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1 斜率(高考综合)


“斜率”的物理意义与解题应用 物理与数学的关系极为密切,物理状态、物理过程及物理量之间的关系可以用图像来表示,这是 研究、处理物理问题和学好物理的重要方法和手段。尤其是图象中的斜率问题,斜率问题有两种类 型:图象的斜率表示某一物理量的变化率,图象的斜率表示某一物理常量。 一、“斜率”表示某一物理量的变化率 1“斜率”表示的物理量随时间的变化率 位移-时间图表中的斜率
<

br />?s 表示速度;速度—时间图象中斜率表示加速度;动量—时间图像中斜 ?t

率表示合外力;磁通量—时间图象中斜率表示感应电动势等等。 例 1 如图 1 为某一运动物体的速度—时间图象,其初速度为,末速度 为,加速度为 a ,则下列说法正确的是() A 物体做曲线运动 B v ?
_ _

v vt v0 0 s2 1 2 s1 t1 t

v 0 ? vt , a 逐渐减小 2

_ v ? vt v ? vt Cv ? 0 , a 逐渐增大 D v ? 0 , a 逐渐减小 2 2

图1 解析⑴因在“速度——时间”图象上,只能表示出在同一直线上的“正”、“负”两个方向,所 以在“速度——时间”图象只能描述物体做直线运动的情况; ⑵如果物体做匀变速运动,表示运动物体速度的直线与时间轴的夹角的正切表示物体的加速度。 据此我们可以外延一下:如果物体不做匀变速运动,表示物体的运动的图线的图线为一曲线,曲线 上每一点的切线与时间轴的夹角为该点的瞬时加速度,由图象上可以看出,图象上每点切线与时间 t 轴的夹角θ的正切,即每点的斜率逐渐的减小,所以物体做加速度逐渐的减小运动; ⑶用直线连接表示物体 A 速度的曲线 1 的两个端点,连接的直线 2 表示物体做匀加速直线运动, 则由所学知识知道,连线 2 下面的阴影部分的“面积”s1 为匀加速运动的位移,而表示物体 A 速度

的曲线 1 下方的“面积”s1+s2 则表示物体 A 的位移,因

s1 vt ? v0 s1 ? s 2 s1 , ? ? ,故答案选 B。 t1 2 t1 t1

例 2 甲、乙两物体分别在恒力 F1、F2 的作用下,沿同一直线运动,它们的动量随时间的关系如图 2 所示,设甲在 t1 时间内所受冲量为 I1,乙在 t2 时间内所受的冲量为 I2,则 F、I 的大小关系是() A F1>F2 I1=I2 B F1<F2 I1<I2 C F1>F2 I1>I2 D F1=F2 I1=I2 解析由动量定理 F ?t ? ?P 得 F ? ?P / ?t ,所以在 P-t 图象中, P

?P 等于合力 F,因θ>β, ?t 所以 tanθ>tanβ,即 F1>F2;从图象可以看出, ?P 乙 ,动量变 甲 ? ?P
表示动量的图线与时间轴夹角的正切,即 化量大小相等,由动量定理? P=I 得冲量 I1=I2,故答案选 A。 例 3 单匝矩行线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴垂直线圈中() ⑴0 时刻感应电动势最大 ⑵0.05s 时感应电动势为零 ⑶0.05s 时感应电动势最大 ⑷0.05s 时最大时间内平均感应电动势为 0.4V A⑴⑵B⑴⑶C⑴⑶⑷D⑴⑵⑷

甲 O Φ 2 1 O 0.05 图3 β θ

乙 t1 t2 t

图2

0.1 t

解析由法拉第电磁感应定律 E ?

?? ,在 ? -t 图象表示磁通量 ? 的 ?t

图线上每点的切线的斜率等于, 0 时刻和 0.1s 时斜率绝对值电动势值最大,0.05s 时刻斜率为零,故应选 D。 2“斜率”表示的物理量随空间的变化率 例4如图 4 所示,有一垂直纸面向里的非匀强磁场,其感应强度沿 y 方向 不变,而沿 x 方向均匀减小,减小率为 0.05T m ,一个边长为 10cm 长方形铝框,总电阻 0.25 Ω,铝框平面与磁场方向垂直。在外力作用下,以 20m/s 的速度沿 X 正方向做匀速直线运动,求铝 框中感应电流大小。 解析题意中“减小率为 0.05T/m”是指磁感应强度 B 沿+X 方向的变化率,即 (

?B ) ? 0.05 T/m。设 ?X
y

某时刻线框左、右两边所处的磁感应强度分别为 B1、B2,则该时刻两边产生的电动势分别为 E1=B1Lv,E2=B2Lv 合电动势办 E=E1-E2=(B1-B2)Lv= ?BLv,?B 为沿 X 方向上距 L

?B ) L ? 0.05 ? 0.1 ? 0.005 (T ) 。 ?t E 0.005 ? 0.1 ? 20 ? ? 0.04( A) 。 所以,铝框中感应电流大小为 I ? R 0.25
的两点磁感应强度的变化量,大小为 ?B ? (

二、“斜率”表示某一物理常量 O 1 利用“U—I 图象斜率分析电阻值 R 例5一白炽灯泡“220V,60W”,加上电压由零祝渐变到 220V。在此过程中电压 U 和电流 I 的关系 可用图象表示,图5中的四个图象中,肯定不符合实验事实的是()
U U U U



