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2008年东莞市高中数学竞赛决赛试题及答案


2008 年东莞市高中数学竞赛决赛试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确.请把正确选择支号填在答题表的相应位置. ) 1.若集合 M ? {a, b, c} 中的元素是 ?ABC 的三边长,则 ?ABC 一定不是( A.锐角三角形
?



B.直

角三角形
?

C.钝角三角形 ) C. ?

D.等腰三角形

2.设 cos100 ? k ,则 tan80 =( A.

1? k2 k

B. ?

1? k 2 k

1? k2 k

D. ?

k 1? k2

3.如图,一个空间几何体的正视图,左视图,俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的体积为( )

正视图 A.

左视图 B.
2

俯视图 C.

1 6

1 3
2

1 2
2 2

D.1

4. 若 A 、B 两点分别在圆 x ? y ? 6x ? 16y ? 48 ? 0和x ? y ? 4x ? 8 y ? 44 ? 0 上运 动,则 | AB | 的最大值为( A.13 B.19 ) C.32 D.38

x 5.设 x1 , x 2 是函数 f ( x) ? 2008 定义域内的两个变量,且 x1 ? x 2 ,若 a ?

1 ( x1 ? x 2 ) ,那 2

么,下列不等式恒成立的是(

) B. f ( x1 ) f ( x2 ) ? f (a)
2

A. | f (a) ? f ( x1 ) |?| f ( x2 ) ? f (a) | C. | f (a) ? f ( x1 ) |?| f ( x2 ) ? f (a) | 6.已知函数 f (n) ? cos A.1

D. | f (a) ? f ( x1 ) |?| f ( x2 ) ? f (a) | )

n? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008 ) (n ? N *) ,则 ?( 5 f (10) ? f (21) ? f (32) ? f (43)
B.0 C. -1 第 1 页 共 14 页 D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) 7.右图的发生器对于任意函数 f ?x ? , x ? D 可制造出一 系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据 x0 ? D , 则发生器结束工作;②若输入数据 x0 ? D 时,则发生 器输出 x1 ,其中 x1 ? f ?x0 ? ,并将 x1 反馈回输入端.现 定义 f ?x ? ? 2 x ? 1 , D ? (0,50) .若输入 x0 ? 1 ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 .
输入 x0

x0 ? x1
输出 x1

x1 ? f ( x0 ) x0 ? D
否 结束 是

(第 7 题图)

8.若点(1,1)到直线 x cos? ? y sin ? ? 2 的距离为 d ,则 d 的最大值是 9. 从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于 0.25 的概率是_______.
2 10.函数 y ? x ? x ?



1 ( x ? ?n, n ? 1? ,其中 n 为正整数)的值域中共有 2008 个整数,则 2
.

正整数 n ?

11. 把 1,2,3,?,100 这 100 个自然数任意分成 10 组,每组 10 个数,将每组中最大的 数 取 出 来 , 所 得 10 个 数 的 和 记 为 S . 若 S 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为 N , 则

M ?N ?

.

12.设集合 A ? x x 2 ? ?x? ? 2 , B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则

?

?

?

?

A? B ?

.


一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. 10. 8. 11. 1 2


3


4 5 6

9. 12. 第 2 页 共 14 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分) 已知向量 AB ? (1 ? tan x,1 ? tan x) , AC ? (sin( x ? (1)求证: ?BAC 为直角; (2)若 x ? [ ?

?
4

), sin( x ?

?
4

)) .

? ?

, ] ,求 ?ABC 的边 BC 的长度的取值范围. 4 4

第 3 页 共 14 页

14. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1.若 a 为整数,且函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 内恰有一个 零点,求 a 的值.

第 4 页 共 14 页

15. (本小题满分 12 分) 设 A 、 B 是 函 数 y ? log2 x 图 象 上 两 点 , 其 横 坐 标 分 别 为 a 和 a ? 4 , 直 线

l : x ? a ? 2 与函数 y ? log2 x 的图象交于点 C , 与直线 AB 交于点 D . (1)求点 D 的坐标; (2)当 ?ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围.

