2k ? 1) ? (2m ? 1) ? (2l ? 1),

2 ? 2k ? 2m ? 2l , 即 2 ? 2m?k ? 2l ?k. (方法一)因为 m ? k ? l (m, k , l ? N *), 所以 l ? k ? 1, m ? k ? 0. m?k ? 2l ?k ? 2 与 2 ? 2 m?k ? 2l ?k 矛盾. 所以 2l ?k ? 2, 2m?k ? 0, 所以 2 所以数列 {cn } 中不存在成等差数列的三项. ……………….......13 分
(方法二) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 (1 ? 2
k m l m l ?m

2 k ?1 ) , 所以 2m ? 1 ? 2l ?m , 即 2k ?1?m ? 1 ? 2l ?m.

所以 2

k ?1?m

? 2l ?m ? 1.
l?m

因为 m ? k ? l (m, k , l ? N *), 所以 2k ?1?m , 2 所以等式不成立.

均为偶数,而 1 为奇数,

所以数列 {cn } 中不存在三项,使得这三项成等差数列. ………………13 分

3


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