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人教a版必修1学案1.1集合(含答案)


第一章 集合与函数概念 § 1.1 集 合

解读集合的有关概念 一、注意集合的概念与“全体”的区别 集合的概念是现代数学中不定义的原始概念.集合的概念虽然也含有“全体”的意思, 但是与通常所理解的全体是有区别的, 集合中的元素必须是确定的, 必须能判断任何一个对 象是不是它的元素,而全体则不一定能成为一个集合.例如,“我校高一学生中高个子同学 的全体”就不能

构成集合, 而“我校高一学生中所有身高高于 170 厘米的同学的全体”则能 构成集合. 二、加强对集合元素的三大特性的理解 1.确定性:对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元 素是或不是集合中的元素.如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是 “高个子”,即集合中的元素是不确定的. 2. 互异性: 所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的, 不会有完全相同的元素. 在 解题中尤其要注意对结果进行检验,不能忽视. 例 1 已知 x2∈{1,0,x},求实数 x 的值. 解 若 x2=0,则 x=0,此时集合为{1,0,0},不符合集合中元素的互异性,舍去. 若 x2=1,则 x=± 1. 当 x=1 时,集合为{1,0,1},舍去; 当 x=-1 时,集合为{1,0,-1},符合. 若 x2=x,则 x=0 或 x=1,不符合互异性,都舍去. 综上可知:x=-1. 3.无序性:集合是一个整体,集合中的元素排列是没有顺序限制的,所以同学们应知 道集合{a,b,c},{b,a,c},{c,b,a}都是同一集合.为帮助同学们记忆,特总结口诀 如下: 集合平常很常用,数学概念各不同; 理解集合并不难,三个要素是关键; 元素确定与互异,还有无序要牢记. 三、注重对空集概念的理解 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作?.空集是特殊的集合,不含有任何 元素,规定它是有限集. 注意 ①空集和集合{0}是不同的,?是不含任何元素的集合,而{0}表示只含有一个元 素“0”的集合. ②?和{?}也是不一样的,?是不含任何元素的集合,{?}表示只含有一个字母“?”的集 合,也可以看作由?作为元素构成的集合. 四、正确理解集合与集合的关系 集合与集合之间是包含关系, 它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关 系.包含关系有三种:子集、真子集和相等. 1.“集合 A 是集合 B 的子集”,意思是集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素, 但不能把“集合 A 是集合 B 的子集”理解为集合 A 是由集合 B 中部分元素组成的集合,因 为空集和集合 B 都是集合 B 的子集. 2.“集合 A 是集合 B 的真子集”有两层含义,一是集合 A 是集合 B 的子集,二是集合 A 与集合 B 不相等,即集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A.

3.要证明 A=B,只需要证明 A?B 且 B?A 成立即可.即可设任意 x0∈A,证明 x0∈B 从而得出 A?B.又设任意 y0∈B,证明 y0∈A 从而得到 B?A,进而得到 A=B. 1 π 1 π 例 2 已知集合 A={x|x= kπ+ ,k∈Z},B={x|x= kπ+ ,k∈Z},判断集合 A 与集 2 4 4 2 合 B 是否相等.可用列举法解之. π 3π 5π 7π 解 即 A={?, , , , ,?}, 4 4 4 4 π π 3π 5π B={?, , , ,π, ,?}.观察可知,A≠B. 4 2 4 4 4.若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个 非空真子集. 集合易错点剖析 一、符号意义不清致错 例 3 已知集合 X={0,1},Y={x|x?X},那么下列说法正确的是( ) A.X 是 Y 的子集 B.X 是 Y 的真子集 C.Y 是 X 的真子集 D.X 是 Y 的元素 错解 B 剖析 集合中符号意义必须清楚. 正解 因为 Y={x|x?X}={{?},{0},{1},{0,1}},所以 X∈Y.故选 D. 二、代表元素意义不清致错 例 4 集合 A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},则 A∩B=( ) A.{(-1,1),(2,4)} B.{(-1,1)} C.{(2,4)} D.? 2 ? ? ? ?y=x , ?x=2, ?x=-1, 错解 由? 得? 或? ?y=x+2, ?y=4, ?y=1. ? ? ? 故选 A. 剖析 导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义,A 中的元素是实数 y,而 B 中的 元素是实数对(x,y),也就是说,集合 A 为数集,集合 B 为点集,因此 A、B 两个集合中没 有公共元素,从而这两个集合的交集为空集. 正解 D 三、忽视集合元素的互异性致错 例 5 已知集合 A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A∩B={3,7},求 集合 B. 错解 由 A∩B={3,7}得 a2+4a+2=7, 解得 a=1 或 a=-5. 当 a=1 时,集合 B={0,7,3,1}; 当 a=-5 时,集合 B={0,7,3}. 综上知集合 B={0,7,3,1}或 B={0,7,3}. 剖析 由题设条件知集合 B 中有四个元素,当集合中出现了相同的元素,与集合中元 素的互异性矛盾,导致错解. 正解 应将当 a=-5 时的集合 B={0,7,3}舍去, 故集合 B={0,7,3,1}. 四、忽视空集致错 例 6 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B?A,求实数 m 的取 值范围.