C U 解析 U-I 图象中任一点(I,U)的斜率 就是该状态下的电阻值。电流越大 ,温度越高,电阻率越大, 图5 I

O

A

I

O

B

I

O

I

O

D

I

因此电阻值越大,斜率也应越大。A 中斜率不变,C 中斜率减小,D 中斜率先变大后减小,均不符合实验 事实,答案应为 B. 2 2 2 2 利用“T —L”图象斜率求重力加速度 g T /s 某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,测出了 2 4 在不同摆长 L 时的周期 T,并以 T 为纵坐标,以 L 为横坐标,描 点连线画出如图 6 所示的图象,试由图线求重力加速度值。 解析由单摆周期公式 T ? 2 ? 在 T —L 图象中,斜率值等于
2 2

4? 2 L 2 得T ? L,所以 g g 4 ? 0.04 4? 2 4? 2 ,即 ,解 ? g 1 g
U U

0.04 O

图6

得 g=9.96m/s 。 3 利用“U-I”图象斜率求电源内电阻 r 由闭合电路欧姆定律 E=U+Ir 得外电压 U 随电流 I 的变化关系
O 图7 I O 图8 I

U=-Ir+E,如图 7,当断路时, 路端电 E 压等于电源电动势 E;当短路时, I m ?

E ,则图线斜率 k=tan ? ? r ,所以图线斜率的 r

绝对值等于电源的内电阻 r。 练习在”测定电池的电动势和内电阻”实验中,测出数据做出电池 A、B 的 U-I 图象, 如图 8 所示,从图中可以看出,电池 A 内电阻 rA=______Ω,电池 B 的电动势 EB=_______V,若将 某电阻器分别接在电池 A 和电池 B 的两极之间时,电阻器消耗的电动势相等,则此电阻器的阻值为 ____Ω。(答案:1.25Ω;1.5V;1.25Ω) 4 利用“a—F”图象斜率求物体质量 m F 例 6 如图 9 所示,两物体 A、B 都静止在同一水平 面上,它们的质量分别 mA、mB,与水平面间的动摩擦因数分别为 ? A 、 ? B 。现用平行于水平面拉 图9a 力 F 拉 A、B, 所得两物体加速度 a 与 F 关系图象分别如图 10 所示,则正确的是() A ⑴ m A ? mB ⑵ m A ? mB ⑶ ? A ? ? B ⑷ ? A ? ? B O A⑴⑵B⑴⑷C⑴⑶D⑵⑶

1 F ? ?g ,所以图象斜率表示质量的倒数, m m A ? mB 。图线在纵轴上的截距表示 ? ? g ,所以 ? A ? ? B ,故应选 C。
解析由牛顿第二定律得 F ? ?mg ? ma,即 a ? 5“EK—υ”图象斜率表示普朗克常数 h
EK W Zn EK W Zn EK W Zn EK W Zn



0

A

?

0

B

?
图 11

0

C

?

0

D

?

例 9 用不同频率的光子分别照射钨和锌,发生光电效应,跟据实验可画出电子的最大初动能随入 射光频率υ变化的图线,已知钨的逸出功是 3.28eV,锌的逸出功是 3.34eV,若将二者的图线画在同 一个坐标系中,则正确的是图 11 中的( ) 解析由爱因斯坦的光电效应方程 E K ? h? ? W0 知, E K — ? 图象中图线的斜率表示普朗克常数 h,因 h 大小恒定,因此 E K — ? 图象中的图线应相互平行。图线在纵轴上的截距大小表示金属的逸 出功 W0 ,所以答案 A 正确。 另外,关于利用图象斜率求物理量的问题还有很多,如利用 F—x 图象斜率求弹簧的劲度系 k;利 用 F—q 图象斜率求某点场强 E;利用 Q—U 图象斜率求电容器的电容量;利用斜率求介质的折射率 n 等等,这里不一一再述。 总之,图象的斜率是分析、处理物理问题的一种重要工具。利用它可使复杂的物理问题简单化、 清晰化,使解题起到事半功倍的效果。要学好物理,就应正确理解斜率在物理问题中的含义并掌握

