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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(四)课件


1.3.1(四)

1.3.1
【学习要求】

正弦函数的图象与性质(四)

1.理解 y=Asin(ωx+φ)中 ω、φ、A 对图象的影响.
本 2.掌握 y=sin x 与 y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正 课 确地指出其变换步骤. 时 栏 目 【学法指导】 开 关 1. 利用变换作图法作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,若“先伸缩,

再平移”,容易误认为平移单位仍是|φ|,就会得到错误答 案.这是因为两种变换次序不同,相位变换是有区别的.例 π 如, 不少同学认为函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得 6 ? π? 到的是 y=sin?2x+6 ?的图象,这是初学者容易犯的错误. ? ?

1.3.1(四)
π 事实上,将y=sin 2x的图象向左平移 个单位应得到y= 6 π π sin 2(x+ ),即y=sin(2x+ )的图象. 6 3
本 2.平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化,而不是 课 时 “对角”,即平移多少是指自变量“x”的变化,x系数为 栏 目 1,而不是对“ωx+φ”而言;周期变换也是只涉及自变量x 开 关 的系数改变,而不涉及φ.要通过错例辨析,杜绝错误发生.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

用“图象变换法”作 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响 y=sin(x+φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线 y=sin x 上所有的点向 左 (当 φ>0 时)或向 右 (当 φ<0 时)平行移动 |φ| 个单位长度而得到.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响

1.3.1(四)

函数 y=sin(ωx+φ)的图象, 可以看作是把 y=sin(x+φ)的图
本 课 时 栏 目 开 关

象上所有点的横坐标 缩短 (当 ω>1 时)或 伸长 (当 0<ω<1 时) 1 到原来的 ω 倍(纵坐标 不变 )而得到. 3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+φ) 图象上所有点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到,函数 y=Asin x 的 值域为 [-A,A] ,最大值为 A ,最小值为 -A .

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1(四)

探究点一
本 课 时 栏 目 开 关

φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响

①利用五点法作出函数 y=sin x 的图象,通常选取的五个点依 ?π ? ?3π ? ? ? (0,0) , ?2,1? , (π,0) , ? 2 ,-1? , (2π,0) . 次是 ? ? ? π? ②为作出函数 y=sin?x+3 ?在一个周期上的图象,请先完成下 ? ? 表,并回答相应的问题: π x+ 0 3 π - 3 x ? π? sin?x+ 3 ? 0 ? ? π 2 π π 2π 6 3 3π 2
7π 6


5π 3

1

0

-1 0

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1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

? π? 通过上表可知, 利用五点法作函数 y=sin?x+3 ?的图象通常选取 ? ? ?π ? ?7π ? ? π ? ?2π ? ? ,1? ? ,-1? ?- ,0? ? ,0? ? ,? 3 ?, 的五个点依次是: 3 ? ? , ?6 ? ,? 6 ?5π ? ? ,0? . ?3 ? ? π? ③为了作出函数 y=sin?x-4 ?在一个周期上的图象, 请先完成下 ? ?

表,并回答相应的问题: π x- 0 4 x
? π? sin?x- 4? ? ?

π 4

π 2 3 4π

π
5 π 4

3 π 2
7 π 4


9 4π

0

1

0

-1

0

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1.3.1(四)

? π? 通过上表可知,利用五点法作函数 y=sin?x-4 ?的图象通常选取的 ? ? ?7 ? ?π ? ?3 ? ?5 ? ? π,-1? ? ,0? ? π,1? ? π,0? 4 4 ? , ? , ? ? , ?4 ? 五个点依次是: ? , ?4

. 本 ? ? 课 π? π? 时 ④在同一坐标系中,作出函数 y=sin x,y=sin?x+3 ?,y=sin?x-4 ? ? ? ? ? 栏 目 的图象: 开 关

?9 ? ? π,0? ?4 ?

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1.3.1(四)

? ? π? π? ⑤根据 y=sin x,y=sin?x+3 ?,y=sin?x-4?的图象回答下列问题: ? ? ? ? ? π? 函数 y=sin?x+3 ?的图象可以看作由正弦曲线 y=sin x 上所有的点 ? ? π ? ? 本 向 左 平移 3 个单位长度得到;函数 y=sin?x-π?的图象可以看作 4? ? 课

π 时 栏 由正弦曲线 y=sin x 上所有的点向 右 平移 4 个单位长度得到. 目 开 规律提炼:一般地,函数 y=sin(x+φ),x∈R 的图象,可以看作 关 |φ| 右 左

是把 y=sin x 图象上的各点向

(φ>0)或向

(φ<0)平移

个单

位而得到(可简记为左“+”, 右“-”), 这种变换称作相位变换.