第 5 页 共 14 页

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别 为棱 AD 、 AB 的中点. (1)求证: EF ∥平面 CB1 D1 ; (2)求证:平面 CAA 1 C1 ⊥平面 CB1 D1 ; (3)如果 AB ? 1 ,一个动点从点 F 出发在正方体的 E A A1

D1 B1

C1

D F B

C

表面上依次经过棱 BB1 、 B1C1 、 C1 D1 、 D1 D 、 DA 上的点,最终又回到点 F , 指出整个路线长度的最小值并说明理由.

第 6 页 共 14 页

17. (本小题满分 14 分) 已知以点 C (t , )( t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于 O、A 两点,与 y 轴交于 O 、 B 两点,其中 O 为坐标原点. (1)求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M、N ,若 | OM |?| ON | ,求圆 C 的方程.

2 t

第 7 页 共 14 页

18. (本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ,若 f ( x) ? x ,则称 x 为 f ( x ) 的“不动点” ,若 f ( f ? x ?) ? x ,则称 x 为 f ( x ) 的“稳定点” . 函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即

A ? ? x | f ? x? ? x? , B ? x | f ? f ? x ? ? ? x .
(1)求证: A ? B ; (2)若 f ? x ? ? ax2 ? 1? a ? R, x ? R ? ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数, x0 是函数的稳定点,问 x0 是函数的不动点吗? 若是,请证明你的结论;若不是,请说明的理由.

?

?

第 8 页 共 14 页

2008 年东莞市高中数学竞赛决赛 参 考 答 案
一、选择题 D B A C D C 二、填空题 7.5 三、解答题 13. (1)证明:因为 AB ? AC ? (1 ? tan x) sin( x ? 8. 2 ?

2

9.

? 16

10.1003

11.1505

12.{?1, 3}

?
4

) ? (1 ? tan x) sin( x ?

?
4

)

?

2 cos x ? sin x cos x ? sin x [ (sin x ? cos x) ? (sin x ? cos x)] 2 cos x cos x

? 0,
分 所以 AB ? AC ,即 ?BAC ? 90 . 分 所以 ?ABC 是直角三角形. 6分 (2)解: | AC |? sin ( x ?
2

????4

?

????5 ????

?
4

) ? sin 2 ( x ?

?
4

) ? 1,

因为 ?ABC 是直角三角形,且 AB ? AC , 所 以 ????9 分

| BC |2 ?| AB |2 ? | AC |2 ? 3 ? 2 tan2 x
又因为 x ? [ ?

? ?

, ] , 0 ? tan2 x ? 1 , 4 4

所以 3 ?| BC |? 5 .

? 3, 5 ? .

所以, BC 长度的取值范围是 ????12 分

14.解: (1)a ? 0 时,令 f ( x) ? ?2 x ? 1 ? 0 得 x ?

1 ,所以 f ( x ) 在 (?2, ?1) 内没有零点; 2
??

第 9 页 共 14 页

??2 分 ( 2 ) a ? 0 时,由 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1, ? ? (a ? 2) 2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 恒成 立, 知 点. 若 f (?2) ? 0 ,解得 a ? ? 所

f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1
????5 分











5 3 ? Z ;若 f (?1) ? 0 ,解得 a ? ? ? Z , 6 2
以 ????7 分

f (?2) f (?1) ? 0 .
又因为函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 内恰有一个零点, 所 以

f (?

f ? ?

2



)

(6a ? 5)(2a ? 3) ? 0 .
解得 由 a ? Z, 综 上

????10 分

?

3 5 ?a?? , 2 6

? a ? ?1
所 述 , 所 求 整 ????12 分
a



a







? 1.

15.解: (1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2 ) , B(a ? 4, log2 所 以 由 中 点 ????2 分 公

( a ? 4)

),
式 得

D(a ? 2, log2 a(a?4) ) .
yD ? 1 (log 2 a ? log 2 (a ? 4)) . 2

(2)连接 AB,AB 与直线 l : x ? a ? 2 交于点 D,D 点的纵坐标为 ??

??4 分 所以 S ?ABC ? S ?ACD ? S ?BCD

?