其应用。 研究物理问题的图象方法 -- - 斜 率 问 题 总 结 命题趋势 高考物理科《考试说明》中规定了五种创新能力,其中应用数学知识处理物理问题的能力,其中 物理图象是每年高考必考内容之一。看懂图象,挖掘图象中的信息,理解物理现象和过程,寻找内 在的物理规律,建立各物理量之间的关系,应用物理图象分析解决问题十分重要。这中间应用数学 中的斜率可以说是重中之重的问题了。在数学中,图线的斜率表示函数的变化率,反映在物理上表 示一个物理量对另一个物理量的变化率,因而图线的斜率常用来表示一个重要的物理量。 斜率越大,所对应的物理量的绝对值也越大,若斜率所表示的物理量是矢量,斜率的正负反映的 是物理量与坐标轴的正方向是相同或相反,而不表示大小。 下面笔者就把高中物理中涉及到的斜率问题以及近年来高考中与斜率相关的问题予以总结,发表 自己的一孔之见,希对读者有一抛砖引玉的作用,更望同行指正。 教学目标: 1.通过专题复习,掌握物理图象问题的分析方法和思维过程,提高解决学科内综合问题的能力。 2.能够从实际问题中获取并处理信息,把实际问题转化成物理问题,提高分析解决实际问题的能 力。 教学重点: 掌握利用斜率的分析方法和思维过程,提高解决学科内综合问题的能力。 教学难点: 从实际问题中获取并处理信息,把实际问题转化成物理问题,提高解决实际问题的能力。 教学方法:练讲练结合 教学流程:问题激趣-----分析总结-----典例分析------反馈练习------总结反思 教学过程: 一、知识概要 在物理学中,两个物理量间的函数关系,不仅可以用公式表示,而且还可以用图象表示。物理图 象是数与形相结合的产物,是具体与抽象相结合的体现,它能够直观、形象、简洁的展现两个物理 量之间的关系,清晰的表达物理过程,正确地反映实验规律。因此,利用图象分析物理问题的方法 有着广泛的应用。是一种重要的解题方法。 1.运用图象的能力要求归纳起来,主要包含以下四点: (1)熟读图:即从给出的图象中读出有用的信息来补足题中的条件解题; (2)会用图:利用特定的图象如υ-t 图、U-I 图 P-V 图等来方便、快捷地解题;根据题意把抽象 的物理过程用图线表示出来,将物理间的代数关系转化为几何关系、运用图象直观、简明的特点, 分析解决物理问题. (3)能作图:首先和解常规题一样,仔细分析物理现象,弄清物理过程,求解有关物理量或分析 其与相关物理量间的变化关系,然后正确无误地作出图象.在描绘图象时,要注意物理量的单位,坐 标轴标度的适当选择及函数图象的特征等. (4)转换图:读懂已知图象表示的物理规律或物理过程,然后再根据所求图象与已知图象的联 系,进行图象间的变换. 2.高中物理图像的种类: 学习力学时做受力图、弹簧的长度—弹力的图象,学习运动时匀速直线运动 x–t 图、V–t 图、匀 变速直线运动 V –t 图、简谐运动的位移 x–t 时间图象、横波的图象,学电学时有 U-I 伏安特性曲 线、U-t 图象,学电磁感应有 I- t 图,正弦交变电流的图象;情景图;

3.应用图象解题应注意以下几点: (1)运用图象首先必须搞清楚纵轴和横轴所代表的物理量,明确要描述的是哪两个物理量之间的 关系。如辨析简谐运动和简谐波的图象,就是根据坐标轴所表示的物理量不同。 (2)图线并不表示物体实际运动的轨迹。如匀速直线运动的 s-t 图是一条斜向上的直线,但实际 运动的轨迹可能是水平的,并不是向上爬坡。 (3)要从物理意义上去认识图象。由图象的形状应能看出物理过程的特征,特别要关注截距、斜 率、图线所围面积、两图线交点等。很多情况下,写出物理量的解析式与图象对照,有助于理解图 象物理意义。 二、问题激趣 例、如图示,两个光滑斜面的总长度相等、高度也相等,两小球分别由静 止从顶端下滑,若小球在图中转折点无能量损耗,则 ( B ) A. 两球同时落地 B. b 球先落地 C. a 球先落地 D.无法确定 解:若用公式求解此题很繁琐,应用 v-t 图分析较简单。b 球下滑的加速度 开始大于 a 球,后来的加速度小于 a 球. 因为下落高度相等,所以最终速度相等;因为路程相等, 故图线所围的面积 难看出, tb < ta 相等。v-t 图线如图示:不 a
b

vt

v

b a

t

0
应用 01 :斜率表示动摩擦因数μ,μ=f/N (如图 1)μ1<μ2

tb ta

例 01 、 若 干 质 量 不 等 的 木 块 以 一 定 的 水 平 速 度 滑 过 一 木 制 水 平 地 板 后 , 再 滑 过 一 段 水平玻璃地面,则下图能正确反映不同木块受到的摩擦力 f 与压力 N 之间的关系的是 ( )

解 析 : 由 图 1 可 知 , μ = f/N , 再 由 题 意 得 木 ― ― 木 间 的 动 摩 擦 因 数 应 该 大 于 木 ― ― 玻 璃 间 的 动 摩 擦 因 数 , 联 系 斜 率 , 正 确 答 案 是 C。 应 用 02 : 在 位 移 — 时 间 图 象 中 , 斜 率 表 示 物 体 速 度 , V=S / t ( 如 图 2 ) , V 1 >V 2 。 例 02 、 某 人 沿 平 直 公 路 匀 速 向 前 走 了 一 段 路 后 , 停 了 一 会 儿 , 然 后 沿 原 路 匀 速 返 回 到 出 发 点 , 下 图 中 能 反 映 此 运 动 情 况 的 S— t 图 象 应 该 是 ( )

解析:两段都是匀速直线运动,时间不能倒流,故应该选 D 应 用 03 : 速 度 — 时 间 图 象 中 , 斜 率 表 示 物 体 的 加 速 度 , a = Δ V/ Δ t ( 如 右 图 3) , a 1 >a 2 。 例 3 、 两 支 完 全 相 同 的 光 滑 的 直 角 弯 管 ab c 和 a ’ b ’ c ’ , 按 图 所 示位置放置,现把两个质量完全相同的小球分别沿两管口由静止滑 下 , 设 在 直 角 弯 管 处 均 无 能 量 损 失 。 两 球 到 达 出 口 c 和 c’ 的 时 间 分 别 为 t 和 t’ , 则 ( ) A 、 t>t ’ B 、 t>t ’ C 、 t=t ’ D、 条 件 不 足 , 无 法 确 定 。