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探究点二 ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响

1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

①函数 y=sin 2x 的周期为 π, 利用五点法作图通常选取的五个 ?π ? ?π ? ?3 ? ? ,1? ? ? ? ? 4 ? , ?2,0? , ?4π,-1? , (π,0) . 点依次是(0,0), ? x ②函数 y=sin 的周期为 4π, 利用五点法作图通常选取的五个 2 点依次是(0,0),(π,1) , (2π,0) , (3π,-1) , (4π,0) . x ③在同一坐标系中,作出函数 y=sin x,y=sin 2x,y=sin 的 2 图象:

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1.3.1(四)

x ④根据 y=sin x,y=sin 2x,y=sin 的图象回答下列问题: 2 函数 y=sin 2x 的图象可以看作把正弦曲线 y=sin x 图象上所有 1 x 点的横坐标压缩到原来的 2 倍(纵坐标不变);函数 y=sin 的 2 本 课 图象可以看作把正弦曲线 y=sin x 图象上所有点的横坐标拉伸 时
栏 目 开 关

到原来的 2 倍(纵坐标不变). 规律提炼:一般地,函数 y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(x+φ)的图象可以看作是把 y=sin x 的图象上所有点的

1 横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的 ω 倍
(纵坐标不变)而得到.

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探究点三 A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

1.3.1(四)

1 ①在同一坐标系中,作出函数 y=sin x,y=2sin x,y= sin x 2
本 课 时 栏 目 开 关

在区间[0,2π]上的图象:

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1.3.1(四)

1 ②根据y=sin x,y=2sin x,y= sin x的图象回答下列问题: 2 函数y=2sin x的图象可以看作是把y=sin x的图象上所有的点 1 本 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到,函数y=2sin x
课 时 栏 目 开 关

的图象可以看作是把y=sin x的图象上所有的点的纵坐标压缩 1 到原来的 倍(横坐标不变)而得到. 2 规律提炼:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是 把y=sin(ωx+φ)图象上的所有点的 纵 坐标伸长(当A>1时)或缩 短(当0<A<1时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到.

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探究点四

1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 y= sin(ωx+φ)(ω>0)的图象? y=sin x 的图象变换成 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象一般有两个 途径: 途径一:先相位变换,再周期变换 先将 y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度, 1 再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 ω 倍(纵坐标不 变),得 y=sin(ωx+φ)的图象. 途径二:先周期变换,再相位变换 1 先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω倍(纵坐标不 |φ| 变),再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个单位长 度,得 y=sin(ωx+φ)的图象.

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1.3.1(四)

试叙述,由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 y= ? π? sin?2x+3?的图象? ? ?
本 课 时 栏 目 开 关



方法一:(先相位变换,再周期变换)先将 y=sin x 的图象向 ? π? π 左平移3个单位长度,得函数 y=sin?x+3?的图象;再将函数 y ? ? ? π? 1 ?x+ ?的图象上各点的纵坐标不变, =sin 横坐标变为原来的 倍, 3? 2 ? π 得 y=sin(2x+ )的图象. 3

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1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

方法二:(先周期变换,再相位变换)先将 f(x)=sin x 的图象上 1 各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍,得函数 f(2x)=sin 2x 2 π 的图象; 再将函数 f(2x)=sin 2x 的图象上各点沿 x 轴向左平移 6 ? ? π? ? π 个单位长度,得 f?2?x+6 ??=sin 2(x+ )的图象,即函数 y= 6 ? ? ?? ? π? sin?2x+3?的图象. ? ?

几何画板演示

本 课 时 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效 1.3.1(四) [典型例题] ? π? 例 1 要得到函数 y=sin?2x+3 ?的图象,只要将 y=sin 2x 的图 ? ? 象 ( C ) π A.向左平移 个单位 3 π B.向右平移 个单位 3 π C.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6
解析 因为 π 所以把 y=sin 2x 的图象上所有点向左平移6个单位,就得到 y ? ? π? π? =sin 2?x+6?=sin?2x+3?的图象. ? ? ? ?
? ? π? π? y=sin?2x+3?=sin2?x+6?, ? ? ? ?

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1.3.1(四)

小结 骤:
本 课 时 栏 目 开 关

已知两个函数的解析式,判断其图象间的平移关系的步

①将两个函数解析式化简成 y=Asin ωx 与 y=Asin(ωx+φ), 即 A、ω 及名称相同的结构. ②找到 ωx→ωx+φ,变量 x“加”或“减”的量,即平移的单 ?φ? 位为?ω?. ? ? ③明确平移的方向.

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跟踪训练 1 的图象
本 课 时 栏 目 开 关

1.3.1(四)

? π? π ?2x- ?的图象, 要得到 y=sin 只要将 y=sin(2x+ ) 4? 4 ?

π A.向左平移 个单位 2 π C.向左平移 个单位 4

π B.向右平移 个单位 2 π D.向右平移 个单位 4

( D )

? π π? π 解析 y=sin(2x-4)=sin?2?x-4?+4? ? ? ? π? 若设 f(x)=sin?2x+4?, ? ? ? ? π? π? π ?x- ?=sin?2x- ?,∴向右平移 个单位. 则f 4? 4? 4 ? ?

