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§4.1.2圆的一般方程基础知识过关检测


株洲健坤外国语学校

高二数学◆必修 2◆基础过关检测

编写:颜家其

审核:高二数学备课组

§4.1.2 圆的一般方程基础知识过关检测
姓名 评价
,

2 2 1. 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F

? 0 叫做圆的一般方程,其中圆心为

半径为

. 时表示圆.

说明: (1)方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 不一定表示圆,当且仅当 (2)当 时,方程表示一个点(-

D E ,- ). 2 2

(3)当 时,方程无实数解,不表示任何图形. 2. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组; (3)解出 a, b, r 或 D, E, F ,代入标准方程或一般方程. 3. 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置关系:

M 在圆内 ? x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F M 在圆上 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F M 在圆外 ? x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F
2 2

0; 0; 0. )

4. 圆 x2 ? y2 ? 4x ?1 ? 0 的圆心坐标及半径分别为( A. (2,0),5 B. (2,0),

5

C. (0,2),

5

D. (2,2),5 ) D. k ?

5. 如果 x2 ? y2 ? 2x ? y ? k ? 0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是( A. k ? 5 B. k ?

5 4

C. k ?

3 2

3 2


6. 方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示(2,1)为圆心,4 为半径的圆,则 D ?

,E ?

F?

. . )

7. 将一般方程 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 化为标准方程为_________ 8. 直线 y ? x ? b 平分圆 x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 8 ? 0的周长,则 b ? ( A.3 B.5 C.-3 D.-5

9. 若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 A.-2 或 2 B. 或

2 ,则 a 的值为( 2



1 2

3 2

C.2 或 0

D.-2 或 0

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能力提升
1. 以 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) 为直径端点的圆方程为 2. (1)若圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 与 x 轴相切,则
2 2 2

. ; . ; ; . )

(2)若圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 与 y 轴相切,则 3. 若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 x 轴对称,则
2 2

(1)若圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 y 轴对称,则 (2)若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 y ? x 轴对称,则
2 2

4. 若 a ?{?2,0,1, } ,方程 x2 ? y2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 表示的圆的个数为( A.0 个
2 2

3 4

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个 )

5. 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的圆与 x 轴相切于原点,则( A. D ? 0, E ? 0, F ? 0 B. D ? 0, F ? 0, E ? 0 C. E ? 0, F ? 0, D ? 0 D. F ? 0, E ? 0, F ? 0 6. 与两坐标轴都相切,且过点(2,1)的圆的方程为 . 7. 关于方程 x2 ? y2 ? 2ax ? 2ay ? 0 表示的圆,下列叙述中:

①关于直线 x ? y ? 0 对称;②其圆心在 x 轴上;③过原点;④半径为 2a . 其中叙述正确的是 (要求写出所有正确命题的序号). 8. ?ABC的三个顶点的坐标分别为 A(?2,3), B(?2,?1), C (6,?1) ,以原点为圆心的圆与三角形有唯一 的公共点,求圆的方程.

9. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且直线 y ? x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程.

10. 设方程 x2 ? y2 ? 2? m ? 3? x ? 2 1 ? 4m2 y ? 16m4 ? 9 ? 0 . (1)当且仅当 x 在什么范围内,该方程表示一个圆; (2)当 x 在以上范围内变化时,求半径最大的圆的方程; (3)求圆心的轨迹方程.

?

?

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姓名 评价
,

2 2 1. 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 叫做圆的一般方程,其中圆心为

半径为

. 时表示圆.

说明: (1)方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 不一定表示圆,当且仅当 (2)当 时,方程表示一个点(-

D E ,- ). 2 2

(3)当 时,方程无实数解,不表示任何图形. 2. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组; (3)解出 a, b, r 或 D, E, F ,代入标准方程或一般方程. 3. 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置关系:

M 在圆内 ? x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F M 在圆上 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F M 在圆外 ? x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F
2 2

0; 0; 0. )

4. 圆 x2 ? y2 ? 4x ?1 ? 0 的圆心坐标及半径分别为( A. (2,0),5 B. (2,0),

5

C. (0,2),

5

D. (2,2),5 ) D. k ?

5. 如果 x2 ? y2 ? 2x ? y ? k ? 0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是( A. k ? 5 B. k ?

5 4

C. k ?

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3 2


6. 方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示(2,1)为圆心,4 为半径的圆,则 D ?

,E ?

F?