解 析 : 由 于 在 直 角 弯 管 处 均 无 能 量 损 失 , 故 两 小 球 到 达 最 低 点 c 和 c’ 处 的 速 度 大 小 是 相 等 的 , 注 意 到 小 球 在 ab 段 的 加 速 度 大 于 在 a ’ b ’ 段 的 加 速 度 , ab 段 的 加 速 度 同 b ’ c ’ 段 的 加 速 度 相 同 , a ’ b ’ 段 的 加 速 度 同 bc 段 相 同 , 作 出 两 小 球 运 动 的 速 率 --- 时 间 图 象 , 由 于 整 个 过 程 中 通 过 的 总 路 程 是 相 等 的 , 故 两 条 折 线 与 时 间 轴 所 围 的 面 积 应 相 等 , 从 图 中 很 快 就 能 看 出 t<t ’ , 所 以 应 选 C 。 应 用 04 : 在 验 证 牛 顿 第 二 定 律 的 实 验 中 , a ? 1 / M 的 图 象 ( 如 图 4) 中 斜 率 表 示 合 外 力 F (即 砂 桶 及 沙 的 总 重 力 ), 有 F 1 ? F2 . 例 4、 “ 验 证 牛 顿 第 二 定 律 ” 的 实 验 中 , 在 研 究 小 车 的 加 速 度 a 和 小 车 的 质 量 M 的 关 系 时 , 由 于 没 有 始 终 满 足 M >>m(m 为 砂 和 砂 桶 的 总 质 量 ) 的条件,结果得到的图象应是下图中的哪一个( )?

解 析 : 在 本 实 验 中 , 加 速 度 a ? F / ? M? m ?, 当 研 究 加 速 度 和 质 量 的 关 系 时 , 保 持 m 不 变 ( 即 力 不 变 ) , 由 上 式 可 知 加 速 度 a 与 系 统 的 总 质 量 (M+m) 成 反 比 。 而 在 实 验 中 是 用 mg 来 代 替 力 F 的 ( 即 有 F ? m g) , 我 们 让 F 作 用 于 M , 于 是 就 有 了 当 M>>m 时 , F ≈ mg 的 近 似 条 件 了 。 当 不 满 足 此 条 件 ( 即 M 偏 小 ) 时 , 如 上 题 中 斜 率 F ? a/ ? 1 / M? 变 小 , 很 直 观 地 看 出 D 是正确的。 应 用 05 : 简 谐 振 动 的 图 象 中 斜 率 代 表 振 动 质 点 的 速度,应用图象能很直观地分析出振动质点的速度 变化情况。 例 5、 如 图 为 一 质 点 的 振 动 图 象 , 在 图 上 有 M、 N、 G、 H 四 点 , 则 质 点 速 度 方 向 为 正 的 是 _ _ _ _ _ , 质 点 速 度 继 续 增 大 的 点 是 _ _ _ 。 ( 图 5) 解 析 : 想 象 图 中 四 点 的 切 线 形 式 , 与 时 间 轴 夹 角 小 球 90 的 速 度 方 向 即 为 正 值 , 所 以答案为 图 M, 5 G ; 速 度 继 续 增 大 的 点 是 N, H, 因 为 随 着 时 间 的 延 续 , 此 两 点 的 斜 率 在增大。 应 用 06 : 针 对 电 场 强 度 公 式 E=F / q , 做 出 F ? q 图 象 , 斜率表示 E 值,斜率越大,E 值越大。 例 6: 如 图 , 是 电 场 中 某 点 的 电 场 强 度 E 与 放 在 该 点 处 的 检 验 电 荷 q 及 所 受 的 电 场 力 F 之间的函数关系图象,期中正确的是( )
0

解 析 : 由 公 式 E=F/ q 知 , 电 场 强 度 E 与 检 验 电 荷 q 无 关 , 所 以 选 AD 。 应 用 07 : 针 对 电 容 公 式 C=Q / U , 做 出 Q ? U 图 象 ( 图 9) , 斜 率 表 示 电 容 值 , 斜 率 越 大 , 电 容 越 大.

(图 9)

例 9 、 有 一 电 容 器 , 带 电 量 增 加 2 ?10 C 时 , 两 极 间 的 电 势 差 增 加 了 2 00V , 则 这个电容器的电容值是多少皮法? 解析:乍看起来,有些同学觉得此题费解,因为电容器的电容等于极板所带电量 与两极间电势差的比值,而题设条件中既没有告知极板的带电量,也没有给出极板 间的电势差,只告诉了两者的增量,如何求电容呢?因此,有的学生束手无策,有
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的 学 生 索 性 把 题 中 的 两 个 量 当 作 Q 和 U 直 接 代 入 C = Q/U 公 式 中 , 这 样 计 算 的 结 果 虽 然正确,但在理解上是有偏差的。 其实,由图象可看出,同一电容器的电容是定值,图中直线的斜率就等于电容器 的 电 容 。 由 此 可 得 C = Δ Q/ Δ U = 100 皮 法 。 应 用 08 : 导 体 的 伏 安 特 性 曲 线 ( 即 U — I 图 线 ) 中 的 斜 率 表 示 导 体 的 电 阻 , 斜 率 越 大,电阻越大。 例 10 、 (93 年 全 国 ) 一 个 标 有 “ 220V , 60W ” 的 白 炽 灯 泡 , 加 上 的 电 压 U 从 0 开 始 逐 渐 增 大 到 220V 的 过 程 中 , 电 压 U 和 电 流 I 的 关 系 可 用 图 线 表 示 , 下 图 所 示 的 四 个 图线中,肯定不符合实际的是( )