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1.3.1(四) π 例 2 把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单 3 1 位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 2 (纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( C ) ? π? A.y=sin?2x-3?,x∈R ? ? ?x π? B.y=sin?2+6 ?,x∈R ? ? ? π? C.y=sin?2x+3?,x∈R ? ? ? 2π? D.y=sin?2x+ 3 ?,x∈R ? ? π
解析 把函数 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长 3 ? π? 度后得到函数 y=sin?x+3?的图象,再把所得图象上所有的点 ? ? ? π? 1 的横坐标缩短到原来的 倍,得到函数 y=sin?2x+3?的图象. 2 ? ?

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1.3.1(四)

小结
本 课 时 栏 目 开 关

三角函数图象变换容易出错,尤其是既涉及平移变换又

涉及伸缩变换.平移时,若 x 的系数不是 1,需把 x 的系数先 提出,提出后括号中的 x 加或减的那个数才是平移的量,即 x 的净增量.方向的规律是“左加右减”.伸缩时,只改变 x 的 系数 ω, 其余的量不变化, 伸长时系数|ω|减小, 缩短时|ω|增大.

研一研·问题探究、课堂更高效 1.3.1(四) 跟踪训练 2 把函数 y=sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平移 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 3
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( B ) ?x π? A.y=sin?2+6 ?,x∈R ? ? ?x π? B.y=sin?2+3 ?,x∈R ? ? ? π? C.y=sin?2x+3 ?,x∈R ? ? ? 2π? D.y=sin?2x+ 3 ?,x∈R ? ? π 解析 将 y=sin x 图象上的所有的点向左平移3个单位长度得到 y
? π? =sin?x+3?.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 ? ? ? x π? sin?2+3?. ? ?

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2 倍,得 y=

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1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

π 例 3 把函数 y=f(x)的图象上各点向右平移 个单位, 再把横坐 6 2 标伸长到原来的 2 倍, 再把纵坐标缩短到原来的 倍, 所得图 3 ?1 π? 象的解析式是 y=2sin?2x+3 ?,求 f(x)的解析式. ? ?
?1 π? 纵坐标伸长到原来的 2 倍 解 y=2sin?2x+3? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 π? 横坐标缩短到原来的 1 倍 y=3sin?2x+3? ?? ? ? ? ?2 ? ? ? ? π ? π? 向左平移 6 个单位 y=3sin?x+3? ????? ? ? ? ? ? ? π π? π? y=3sin?x+6+3?=3sin?x+2?=3cos x. ? ? ? ?
3

∴f(x)=3cos x.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1(四)

小结
本 课 时 栏 目 开 关

(1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前

函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法. (2)已知函数 f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析 式.要明确伸缩的方向及量,然后确定出 A 或 ω 即可.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1(四)

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跟踪训练 3 将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 π 倍,然后再将整个图象沿 x 轴向右平移 个单位,得到的曲线 2 2 1 与 y= sin x 图象相同,则 y=f(x)的函数解析式为 ( C ) 2 π? 1 ?1 π? 1 ? A.y= sin?2x-2 ? B.y= sin?2x+2? 2 ? 2 ? ? ? π? 1 ?1 π? 1 ? C.y= sin?2x+2 ? D.y= sin?2x-2 ? 2 ? 2 ? ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1(四)

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1. 函数 y=sin x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原 来的 2 倍,得到图象的解析式为 y=sin ωx,则 ω 的值为 ( B ) A.2 1 B. 2 C.4 1 D. 4

练一练·当堂检测、目标达成落实处
?x π? y=sin?2+3 ?的图象,只要将函数 ? ?

1.3.1(四)
x y=sin 的图象 2 ( C )

2. 要得到

本 课 时 栏 目 开 关

π A.向左平移 个单位 3 π B.向右平移 个单位 3 2π C.向左平移 个单位 3 2π D.向右平移 个单位 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1(四)

3.由 y=3sin x 的图象变换到
本 课 时 栏 目 开 关

?1 π? y=3sin?2x+3 ?的图象主要有两 ? ?

个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移 π 2 π 个单位. 3 个单位,后者需向左平移 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1(四)

π 4. 将函数 y=sin(-2x)的图象向左平移 个单位,所得函数图 4 象的解析式为 y=-cos 2x .
本 课 时 栏 目 开 关

解析

y=sin(-2x) ?? ? ? ? ?

π 左移 个单位 4

? ? π? π? 即:y=sin?-2x-2?=-sin?2x+2?=-cos ? ? ? ?

? ? π?? y=sin?-2?x+4??, ? ? ??

2x.

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1.3.1(四)

本 课 时 栏 目 开 关

由y=sin x的图象,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象,其变化途径有两条: 相位变换 周期变换 (1)y=sin x―――――→y=sin(x+φ)―――――→ 振幅变换 y=sin(ωx+φ)―――――→y=Asin(ωx+φ). 周期变换 相位变换 (2)y=sin x―――――→y=sin ωx―――――→ φ 振幅变换 y=sin[ω(x+ω)]=sin(ωx+φ)―――――→ y=Asin(ωx+φ). 注意:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同: (1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后 |φ| 相位变换,平移 ω 个单位,这是很易出错的地方,应特别注意.



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