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数学竞赛-代数式的变形(整式与分式)


代数式的变形(整式与分式)
在化简、求值、证明恒等式(不等式) 、解方程(不等式)的过程中,常需将代数式 变形,现结合实例对代数式的基本变形,如配方、因式分解、换元、设参、拆项与 逐步合并等方法作初步介绍. 1. 配方 在实数范围内,配方的目的就是为了发现题中的隐含条件,以便利用实数的性质来 解题. 例1 (1986 年全国初中竞赛题) 设 a、 b、 c、 d 都是整

数, 且 m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和,其形式是______. 解 mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以,mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2 或(ac-bd)2+(ad+bc)2. 例 2(1984 年重庆初中竞赛题)设 x、y、z 为实数,且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2 =(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 解 将条件化简成 2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例 3(1987 年北京初二数学竞赛题)如果 a 是 x2-3x+1=0 的根,试求 的值. 解 ∵a 为 x2-3x+1=0 的根, ∴ a2-3a+1=0,,且=1. 原式 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例 4 设 a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 则 p+q+r=0. P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0 即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0 例 5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较 A、B 的大小. 解设则 . ∵2x>y ∴2x-y>0, 又 y>0,

可知 ∴A>B. 4.设参 当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比. 例 6 若求 x+y+z 的值. 解 令 则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, ∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0. 例 7 已知 a、b、c 为非负实数,且 a2+b2+c2=1, ,求 a+b+c 的值. 解 设 a+b+c=k 则 a+b=k-c,b+c=k-a,a+c=k-b. 由条件知 即 ∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc, ∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3. ∵a2+b2+c2=1, ∴k=a3+b3+c3-3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc =(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c), =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca), ∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac), ∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0, ∴k(-ab-bc-ac)=0. 若 K=0, 就是 a+b+c=0. 若-ab-bc-ac=0, 即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0, ∴(a+b+c)2=1, ∴a+b+c=± 1 综上知 a+b+c=0 或 a+b+c=± 1 5.“拆”、“并”和通分 下面重点介绍分式的变形: (1) 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质,有时要将一个分式表示为一 个整式和一个分式的代数和. 例 8(第 1 届国际数学竞赛试题)证明对于任意自然数 n,分数皆不可约., 证明 如果一个假分数可以通约,化为带分数后,它的真分数部分也必定可以通约. 而 显然不可通约,故不可通约,从而也不可通约. (2) 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的 代数和. 例 9 设 n 为正整数,求证: ①② 证明 令

通分, 比较①、②两式,得 A-B=0,且 A+B=1,即 A=B=. ∴ 令 k=1,2,…,n 得 (3)通分 通分是分式中最基本的变形,例 9 的变形就是以通分为基础的,下面再看一 个技巧性较强的例子. 例 10(1986 年冬令营赛前训练题) 已知 求证:. 证明 6.其他变形 例 11 (1985 年全国初中竞赛题)已知 x(x≠0,± 1)和 1 两个数,如果只许用加法、减 法和 1 作被除数的除法三种运算(可用括号) ,经过六步算出 x2.那么计算的表达式 是______. 解 x2=x(x+1)-x 或 x2=x(x-1)+x 例 12 ( 第 3 届 美 国 中 学 生 数 学 竞 赛 题 ) 设 a 、 b 、 c 、 d 都 是 正 整 数 , 且 a5=b4,c3=d2,c-a=19,求 d-b. 解 由质因数分解的唯一性及 a5=b4,c3=d2,可设 a=x4,c=y2,故 19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2) 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757 练习 七 1 选择题 (1) (第 34 届美国数学竞赛题)把相乘,其乘积是一个多项式,该多项式的次数 是( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 (E)8 (3) 已知则的值是( ). (A)1 (B)0 (C)-1 (D)3 (3) (第 37 届美国中学数学竞赛题)假定 x 和 y 是正数并且成反比,若 x 增加了 p%,则 y 减少了( ). (A)p% (B)% (C)% (D)% (E)% 2 填空题 (1) (x-3) 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f, 则 a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______. (2)若=_____. (3)已知 y1=2x,y2=,则 y1y1986=______ 3 若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,试求 x+z 与 y 的关系. 4(1985 年宁夏初中数学竞赛题)把写成两个因式的积,使它们的和为,求这两个式 子. 5.若 x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值. 6.已知 x,y,z 为互不相等的三个数,求证

7 已知 a2+c2=2b2,求证 8.设有多项式 f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证: 如果 f(x)的系数满足 p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方. 9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd. 练习七 1.C.C.E 2.(1)-32,210 (2) (3)2 3.略. 4. 5. 6.略, 7.略. 8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0, ∴f(x) =4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p· (m+1)x+(m+1)2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x =[2x2-px-(m+1)]2. 9.令 a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq), 展开整理得 cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0, 即(cp-bq)(dp-aq)=0. 于是 cp=bq 或 dp=aq,即 c(a+b)=b(c+a)或 d(a+b)=a(c+d). 均可得出 ac=bd.


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