. . )

7. 将一般方程 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 化为标准方程为_________ 8. 直线 y ? x ? b 平分圆 x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 8 ? 0的周长,则 b ? ( A.3 B.5 C.-3 D.-5

9. 若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 A.-2 或 2 B. 或

2 ,则 a 的值为( 2



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C.2 或 0

D.-2 或 0

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能力提升
1. 以 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) 为直径端点的圆方程为 ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 2. (1)若圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 与 x 轴相切,则 | b |? r ; (2)若圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 与 y 轴相切,则 | a |? r 3. 若圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 x 轴对称,则 E ? 0 ; (1)若圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 y 轴对称,则 D ? 0 ; (2)若圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于 y ? x 轴对称,则 D ? E ; 4. 若 a ?{?2,0,1, } ,方程 x2 ? y2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 表示的圆的个数为( A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

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).

2 解析:B a2 ? (2a)2 ? 4(2a2 ? a ?1) ? 0 得 ? 2 ? a ? ,满足条件的 a 只有一个, 3 2 2 2 方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 表示的圆的个数为 1. 5. 方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的圆与 x 轴相切于原点,则( ) A. D ? 0, E ? 0, F ? 0 B. D ? 0, F ? 0, E ? 0 C. E ? 0, F ? 0, D ? 0 D. F ? 0, E ? 0, F ? 0 D E 解析:圆心 (? , ? ) 在 y 轴上,?D ? 0 ,又圆经过原点,?F ? 0 2 2
6. 与两坐标轴都相切,且过点(2,1)的圆的方程为 解析: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 或 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 7. 关于方程 x2 ? y2 ? 2ax ? 2ay ? 0 表示的圆,下列叙述中: ①关于直线 x ? y ? 0 对称;②其圆心在 x 轴上;③过原点;④半径为 2a . 其中叙述正确的是 (要求写出所有正确命题的序号). 解析: ①③④ 圆心为 (?a, a) ,半径为 2 | a | ,故①③④正确 8. ?ABC的三个顶点的坐标分别为 A(?2,3), B(?2,?1), C (6,?1) , 以原点为圆心的圆与三角形有唯一 的公共点,求圆的方程. 解析:原点到三角形三边的最近距离是 1,原点到三角形三个顶点的最远距离是 37 ,
2 2 故所求圆的方程为 x2 ? y2 ? 1或 x ? y ?

37

9. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且直线 y ? x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程. 【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切,选择圆的标准方程,与弦长有关的问题,一般要利用 弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” [解析]:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上,故设圆方程为 2 2 2 (x-3b) +(y-b) =9b . 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 , 则有(

| 3b ? b | 2

) +( 7 ) =9b ,

2

2

2

解得 b=±1.故所求圆方程为 2 2 2 2 (x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9. 【名师指引】在求圆的方程时,应当注意以下几点: (1)确定用圆的标准方程还是一般方程; (2)运用圆的几何性质(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a、b、r 或 D、E、F; (3)在待定系数法的应用上,列式要尽量减少未知量的个数.
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10. 设方程 x2 ? y2 ? 2? m ? 3? x ? 2 1 ? 4m2 y ? 16m4 ? 9 ? 0 . (1)当且仅当 x 在什么范围内,该方程表示一个圆; (2)当 x 在以上范围内变化时,求半径最大的圆的方程; (3)求圆心的轨迹方程.
2 2 解析:(1)由 D ? E ? 4 F ? 0 得: 4(m ? 3)2 ? 4(1? 4m2 )2 ? 4(16m4 ? 9) ? 0 , 2 化简得: 7m ? 6m ? 1 ? 0 ,解得: ?

?

?

1 ? m ?1。 7

所以当 ?

1 ? m ? 1 时,该方程表示一个圆。 7 4 7 3 D2 ? E 2 ? 4 F 2 (2)r= ? = ?7m ? 6m ? 1 ,当 m ? 时, rmax ? 7 7 2 ?x ? m ? 3 (3)设圆心 C ( x, y ) ,则 ? ,消去 m 得 y ? 4( x ? 3)2 ?1 2 ? y ? 4m ? 1 1 20 ? ? ? m ?1? ? x ? 4 7 7 1 20 ? 所求的轨迹方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1) ( ? x ? 4) 4 7

【名师指引】 (1)已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件; (2)第 3 问求圆心的轨迹方程,使用了参数法,即把 x,y 都表示成 m 的函数,消去参数可得到方程,用此法要注 意变量 x,y 的范围

5


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