解 析 : 此 题 把 电 阻 定 律 R= ρ L/S 和 部 分 电 路 欧 姆 定 律 I=U/R( 或 R=U/I) 结 合 起 来 , 联 系 实 际 问 题 而 设 计 的 新 题 型 。 白 炽 灯 泡 两 端 电 压 由 0 逐 渐 增 大 到 220V 的 过 程 中 , 由于电流热效应的作用,灯丝升温,电阻率ρ增大,导致电阻增大,实际生活中的 现 象 是 白 炽 灯 泡 由 白 亮 渐 渐 变 为 暗 红 亮 , 因 此 据 斜 率 知 识 可 得 A、 C、 D 均 不 符 合 实 际 (而 B 中 曲 线 的 斜 率 是 增 大 的 , 即 电 阻 增 大 )。 应 用 09 : 电 源 的 伏 安 特 性 曲 线 ( 如 图 1 0) , 图 线 反 映 的 是 某 一 电 源 工 作时路端电压 U 随电流 I 的变 化关系,在 U 轴上的截距等于电源的电 动 势 ε , 它 在 I 轴 上 的 截 距 等 于 电 源 短 路 时 的 电 流 强 度 I0, 它 的 斜 率 的 绝 对 值 等 于 电 源 的 内 电 阻 , 此 直 线 (实 线 )上 任 何 一 点 与 原 点 O 的 连 线 (虚 线 )的 斜 率 表 示 该 状 态 时 的 外 电 路 的 电 阻 。 例 11 、 如 图 , 直 线 a 为 某 电 路 上 电 源 的 路 端 电 压 与 电 流 的 U- -- I 曲 线 , 直 线 b 为 电 阻 R 的 U— I 曲 线 , 用 此 电 源 和 电 阻 构 成 闭 合 电 路 后 , 电 源 输 出 功 率 为 _ _____W , 电 源 内 电 阻 为 ____ Ω 。 解 析 : 由 a 图 线 有 ε = 3V , I 0 =6A , 因 此 得 内 阻 r=0.5 Ω 。 由 b 图 线 有 R=1 Ω , 所 以 得 输 出 功 率 P=4W 。 应 用 10 : 电 磁 感 应 现 象 中 B — t 图 象 或 φ -- -- t 图 象 中 的 斜 率 表 示 磁 感 应 强 度 B 随 时 间 的 变 化 率 Δ B/ Δ t 或 磁 通 量 φ 随 时 间 的 变 化 率 Δ φ / Δ t 。 例 12 、 如 图 , 竖 直 放 置 的 螺 线 管 与 导 线 abc d 构 成 闭 合 回 路 , 导 线 所 围 区 域 里 有 一向里的变化的磁场,螺线管的正下方水平桌面上有一导体圆环,导线 abcd 所 围 区 域 里 磁 场 的 磁 感 应 强 度 B 按 下 面 哪 个 图 线 所 表 示 的 方 向 随 时间变化时,导体圆环将受到向上的磁场力?

解析:本题依据图象定性地判断螺线管中感应电流的变化情况,并进一步明确圆 环的运动情况,据楞次定律和图象可知:A 图中表示磁感应强度随时间越来越大,但 由 于 图 线 的 斜 率 K= Δ B / Δ t 越 来 越 小 , 所 以 abcd 回 路 中 的 Δ φ / Δ t 越 来 越 小 , 由 法 拉第电磁感应定律知,回路中的感应电流是越来越小的,当螺线管中感应电流不断 减小时,穿过圆环的磁通量也越来越小,,再由楞次定律得,环中的感应电流方向 是与螺线管中的相同,二者相互吸引,故 A 是正确的。B 图中曲线的斜率越来越大, 圆环所表现出来的受力情况与 A 图相反。C 图和 D 图中的磁感应强度都随时间均匀变 化,所以螺线管中的感应电流是不变化的,因此环中无感应电流,此时二者也无相 互 作 用 , 故 B、 C、 D 均 不 符 合 要 求 。 综合上述应用举例可知,物理图象是一种特殊且形象的数学语言和工具,运用数 的形的巧妙结合能恰当地表达各种现象的物理过程和规律。物理图象不仅可以使抽 象的概念直观形象,动态变化过程清晰,物理量之间的函数关系明确,还可以恰当 地表示用语言难以表达的内涵。用图象法解物理题不但迅速、直观,还可以避免复 杂的运算过程。相信有了这样的综述,您再遇到与斜率相关的问题应该不攻自破 了。 牛刀小试: 1、如图 1 所示,是在一个电场中的 a、b、c、d 四个点分别引入检验电荷时, 电荷所受的电场力 F 与引入的电荷电量之间的函数关系图象,下列说法正确的是 ( ) A、这个电场是匀强电场 B、a、b、c、d 四点的电场强度的大小关系是 Ed>Eb>Ea>Ec C、a、b、c、d 四点的电场强度的大小关系是 Eb>Ea>Ec>Ed D、无法比较 E 值的大小 2、物体 A、B、C 均静止在同一水平面上,它们的质量分别为 mA、mB、mC,与 水平面的动摩擦因数分别为 ? A、? B、? C、,用平行于水平面的拉力 F 分别拉 物体 A、B、C,所得的加速度 a 与拉力 F 的关系图线如图 1 所示,A、B 两条直线 平行,试比较 A、B、C 三个物体的质量大小。

