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复合函数单调性的求法与含参数问题


复合函数单调性的求法与含参数问题
若 y ? f (u ) ,又 u ? g (x) ,且 g (x) 值域与 f (u ) 定义域的交集不空,则函数 y ? f [ g ( x)] 叫 x 的复合函数,其中 y ? f (u ) 叫外层函数, u ? g (x) 叫内层函数, 简而言之,所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。 例1、 (1)设 f(x)=2x?

3 g(x)=x2+2 求 f[g(x)](或 g[f(x)]) 。 (2)已知:f(x)=x2?x+3 求:f(
1 ) x

f(x+1)

(二)求复合函数相关定义域 一、已知 f (x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含 于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若 f (x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求 出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 例 1 已知 f (x) 的定义域为 (0, ,求 f ( x 2 ? 2x) 定义域。 3] 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即 ?x 2 ? 2x ? 0 ? x ? ?2,或x ? 0 ? 2 0 ? x ? 2x ? 3 ? ? 2 ?? ?x ? 2x ? 3 ?? 3 ? x ? 1 ? 即 ? 3 ? x ? ?2 或 0 ? x ? 1 故 f ( x 2 ? 2x) 的定义域为 ?? 3,?2? ? ?0,1? 【评注】所谓定义域是指函数中自变量 x 的取值范围,因此我们可以直接将 复合函数中 x 2 ? 2 x 看成一个整体 x , 即由 0 ? x ? 3 可得 0 ? x 2 ? 2 x ? 3 , 解出 x 的 范围即可。 2? x ? x? ?2? 练习:设 f ? x ? ? lg ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 (B) 2? x ?2? ? x? A. ?? 4,0? ? ?0,4? B. ?? 4,?1? ? ?1,4? C. ?? 2,?1? ? ?1,2? D. ?? 4,?2? ? ?2,4? 二、已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f (x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g (x) 的范围即 为 f (x) 的定义域。 例 2 若函数 f ?3 ? 2 x? 的定义域为 ?? 1,2? ,求函数 f ?x ? 的定义域 解 ? ?1 ? x ? 2 , ? ?1 ? 3 ? 2 x ? 5 , 故函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 1,5? 【评注】 f ?3 ? 2 x? 的定义域为 ?? 1,2? 得 ? 1 ? x ? 2 , 由 有的同学会误将此 x 的 范围当作 f ?x ? 的定义域,为了更易分清此 x 非彼 x ,我们可将 3 ? 2 x 令成一个整 体 t ,即 t ? 3 ? 2 x ,先解出 f ?t ? 的定义域,即为 f ?x ? 的定义域。 三、已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f [h?x?] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。

1

例 3 已知 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, ,求 f ?x ? 2? 的定义域。 3) 解 由 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, 得 ? 2 ? x ? 3 ,故 ? 1 ? x ? 1 ? 4 3) 即得 f ?x ? 定义域为 [?1,) ,从而得到 ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,所以 1 ? x ? 6 4 故得函数 f ?x ? 2? 的定义域为 ?1,6? 四、已知 f ?x ? 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为各基本函数 定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 例 4 已知函数 f ?x ? 定义域为是 [a, b] ,且 a ? b ? 0 求函数 h?x ? ? f ?x ? m? ? f ?x ? m? ?m ? 0? 的定义域 ?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m 解 ? ,? m ? 0,? a ? m ? a ? m ?? a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m ? b ? m ? b ? m ,又 a ? m ? b ? m 要 使 函 数 h?x ? 的 定 义 域 为 非 空 集 合 , 必 须 且 只 需 a ? m ? b ? m , 即 b?a 0?m? ,这时函数 h?x ? 的定义域为 [a ? m, b ? m] 2 (三)复合函数的单调性 有以下结论: u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数

判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域; (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数); (3)判断每个常见函数的单调性; (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; (5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型: ( 例 1 已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). [ 2,+∞) 解:设 y= logau,u=2-ax,∵a 是底数,所以 a>0, ∵ 函数 y=loga u 在 u∈[0,1]上是减函数,而 u=2-ax 在区间 x∈[0,1] 上是减函数, ∴ y= logau 是 u∈(0, +∞)上的增函数,故 a>1,还要使 2-ax>0 在区 间上总成立, g(0)=2-a·0>0 令 g(x)= 2-ax,由{ ,解得 a<2,∴1<a<2,故选(B). g(1)=2-a·1>0 二、外函数只有一种单调性,而内函数有两种单调性的复合型: 例 2 函数 y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数? 解:令 y= log0.5u,u= x2+4x+4,由 x2+4x+4>0 知函数的定义域为 x≠0, 因 y= log0.5u 在 u∈(0,+∞)上是减函数,而 u= x2+4x+4 在 x∈(-∞, -2)上是减函数,
2