m+1≥-2 ? ? 错解 由 B?A,得?2m-1≤5 ? ?m+1≤2m-1

,解得 2≤m≤3.

剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法. 原因是考虑不全面,由集合 B 的含义及 B?A,忽略了集合为?的可能而漏掉解.因此 题目若出现包含关系时,应首先想到有没有出现?的可能. 正解 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A. ①若 B=?,则 m+1>2m-1,解得 m<2, 此时有 B?A; ②若 B≠?,则 m+1≤2m-1,即 m≥2, m≥2 ? ? 由 B?A,得?m+1≥-2 ? ?2m-1≤5 ,解得 2≤m≤3.

由①②得 m≤3. ∴实数 m 的取值范围是{m|m≤3}.

集合中的数学思想 一、分类讨论思想 分类讨论是高中学习中一种重要的数学思想方法, 也是一种基本的解题策略, 是高考的 重点与热点, 也是高考的难点. “分类讨论”的数学思想的实质是把整体问题转化为局部问 题进行解决,通俗地讲就是“化整为零,各个击破”的解题手段,或者说不同情况要采取不 同的方法去对待,使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决. 在集合这一部分中,常见的分类讨论题型有以下几种: 1.根据集合元素特性分类讨论 在分析集合所含元素的情况时, 常常会根据集合中的元素特性分类讨论, 在解题中尤其 要注意对结果进行检验. 例 1 设集合 A={2,a2-a+2,1-a},若 4∈A,求 a 的值. 解 由集合元素的确定性知 a2-a+2=4 或 1-a=4. (1)解 a2-a+2=4 得 a=-1 或 a=2. a=-1 时,A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性, 故 a=-1 舍去; a=2 时,A={2,4,-1}满足集合中元素的互异性, 故 a=2 满足要求. (2)解 1-a=4 得 a=-3, 此时 A={2,4,14}满足集合中元素的互异性, 故 a=2 或 a=- 3 即为所求. 2.根据空集的特性分类讨论 空集是集合中一类特殊的集合, 应特别注意空集是任何集合的子集, 不可忽视空集的特 殊情况.因此在处理集合问题时,对未知集合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的. 例 2 已知 A={x|-3≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},问 m 为何实数时,A∩B=?成 立. 分析 此题已知 A∩B=?,需按 B=?和 B≠?进行分类讨论,同时还要注意 m+1 和 2m

-1 的大小关系. 解 (1)当 B=?时,A∩B=?成立, 此时 m+1>2m-1,即 m<2.
?m+1>5, ?2m-1<-3, ? ? (2)当 B≠?时, 欲使 A∩B=?成立, 实数 m 应满足? 或? 解 ? ? ?m+1≤2m-1 ?m+1≤2m-1. 得 m>4. 故满足条件的 m 的取值范围是 m<2 或 m>4. 3.根据子集的性质分类讨论 含参数的集合问题, 这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题. 解题时注意把集合的 运算关系转译为包含关系,常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论. 例 3 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0}且 A∪B=A,求实数 a 的值. 分析 解此题可先由 A∪B=A, 得出 B?A, 然后对集合 B 中的元素个数进行分类讨论. 解 ∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2} 由 A∪B=A,得 B?A (1)B=?时,Δ=a2-4a+4<0 ∴这样的 a 不存在; ? ?Δ=0 (2)B={1}时,? ∴a=2; ?1-a+a-1=0 ? ?Δ=0 ? (3)当 B={2}时,? ? ?4-2a+a-1=0 ∴这样的 a 不存在; ?Δ>0

(4)当 B={1,2}时,?1+2=a

?