3、如图甲所示,光滑且足够长的平行金属导轨,MN、PQ 固定在同一水平面上,两金属导轨间距 L=0.2m,电阻 R=0.4Ω,导轨上停放一质量 m=0.1kg、电阻 r=0.1Ω的金属杆,导轨电阻忽略不计, 整个装置处于磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下,现用一外力 F 沿水平方向拉 杆,使之由静止开始运动,若理想电压表的示数 U 随时间 t 变化的关系如图乙所示,试分析说明金 属杆的运动情况。

答案:1、B

2、mA=mB<、mC

3、向右匀加速直线运动

有关 U-I 图象中斜率的物理意义的讨论 利用物理图象解决物理问题,可以使问题更加直观、形象。在高中物理课程的稳恒电流部分,教 材常利用 U-I 图象来讨论问题。图象中的斜率、截距等都表示一定的物理意义,我们可以利用这些 参数解决物理问题。但在教学过程中发现有些老师对 U-I 图象中斜率的物理意义存在一些误解,在 此本人就 U-I 图象中斜率所表示的物理意义概括总结如下: 1、斜率表示定值电阻器的电阻 如图 1 所示的电路中改变滑动变阻器 R2 的电阻,测出定值电阻 R1 两端的电压 U 和流过它的电流 I,并作出其 I-U 图象,如图 2 所示。此时图像的斜率表示定值电阻器的电阻。 分析:根据欧姆定律写出自变量 I 和函数 U 的关系为:U=R〃I,其中 R 表示定值电阻 R1 的阻值。 因为 R1 是定值电阻,不随电流变化,所以 U 与 I 成正比,由数学知识可知,其斜率等于电阻 R,即 k =tgα=ΔU/ΔI=R。

2、斜率表示定值电阻器的电阻的倒数 如图 1 所示的电路中改变滑动变阻器 R2 的电阻,测出定值电阻 R1 两端的电压 U 和流过它的电流 I,并作出其 U-I 图象,如图 3 所示。此时图像的斜率表示定值电阻的倒数。 分析:根据欧姆定律写出自变量 U 和函数 I 的关系为:I=U/R,其中 R 表示定值电阻 R1 的阻值。因 为 1/R 是恒量,不随电压变化,所以 I 与 U 成正比,由数学知识可知,其斜率等于电阻的倒数 1/R, 即 k=tgα=ΔI/ΔU=1/R。 3、斜率表示电源的内阻 如图 4 所示的电路中改变滑动变阻器 R 的电阻,同时测出其两端的电压 U 和流过它的电流 I,并作 出其 I-U 图象,如图 5 所示。虽然和第一种情况一样,反映的是电阻 R 两端的电压和电流的关系, 但是此时图像的斜率表示电源内阻,而不表示滑动变阻器 R 的电阻。 分析:如果根据欧姆定律写出自变量 I 和函数 U 的关系为:U=R〃I,其中 R 表示滑动变阻器 R 的 阻值。因为 R 是变化的,所以不能简单地说 U 与 I 成正比,由数学 知识可知,函数 U=f(R,I)是包含两个自变量的,其斜率也就不能 简单的认为等于 R,即 k=tgα=ΔU/ΔI≠R。那么其斜率表示什么物 理意义呢?从另一个角度再看图 4,可以发现测量的电压就是路端 电压,测量的电流就是流过电源的电流,那么根据闭合电路的欧姆 定律可写出只有一个自变量的函数:U=E-r〃I,E 表示电源的电动 图4 图5 势,r 表示电源的内阻。由于电源的电动势 E 和内阻 r 不随电流变

化,因此本函数 U=f(I)只有一个自变量,由数学知识可知,其斜率等于负的电源内阻,即 k=tgα= ΔU/ΔI=-r,那么斜率的绝对值也就是电源的内阻。 4、斜率表示非线性电阻器的动态电阻 x 如图 6 所示的电路中改变滑动变阻器 R2 的电阻,测出灯泡 R1 两端的电压 U 和流过它的电流 I,并 作出其 I-U 图象,如图 7 所示。由于考虑灯泡电阻随温度的变化,图象不再是直线。此时图像的斜 率表示灯泡的动态电阻。
o

