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已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q


(2006?辽宁)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn2-2n+q(p,q∈R),n∈ N+. (Ⅰ)求的 q 值; (Ⅱ) a1 与 a5 的等差中项为 18, n 满足 an=2log2bn, 若 b 求数列{bn}的前 n 和 Tn.

考点:等差数列的性质;数列的求和. 专题:综合题. 分析:(Ⅰ)先令 n=1 得到 a1,然后当 n≥2 时,利用 an=Sn-sn-1 得到 an 的通项
公式,因为 a1 符合 n≥2 时,an 的形式,把 n=1 代入求出 q 即可; (Ⅱ)a1 与 a5 的等差中项为 18 得 a3= a1+a5 /2,求出 a3,代入通项公式求出 p 的值,得到 an,把 an 代入到 an=2log2bn,得到 bn 的通项公式,发现{bn}是首项 为 2,公比为 16 的等比数列,利用等比数列的求和公式求出即可.

解答:解:(Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1=p-2+q
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn2-2n+q-p(n-1)2+2(n-1)-q=2pn-p-2 ∵{an}是等差数列,a1 符合 n≥2 时,an 的形式, ∴p-2+q=2p-p-2, ∴q=0 (Ⅱ)∵a3= a1+a5/2,由题意得 a3=18 又 a3=6p-p-2,∴6p-p-2=18,解得 p=4 ∴an=8n-6 由 an=2log2bn,得 bn=24n-3. ∴b1=2,bn+1 / bn=24(n+1)-3 /24n-3=24=16,即{bn}是首项为 2,公比为 16 的等比 数列 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=2(1-16n)/ 1-16=2/15(16n-1).

点评:考查学生会利用等差数列的前 n+1 项的和与前 n 项的和相减得到等差数
列的通项公式,以及会求等比数列的前 n 项的和.

已知数列{2n-1?an}的前 n 项和 Sn=9-6n (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=n(3-log2 |an|/3),求数列{1/ bn }的前 n 项和.

考点:数列的求和. 专题:计算题. 分析:(1)先根据数列{2n-1?an}的前 n 项和 Sn=9-6n 求出数列{2n-1?an}的通项公
式,再计算数列{an}的通项公式. (2)根据 bn=n(3-log2 |an|/3),以及(1)中求出的数列{an}的通项公式,求出数 列{bn}的通项公式,再求出数列{1/ bn }的通项公式,最后利用裂项相消法求前 n 项和.

解答:解:(1)n=1 时,20?a1=S1=3∴a1=3
n≥2 时,2n-1?an=Sn-Sn-1=-6∴an=-3/2n-2 ∴通项公式 an={3 n=1

-3/2n-2 n≥2 (2)当 n=1 时,b1=3-log2 3/3=3 ∴1/ b1 =1/3 n≥2 时,bn=n(3-log23/3?2n-2)=n(n+1) ∴1/ bn=1/ n(n+1) ∴ 1/b1+1/b2+1/b3+…+1/bn=1/3+1/2×3+1/3×4+…+1/n(n+1)=5/6-1/n+1=5n-1/6(n+ 1)

点评:本题考查了构造法求数列的通项公式,以及裂项相消法求数列的和.


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