? ?1×2=a-1

∴a=3.

∴由(1)(2)(3)(4)得:a=2 或 a=3. 分类讨论的数学思想是解集合题经常会遇到的一种思想方法,分类要恰当、合理,做到 “不重不漏”. 解题时应特别注意对集合元素的特性的检验, 特别注意空集是任何集合的子 集, 不可忽视空集的特殊情况. 含参数的集合问题, 注意把集合的运算关系转化为包含关系, 克服分类讨论中的主观性和盲目性. 二、数形结合思想 数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形象 思维结合,通过对图形的认识、数形结合的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题 化难为易、化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用 的方法是数轴法和 Venn 图法. 1.运用数轴 例 4 已知集合 A={x|x<-1,或 x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B?A,求实数 a 的取 值范围. 解 ∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠?. 画出数轴分析,如图所示.

由图知要使 B?A,需 2a≥1 或 a+1≤-1, 1 即 a≥ 或 a≤-2. 2 1 又∵a<1,∴实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1). 2

点评 解此类题要注意是否包括端点临界值. 2.运用 Venn 图 例 5 已知全集 U={x|x2<50,x∈N},L∩(?UM)={1,6},M∩(?UL)={2,3},?U(M∪L) ={0,5},求集合 M 和 L. 解 第一步:求得全集 U={x|x2<50,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}; 第二步:将 L∩(?UM)={1,6},M∩(?UL)={2,3}, ?U(M∪L)={0,5}中的元素在 Venn 图中依次定位; 第三步:将元素 4,7 定位;

第四步:根据图中的元素位置,得集合 M={2,3,4,7},集合 L={1,4,6,7}. 点评 集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助 Venn 图、数轴等工具利用数形结 合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解. 例 6 高一(2)班共有 50 名同学,参加物理竞赛的同学有 36 名,参加数学竞赛的同学有 39 名,且已知有 5 名同学两科竞赛都没有参加,问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学 有多少名?

解 设参加物理竞赛的同学组成集合 A,参加数学竞赛的同学组成集合 B,并设两科竞 赛都参加的同学组成的集合 A∩B 中有 x 个元素,则各部分人数分布如图所示, 则(36-x)+x+(39-x)+5=50, 解得 x=30,所以 39-x=9, 即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有 9 名. 点评 应熟知集合 A∩B、A∩(?UB)、(?UA)∩B、(?UA)∩(?UB)分别对应 Venn 图中的哪 部分区域. 三、等价转化思想 在解决一些集合问题时, 当一种集合的表达形式不好入手时, 常将其转化为另一种形式, 使问题明朗化,如“A 是 B 的子集”、“A∩B=A”、“A∪B=B”、“A?B”等都是同一 含义.另外,集合中数学语言的常见形式主要有三种,即文字语言、符号语言、图形语言, 它们可以相互转化,通过合理的转化,往往能简捷迅速地得到解题思路. y ? ? 例 7 已知 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x+y=1},B=??x,y?|1-x=1?,求(? ? ? UB)∩A. 解 集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R}是平面上所有点的集合;集合 A 是直线 x+y=1 上的 点的集合;集合 B 是直线 x+y=1 上的点的集合,但要除去点(1,0);而?UB 表示点(1,0)以及 平面上除了直线 x+y=1 上的所有点以外的点, 所以(?UB)∩A 对应的元素为(1,0), 即(?UB)∩A ={(1,0)}. 点评 在相互转化的过程中要注意转化的等价性. 四、特殊化思想 特殊化思想是一种重要的数学思想, 对于许多较抽象的集合问题, 灵活地取一些符合条 件的特殊集合,往往能起到化繁为简、化难为易的功效.另外,特殊值法解选择题是特殊与 一般思想在解题中的具体应用,相当于增加题设条件,可使问题简单化. k 1 k 1 例 8 设集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则( ) 2 4 4 2 A.M=N B.M 是 N 的真子集 C.N 是 M 的真子集 D.M∩N=?