2

分析:根据欧姆定律写出自变量 I 和函数 U 的关系为:U=R〃I,其中 R 表示灯泡 R1 的阻值。因为 电流 I 增大时,灯丝的温度升高,电阻率变大,电阻 R 也就增大,所以不能简单地认为 U 与 I 成正 比,由数学知识可知,函数 U=f(R,I)是包含两个自变量的,其斜率也就不能简单的认为等于 R, 即 k=tgα=ΔU/ΔI≠R。那么其斜率表示什么物理意义呢?如图 8 所示,过 P 点的切线斜率 k1=ΔU/ ΔI=tanα,在电子技术中它表示 P 点对应的动态电阻(或交流电阻),而我们中学阶段所理解的电 阻(又称直流电阻或静态电阻)等于 P 点对应的直流电压 UP 和电流 IP 的比值,如图 9 所示,也等于 过坐标原点和 P 点直线的斜率,即 R=UP/IP=tgβ=k2,因为α≠β,所以 k1≠k2,即直流电阻不等于 交流电阻,也就不能把这两种电阻混淆,在这点上,我们很多老师常会误解。 我们平常用多用电表测量的电阻就是直流电阻,那么交流电阻的物理意义又是什么呢?下面针对 非线性电阻元件—二极管谈一谈交流电阻的物理意义。二极管的 I-U 图象如图 10 所示,有一种稳压 二极管,它工作在反向电压 AB 区,动态电阻是它的一个重要参数,其含义是指稳压管电压变化和相 应电流变化之比,即 R 动=ΔU/ΔI,如果 R 动很小,则电流变化很大时,电压变化却很小,稳压效果 就很好,从而动态电阻的大小反映了稳压效果的好坏,这就是动态电阻在稳压管中的物理意义。动 态电阻的物理意义在不同的地方有不同的理解,这里就不再一一赘述。 图象的斜率在高中物理教学中的应用 ( 刘峰 湖北省随州市曾都区第二高级中学 441300 ) 在高中物理教学中,图象法是一种重要的解题方法,它具有直观、简捷、明了,方法新颖、独特 等优点,它是研究、学好物理知识和解决问题的重要方法和手段。而图象中斜率的应用更为突出, 斜率的应用更是对跨学科综合能力的培养是大有裨益的,是数学处理物理问题的能力的体现。在数 学中,图象的斜率表示函数的变化率,反映在物理上表示一个物理量对另一个物理量的变化率,因 而图象的斜率常用来表示一个重要的物理量。一般来说,斜率越大,所对应的物理量的值也越大, 若斜率所表示的物理量是矢量,斜率的正负反映的是物理量与坐标轴的正方向是相同或相反,而不 表示大小。斜率在力学、电磁学和光学中有广泛的应用。现对斜率的应用总结以下几点。 1 、 在 匀 速 直 线 运 动 的 位 移 — 时 间 图 象 中 , 斜 率 表 示 物 体 速 度 , v ? x /t ( 如 图 1 ) V1< V2 例 1 某人沿平直公路匀速向前走了一段路后,停了一会儿,然后沿原路 匀 速 返 回 到 出 发 点 , 下 图 2 中 能 反 映 此 运 动 情 况 的 S— t 图 象 应 该 是 ( )

图1

图 2

解析:两段都是匀速直线运动,时间不能倒流,故应该选 D 2 、在匀变速直线运动的速度—时间图象中,斜率表示物体的加速 度 , a = Δ V/ Δ t ( 如 图 3) , a 1 < a 2 。 例 2、 两 支 完 全 相 同 的 光 滑 的 直 角 弯 管 abc 和 a’ b’ c’ , 按 图 所 示位置放置,现把两个质量完全相同的小球分别沿两管口由静止滑 下 , 设 在 直 角 弯 管 处 均 无 能 量 损 失 。 两 球 到 达 出 口 c 和 c’ 的 时 间 分 别 为 t 和 t’ , 则 ( ) A 、 t>t ’ B、 t< t’ C 、 t= t ’ D、 条 件 不 足 , 无 法 确 定 。

解析:由于在直角弯管处均无能量损失,故两小球到达最低点 c 和 c ’ 处 的 速 度 大 小 是 相 等 的 , 注 意 到 小 球 在 ab 段 的 加 速 度 大 于 在 a ’ b ’ 段 的 加 速 度 , ab 段 的 加 速 度 同 b ’ c ’ 段 的 加 速 度 相 同 , a ’ b ’ 段 的 加 速 度 同 bc 段 相 同 , 作 出 两 小 球 运 动 的 速 度 --- 时 间 图 象 , 由 于 整 个 过 程 中 通 过 的 总 路 程 是 相 等 的 ,故 两 条 折 线 与 时 间 轴 所 围 的 面 积 应 相 等 , 从 图 中 很 快 就 能 看 出 t<t ’ , 所 以 应 选 B 。 3 、 在 验 证 牛 顿 第 二 定 律 的 实 验 中 , a---1/M 的 图 象 ( 如 图 4) 中 斜 率 表 示 合 外 力 F ( 即 砂 桶 及 沙 的 总 重 力 ) , 有 F 1 >F 2 。 例 3、 “ 验 证 牛 顿 第 二 定 律 ” 的 实 验 中 , 在 研 究 小 车 的 加 速 度 a 和 小 车 的 质 量 M 的 关 系 时 , 由 于 没 有 始 终 满 足 M>>m(m 为 砂 和 砂 桶 的 总 质 量 )的 条 件 , 结 果 得 到 的 图 象 应 是 下 图 中 的 哪 一 个 ( )?

解 析 : 在 本 实 验 中 , 加 速 度 a=F/(M+m) , 当 研 究 加 速 度 和 质 量 的 关 系 时 , 保 持 m 不 变 ( 即 力 不 变 ) , 由 上 式 可 知 加 速 度 a 与 系 统 的 总 质 量 (M+m) 成 反 比 。 而 在 实 验 中 是 用 mg 来 代 替 力 F 的 ( 即 有 F=mg) , 我 们 让 F 作 用 于 M , 于 是 就 有 了 当 M>>m 时 , F ≈ m g 的 近 似 条 件 了 。 当 不 满 足 此 条 件 (即 M 偏 小 )时 , 如 上 题 中 斜 率 F=a/(1 /M) 变 小 , 很 直 观 地 看 出 D 是 正 确 的 4、 简 谐 振 动 的 图 象 中 斜 率 代 表 振 动 质 点 的 速 度 , 应 用 图 象 能 很 直 观 地 分 析 出 振 动 质点的速度变化情况. 例 4、 如 图 5 为 一 质 点 的 振 动 图 象 , 在 图 上 有 M、 N、 G、 H 四 点 , 则 质 点 速 度 方 向 为 正 的 是 _ _ _ _ _ , 质 点 速 度 继 续 增 大 的 点 是 _ _ _ 。