在(-2,+ ∞)上是增函数,根据复合规律知, 函数 y=log0.5(x2+4x+4) 在 x∈(-∞,-2)上是增函数. 例 3.讨论函数 y=0.8 的单调性。 解:函数定义域为 R。 令 u=x2-4x+3,y=0.8u。 指数函数 y=0.8u 在(-∞,+∞)上是减函数, u=x2-4x+3 在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, ∴ 函数 y=0.8x2-4x+3 在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。 这里没有第四步,因为中间变量允许的取值范围是 R,无需转化为自变量 的取值范围。 三、外函数有两种单调性,而内涵数只有一种单调性的复合型: π 例 4 在下列各区间中,函数 y=sin(x+ )的单调递增区间是( ) 4 π π π π (A).[ ,π ] (B).[0, ] (C).[-π ,0] (D). [ , ] 2 4 4 2 π π π 解:令 y=sinu,u=x+ ,∵y=sinu 在 u ∈[2kπ ,2kπ + ](k∈Z)上 4 2 2 单调递增, π 3π π 在 u ∈[2kπ + ,2kπ + ](k∈Z)上单调递增,而 u=x+ 在 R 上是增函数, 2 2 4 π π π 根据函数单调性的复合规律,由 2kπ ≤x+ ≤2kπ + 得 2 4 2 3π π 3π π π 3π π 2kπ ≤x≤2kπ + ,当 k=0 时,≤x≤ ,而[0, ]∈[, ] 4 4 4 4 4 4 4 2 例 5.讨论函数 y=(log2x) +log2x 的单调性。 解:显然函数定义域为(0,+∞)。 令 u=log2x,y=u2+u ∵ u=log2x 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 1 y=u2+u 在(-∞, ? ]上是减函数,在[ ? ,+∞)上是增函数(注意(-∞, ? ] 2 2 2 1 及[ ? ,+∞)是 u 的取值范围) 2 1 1 1 1 2 2 因为 u≤ ? log2x≤ ? , 0<x≤ , (u≥ ? log2x≥ ? x≥ ) 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 y=(log2x)2+log2x 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数。 2 2 (四)利用复合函数求参数取值范围 例 1.已知函数 f(x)= (x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是_______。 分析如下: 令 u=x2-ax+3a,y= u. 因为 y= u 在(0,+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数?
x -4x+3

3

?

u=x2-ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,且对任意 x∈[2,+∞),都有 u>0。 对称轴 x= 在 2 的左侧或过(2,0)点,且 u(2)>0。 ?

? -4<a≤4 例 2.若 f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是_______。 令 u=-ax+3>0, y=logau, 由于 a 作对数的底数, 所以 a>0 且 a≠1, u=-ax+3 由 >0 得 x< 。 在[0,1]上,且 u 是减函数。 ∴ f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数。 3 ? y=logau 是增函数,且[0,1] (-∞, ] a

? ? 1<a<3 . 所以 a 的取值范围是(1,3)。 1.求下列复合函数的单调区间. (1)y=log3(x2-2x);(答:(-∞,0)是单调减区间,(2,+∞)是单调增区间.)

(2)y= log 1 (x2-3x+2);(答:(-∞,1)是单调增区间(2,+∞)是单调减区间.)
2

(3)y= ? x 2 ? 5x ? 6 ,(答: [2, 5 是单调增区间,[ 5 ,3]是单调减区间.) ] 2 2

(4)y=

;(答:(-∞,0),(0,+∞)均为单调增区间.注意,单调区间之间不 0.7 可以取并集.)
1 x

(5)y= 2 3? x 2 ;(答(-∞,0)为单调增区间,(0,+∞)为单调减区间) 2.关于 x 的函数 y ? log 1 (?ax ? a2 ? 2a) 在[1,+∞ ) 上为减函数,则实数 a 的取
2

值 ( D

范 )A. (-∞,0)B.(-1,0)

C.(0,2 ]

围 D.(-∞,-1)



4


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