答案 B 1 1 1 1 解析 由 ∈N,而 D∈/M,排除 A,C;又 ∈N,且 ∈M,再排除 D.故选 B. 2 2 4 4 点评 很多选择题都可以取特殊值来迅速求解. 五、补集思想 已知全集 U,求子集 A,若直接求 A 困难,可先求?UA,再由?U(?UA)=A 求 A.补集作为 一种思想方法,给我们研究问题开辟了新思路,今后要有意识地去体会并运用.在顺向思维 受阻时,改用逆向思维,可能会“柳暗花明”.我们平日说的“正难则反”这一策略就是对 补集思想的应用,是指当某一问题从正面解决较困难时,可以从其反面入手解决,从这个意 义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能,是转化思想的又一体现. 例 9 已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若 A∩B≠?,求实数 m 的取 值范围. 分析 A∩B≠?说明集合 A 是由方程 x2-4mx+2m+6=0①的实根组成的非空集合, 并 且方程①的根有可能有:(1)两负根;(2)一负根一零根;(3)一负根一正根.三种情况讨论很 麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,采用补集思想,即先由 Δ≥0,求出全集 U,然后 求出两根均为非负时 m 的范围,然后利用“补集”求解. 3? ? 解 设全集 U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}=?m|m≤-1,或m≥2?, 若方程 x2-4mx ? ? +2m+6=0 的两根 x1,x2 均为非负,则 Δ≥0, ? ? ?x1+x2=4m≥0, ? x2=2m+6≥0, ?x1·
? ?

3 ?m≥ . 2

3? ? ∵?m|m≥2?在全集 U 中补集为{m|m≤-1}. ∴实数 m 的取值范围为{m|m≤-1}. 点评 (1)解 Δ≥0,即 16m2-8m-24≥0,也就是 2m2-m-3≥0 时,可以先画出二次 函数 f(m)=2m2-m-3 的图象, 由图象易得 m 的取值范围. (2)本题运用了“补集思想”. 对 于一些比较复杂,比较抽象,条件和结论之间关系不明朗,难于从正面入手的数学问题,在 解题时,调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能化难为易,化隐为 显,从而将问题解决,这就是补集思想的应用,也是处理问题的间接化原则的体现.

集合问题如何考? 集合是高考每年必考的知识点之一. 对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、 集合 语言的理解与应用; 同时由于集合的基础性和工具性作用, 又常以集合为工具考查集合语言 和集合思想的应用,命制一些新背景的问题. 考点一 集合概念及性质 1. (江西高考改编)定义集合运算: A*B={z|z=xy, x∈A, y∈B}. 设 A={1,2}, B={0,2}, 则集合 A*B 的所有元素之和为________. 解析 ∵z=xy,x∈A,y∈B, ∴z 的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4, 故 A*B={0,2,4}. ∴集合 A*B 的所有元素之和为:0+2+4=6. 答案 6

点评 本题主要考查了集合的基本性质,如元素的确定性. 考点二 集合的运算 2.(湖南高考)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( )