1 | CD | ?( 2 ? 2) 2
第 10 页 共 14 页

? 2 | CD |

1 ? ? ? 2?log2 (a ? 2) ? (log2 a ? log2 (a ? 4))? 2 ? ?
= log2

(a ? 2) 2 a(a ? 4)
由 S


????8 分

ABC=

log2

(a ? 2) 2 a(a ? 4)

>1,



0 ? a ? 2 2 ? 2,
因 此 , 实

????10 分 数 a 的 取 值 范 围 是

0 ? a ? 2 2 ? 2.

????12 分

16. (1)证明:连结 BD . 在正方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又 E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . ????2 分

? EF // B1D1 .
又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

?
CB1D1. (2)证明:

EF



平 ????4 分



在正方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,

而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1.
又 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ? B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1? ? 平面 CB1D1, 第 11 页 共 14 页 ????6 分

F

F

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
(3)最小值为 3 2 .

????8 分 ????10 分

如 图 , 将 正 方 体 六 个 面 展 开 成 平 面 图 形, ????12 分 从图中 F 到 F,两点之间线段最短,而且依次经过棱 BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA 上的 中 点 , 所 求 的 最 小 值 为

3 2.

????14 分

17.解: (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 x?0 y1 ? 0, y 2 ? 令 , 得 ; t
????2 分



y?0





x1 ? 0, x2 ? 2t .
? S ?OAB ?
值. ???4 分

1 1 4 OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 , 即 : ?O A B的 面 积 为 定 2 2 t

| OM |?| ON |, | CM |?| CN |, ? OC 垂直平分线段 MN . (2)?
? k MN ? ?2,? k oc ? y? 1 x. 2 ? 2 1 ? t t 2 1 2


?



线

OC









????6 分 , 解 ????8 分 得 :

t ? 2或t ? ?2 .

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

1 5

? 5,
相 交 于 两

圆 点.

C





线

y ? ?2 x ? 4

????10 分 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 第 12 页 共 14 页

此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5

? t ? ?2
去.

不 圆



?
( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .

C

合 题 ????13 分 的 方 ????14 分

意 程

舍 为

18 . 解 :( 1 ) 若 A ? ? , 则 A ? B 显 然 成 立 ; 若 A ? ? , 设 t ? A , 则

f

? t? ?

, t ?f

? f? ?

t?

? ?f

?t

t



?t ? B

, ????4 分



A? B.
( 2 )

A ? ?,? ax2 ? 1 ? x 有 实 根 , ? a ? ?
2

1 . 又 A? B , 所 以 4

a ? ax 2 ? 1? ? 1 ? x ,
即 a x ? 2a x ? x ? a ? 1 ? 0 的左边有因式 ax ? x ? 1 ,
3 4 2 2 2




2



?a

?

1??

?

.x

?

2

1 ????6 分 x

A ? B , ? a 2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 要 么 没 有 实 根 , 要 么 实 根 是 方 程

ax 2 ? x ? 1 ? 0 的 根 . 若 a2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 没 有 实 根 , 则 a ?

3 ;若 4

a2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 有实根且实根是方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 的根,则由方程
2 2 2 2 1 ? 0 . ax 2 ? x ? 1 ? 0 , 得 a x ? ax ? a , 代入 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 , 有 2ax ?

由此解得 x ? ? 围是 ? ?

1 1 1 3 ? ? 1 ? 0 ,由此 a ? ,故 a 的取值范 ,再代入得 2a 4a 2a 4
????10 分

? 1 3? , . ? 4 4? ?

(3)由题意: x0 是函数的稳定点则 f ? f ? x0 ? ? ? x0 ,设 f ? x0 ? ? x0 , f ? x ? 是 R 上

第 13 页 共 14 页

的单调增函数,则 f ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ? ,所以 x0 ? f ? x0 ? ,矛盾.若 x0 ? f ? x0 ? ,
f ? x ? 是 R 上的单调增函数,则 f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ? ,所以 f ? x0 ? ? x0 ,矛盾,故

f ? x0 ? ? x0







x0













点.

????14 分

第 14 页 共 14 页


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