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数列的综合应用课件


学习目标:
1.熟练掌握等差、等比数列的公式与性质

2.掌握数列与不等式的综合问题的解法

一、热身: 如果等比数列{an}的首项为正数,公比大于1, 那么数列{log 1 an}是 ( )
2

A.递增的等差数列 C.递增的等比数列

B.递减的等差数列 D.递减的等比数列

二、数列与不等式的综合问题 og 1.已知数列 ?l 2 (an ? 1)?是等差数列, a1 ? 3, a2 ? 5 (1)求数列?an ? 的通项公式
1 1 1 ? ?? ? (2)设Tn ? a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 1 求证: ? T ? 1 n 2

og 1.已知数列 ?l 2 (an ? 1)?是等差数列, a1 ? 3, a2 ? 5

(1)求数列?an ? 的通项公式 1 1 1 1 ? ?? ? (2)设Tn ? 求证: ? Tn ? 1 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2

解:(1) 设bn ? log 2 (an ? 1) 则 {bn }是等差数列 b1 ? log 2 2 ? 1, b2 ? log2 4 ? 2 b 所以公差 d ? 1 , n ? n n 即 log2 (an ? 1) ? n,? an ? 2 ? 1 1 1 n [1 ? ( ) ] 1 1 (2) 2 ? 1 ? ( 1 )n ? n ?T ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 n an ?1 ? an 2 1 2 22 2n 2 1? n 2 ?1? 1 1 ? 0 ? ? ? ? ,? ? Tn ? 1 ? 2? 2 2

? a1 ? a2 ??? an ? 5(n ? N ? ) 1 1 1 1 ? ? 2n 解:f ?( x) ? x ? 2n, ? ? ? 2n ? an ?1 an an?1 an 用累加法解得
(2).对于(1)中的数列,求证: n S

1 2 2.已知二次函数 f ( x ) ? x ? 2nx, f ?( x)是f ( x)的导函数 1 2 1 ? f ?( ), 且a1 ? 4, 求数列?an ? 的通项公式 (1).若数列?an ? 满足 a a
n ?1 n

1 1 1 2 ? n ? n ? ,? an ? 1 an 4 2 n ?n? 1 4 an ? (n ? 2) n(n ? 1)

n ? 2时

S1 ? a1 ? 4 ? 5

1 1 1 1 1 1 ? Sn ? 4 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 4 ? (1 ? ) ? 5 2 2 3 n ?1 n n

点评:在数列中证明不等式常用放缩法,

放缩的总的原则是把不可求和的数列变成可求和的数 列,如果分子是常数,而分母是关于n的二次函数,一 般把数列变成可裂项相消的形式 常见的放缩形式有:
1.添正数放大;去正数缩小

2.缩小分母放大分式;放大分母缩小分式

1 1 1 3. ? 2? n(n ? 1) n n(n ? 1) 2 1 2 ? ? n ? n ?1 n n ? n ?1

题3.已知正项数列?an ? 的前n项和为Sn ,对任意的 3 3 3 2 ? n ? N 都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? Sn (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)若 bn ? 2n ? (?1)n m ? an 是递增数列,求实数 m的取值范围. 3 3 3 2 解:(1)由 a1 ? a2 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 2 得 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? Sn?1 3 2 2 两式相减得 an ? Sn ? Sn ?1 ? an (Sn ? Sn ?1 ) (n ? 2) 2
2 2 两式再相减得: n ? an?1 ? Sn ? Sn?2 ? an ? an?1 a 即:n ? an?1 ? 1(n ? 3) a 又因为 a1 ? 1, a2 ? 2,? a2 ? a1 ? 1 所以 ?an ?是等差数列

? an ? Sn ? Sn ?1 因此a2 ? S ? S (n ? 3) n ?1 n ?1 n?2

an ? n

(2).bn ? 2n ? (?1)n m ? n, bn ? bn?1 恒成立 即:n ? (?1)n mn ? 2n?1 ? (?1)n?1 m(n ? 1) 恒成立 2

? m(?1) (2n ? 1) ? 2 恒成立
n n

2n ) min 当n为偶数时 m ? ( 2n ? 1 2n ) max 当n为奇数时 m ? (? 2n ? 1 n
2 令 cn ? 2n ? 1

则 cn ?1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 4n ? 2 ? 1 cn 2n ? 3 2n ? 3 ??cn ?为递增的数列 2 4 ?? ? m ? 3 5

三、反馈练习 1.正数数列?an ?满足a
an2?1 ? an?1 ? 2Sn

1

?1 ,且对一切正整数n都有

(1)求数列?an ?的通项公式; 1 1 1 (2)求证: ? ?? ? 2 ? 2 2 2 a1 a2 an

小结:
高考中数列常与不等式相结合

遇到不等式的证明问题通常考虑放缩法
有时还可以考虑作差、作商法、数学归 纳法. 遇到恒成立问题通常考虑参数分离法

(注:恒成立问题总是与最值问题相结合, 数列的最值一般考虑其单调性)

作业
1.数列

?an? 成等差数列 且 S3 , S2 , S4

是以4为首项的等比数列,前n项和为

Sn

(1)求

? 1 ? 为数列 ? ?的前n项和,若 (2)设b ? log | a |, T n 2 n n ? bnbn ?1 ?

?an?

的通项公式;

Tn ?bn?1


对一切正整数n恒成立,求实数

?

的最小值.

基础过关:
1.等差数列 ?an ?中, 2 ? a7 ? 12 则前8项的和 S8 ? 48 a
a 2.在等比数列 ?an ?中,3 ? 2, a5 ? m, a7 ? 8,则 m ?

4

3.设等差数列 ?an ?的公差 d 不为0,a1 ? 9d 若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k=

4

3x 4.已知 f ( x) ? 数列 ?an ? 满足 an ? f (an?1 )(n ? 2), a1 ? 1 x?3 3 则 an ? n?2



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