A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} 解析 由 M∩?UN={2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4,集合 M 中含有元素 2,4,故 N ={1,3,5}. 答案 B 3. (湖北高考)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,3,5,7}, B={2,4,5}, 则? U(A∪B)=( ) A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8} 解析 ∵A∪B={1,2,3,4,5,7},∴?U(A∪B)={6,8}. 答案 A 考点三 集合之间的关系 4.(广州模拟)设集合 A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},则 A 与 B 的关系是( ) A.A=B B.A ? B C.A ? B D.A?B 分析 由于集合 B 中的 x 是 A 中的元素,根据此条件求出集合 B,再判断集合 A、B 的 关系. 解析 由已知,A={0,1}, B={y|x2+y2=1,x∈A}={-1,0,1}.所以 A?B. 答案 B 点评 解决本题,首先要读懂符号代表的含义.由于集合 B 中的元素 x 属于集合 A,故 x 可为 0 或 1;再将 x 的值代入集合 B,解得集合 B;最后判断集合 A、B 的关系. 考点四 集合创新问题 5.(日照调研)已知集合 P={3,4,5},集合 Q={4,5,6,7},定义 P*Q={(a,b)|a∈P,b∈ Q},则 P*Q 中的元素的个数是____________. 分析 根据新定义将 a、b 依次代入,即可得到新集合 P*Q,从而得解. 解析 新定义集合 P*Q 的特征是平面上的点集,横坐标为集合 P 中的元素,而纵坐标 为集合 Q 中的元素,故 P*Q={(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4), (5,5),(5,6),(5,7)},从而可知 P*Q 中元素的个数为 12. 答案 12 点评 本题是一个运算创新型问题, 解答此类问题的关键是理解新运算, 并找到新运算 与已学运算的结合点,如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集. 6.若集合 A1,A2 满足 A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且 仅当 A1=A2 时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={1,2,3}的不同分拆 种数是( ) A.27 B.26 C.9 D.8 分析 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法,关键是要分类准确. 解析 ①A1=?时,A2={1,2,3},只有 1 种分拆; ②A1 是单元素集时(有 3 种可能),则 A2 必须至少包含除该元素之外的两个元素,也可 能包含 3 个元素,有两类情况(如 A1={1}时,A2={2,3}或 A2={1,2,3}),这样 A1 是单元素集 时的分拆有 6 种; ③A1 是两个元素的集合时(有 3 种可能),则 A2 必须至少包含除这两个元素之外的另一 个元素,还可能包含 A1 中的 1 个或 2 个元素(如 A1={1,2}时,A2={3}或 A2={1,3}或 A2= {2,3}或 A2={1,2,3}),这样 A1 是两个元素的集合时的分拆有 12 种; ④A1 是三个元素的集合时(只有 1 种),则 A2 可能包含 0,1,2 或 3 个元素(即 A1={1,2,3}

时,A2 可以是集合{1,2,3}的任意一个子集),这样 A1={1,2,3}时的分拆有 23=8 种. 所以集合 A={1,2,3}的不同分拆的种数是 1+6+12+8=27. 答案 A 7.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合 A={0,1},B={2,3}, 则集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 解析 (1)当 x=0 时,无论 y 为何值,都有 z=0; (2)当 x=1,y=2 时,由题意 z=6; (3)当 x=1,y=3 时,由题意 z=12, 故集合 A⊙B={0,6,12}, 元素之和为 0+6+12=18. 答案 18 点评 本题给出的新运算“⊙”, 是同学们从未见过的集合运算, 要求同学们能按其给 出的新运算作答,考查同学们的观察能力及应用新信息分析问题、解决问题的能力. 8.定义集合 A 和 B 的运算 A※B={x|x∈A,且 xD∈/B}.写出含有运算符号“※”, “∩”,“∪”,且对集合 A,B 都成立的一个等式:________. 解析 如下图,Venn 图中阴影部分可表示为: A※(A∩B);

再结合新定义及并集概念,阴影部分也可表示为: (A∪B)※B. 显然可填:A※(A∩B)=(A∪B)※B. 另外也可填:B※(A∩B)=(A∪B)※A 等. 答案 A※(A∩B)=(A∪B)※B B※(A∩B)=(A∪B)※A 点评 这是一道开放题,并且定义了新运算,对同学们来说有一定的难度,但是同学们 只要认真审题,灵活运用题目所给的信息,选择恰当的方法,解答此题就显得轻而易举了. 学习建议 (1)集合是学习高中数学的开始,若想学好、应用好这部分知识,就要花大力气理解基 本概念、基本性质,掌握基本表示方法. (2)学习时同学们要理解集合运算的定义,掌握集合运算的方法,还要善于借助图形工 具解答问题. (3)学习时同学们要搞清两个集合有几种关系,各种关系的定义要牢记.另外,还要明 确集合的关系是通过元素来反映的,所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯. (4)数学中的创新题是数学试题中的一支奇葩, 它们往往以同学们现有的知识为出发点, 创新概念和运算,其特点是“新面目、老方法”,考查更接近知识本质. 基于此,在学习时, 对有关的概念一定要理解透彻,才能以不变应万变.


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