( 图 5)

解 析 : 图 象 中 四 点 的 切 线 与 时 间 轴 夹 角 小 球 90 的 速 度 方 向 即 为 正 值 , 所 以 答 案 为 M, G ; 速 度 继 续 增 大 的 点 是 N, H, 因 为 随 着 时 间 的 延 续 , 此 两 点 的 斜 率 在 增 大 。 5 、 针 对 电 场 强 度 公 式 E = F/q , 做 出 F ― q 图 象 , 斜率表示 E 值,斜率越大,E 值越大。 例 5.( 如 图 6) , 是 电 场 中 某 点 的 电 场 强 度 E 与 放 在 该 点 处 的 检 验 电 荷 q 及 所 受 的 电场力 F 之间的函数关系图象,期中正确的是( ) 解 析 : 由 公 式 E=F/ q 知 , 电 场 强 度 E 与 检 验 电 荷 q 无 关 , 所 以 选 AD 图 6 6、 导 体 的 伏 安 特 性 曲 线 (即 U— I 图 线 )中 的 斜 率 表 示 导 体 的 电 阻 , 斜 率 越 大 , 电 阻越大。 例 6. 一 个 标 有 “ 220 V , 60W ” 的 白 炽 灯 泡 , 加 上 的 电 压 U 从 0 开 始 逐 渐 增 大 到 220V 的 过 程 中 , 电 压 U 和 电 流 I 的 关 系 可 用 图 线 表 示 , 下 图 所 示 的 四 个 图 线 中 , 肯 定不符合实际的是( )

0

解 析 : 此 题 把 电 阻 定 律 R= ρ L/S 和 部 分 电 路 欧 姆 定 律 I=U/R( 或 R=U/I) 结 合 起 来 , 联 系 实 际 问 题 而 设 计 的 新 题 型 。 白 炽 灯 泡 两 端 电 压 由 0 逐 渐 增 大 到 220V 的 过 程 中 , 由于电流热效应的作用,灯丝升温,电阻率ρ增大,导致电阻增大,实际生活中的 现 象 是 白 炽 灯 泡 由 白 亮 渐 渐 变 为 暗 红 亮 , 因 此 据 斜 率 知 识 可 得 A、 C、 D 均 不 符 合 实 际 (而 B 中 曲 线 的 斜 率 是 增 大 的 , 即 电 阻 增 大 ) 7 、 电 磁 感 应 现 象 中 B — t 图 象 或 φ ----t 图 象 中 的 斜 率 表 示 磁 感 应 强 度 B 随 时 间 的 变 化 率 ?B / ?t ( 图 7) t. 或 磁 通 量 φ 随 时 间 的 变 化 率 ? ?/ ? 例 7 、 ( 如 图 7) , 竖 直 放 置 的 螺 线 管 与 导 线 ) 构 成 闭 合 回 路 , 导 线 所围区域里有一向里的变化的磁场,螺线管的正下方水平桌面上有 一 导 体 圆 环 , 导 线 ab cd 所 围 区 域 里 磁 场 的 磁 感 应 强 度 B 按 下 面 哪 个图线所表示的方向随时间变化时,导体圆环将受到向上的磁场 力?

解析:本题依据图象定性地判断螺线管中感应电流的变化情况,并进一步明确圆 环的运动情况,据楞次定律和图象可知:A 图中表示磁感应强度随时间越来越大,但 由 于 图 线 的 斜 率 K= Δ B / Δ t 越 来 越 小 , 所 以 abcd 回 路 中 的 Δ φ / Δ t 越 来 越 小 , 由 法 拉第电磁感应定律知,回路中的感应电流是越来越小的,当螺线管中感应电流不断 减小时,穿过圆环的磁通量也越来越小,,再由楞次定律得,环中的感应电流方向 是与螺线管中的相同,二者相互吸引,故 A 是正确的。B 图中曲线的斜率越来越大, 圆环所表现出来的受力情况与 A 图相反。C 图和 D 图中的磁感应强度都随时间均匀变 化,所以螺线管中的感应电流是不变化的,因此环中无感应电流,此时二者也无相 互 作 用 , 故 B、 C、 D 均 不 符 合 要 求 。 8、在光电效应中, Ek ? hv ? W0 , W0 是逸出功,常数,类比 y ? kx ? b ,可知 Ek ? v 图象的斜率 表示普朗克恒量 h . 例 8 在图中,直线 PQ 表示光电子的最大初动能与入射光频率 v 的变化关 (1) 图中哪一个值可确定普朗克恒量 h。(OP/OQ)) (2) 图中哪一个线段表示极限频率 v0 的值。(OQ) 图中哪一个线段相当于金属的逸出功 W。(OP) 总之,图象的斜率是分析、处理物理问题的一种非常重要的工具。利用它可以使复杂的物理简单 化,起到事半功倍的效果。在物理教学中要使学生学好物理,就应让学生正确理解斜率在物理问题 中的含义并掌握其应用。 通讯地址:湖北省随州市曾都区第二高级中学. 姓名:刘峰.邮箱:1342028701@qq.com 2011.10.18.


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