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河北省邢台一中2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河北省邢台一中高一(上)第二次月考数学试卷
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.下列各组函数表示相等函数的是( A.y= 与 y=x+2 B.y=

) 与 y=x﹣3 D.y=x0 与 y=1

C.y=2x﹣1(x≥0)与 s=2t﹣1(t≥0)

2.函数 f(x)=

的定义域是(

)

A. (0, C.

∪( D.

,+∞)

B. (



3.下列有关函数性质的说法,不正确的是( ) A.若 f(x)为增函数,g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数 B.若 f(x)为减函数,g(x)为增函数,则 f(x)﹣g(x)为减函数 C.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 f(x)﹣g(x)为奇函数 D.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则|f(x)|﹣g(x)为偶函数 4.已知 f(2x+1)=x2﹣2x﹣5,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=4x2﹣6 C.f(x)= B.f(x)= D.f(x)=x2﹣2x﹣5 )

5.已知 f(x)=ax3+bx﹣ A.3 B.﹣1 C.7

,若 f(3)=5,则 f(﹣3)的值为( D.﹣3 )

)

6.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( A.y= B.y=ln(x+

) C.y=x﹣ex D.y=

7.函数 y=

的单调递增区间为(

)

A. (﹣∞,0] B.[0,+∞) C. (﹣1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)

8.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( ①loga(MN)=logaM+logaN ②loga(M﹣N)=

)

③ A.2 B.3

④(am)n=amn C.4 D.5

⑤loganb=﹣nlogab.

9.若不等式 x2﹣ax﹣1≥0 对 x∈[1,3]恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.a≤0 B.a≤ C.0 D.a

)

10.函数 y=loga(2x﹣3)+ 象上,则 f(4)=( A.2 B. C. )

(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,且 P 在幂函数 f(x)的图

D.16

11.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上单调递减,若 f(1﹣2a)<f(|a ) ﹣2|) ,则实数 a 的取值范围为( A.a<1 B.a>1 C.﹣1<a<1 D.a<﹣1 或 a>1

12.已知 a=

,b=ln2,c=

,则(

)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b

二.填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.log7[log5(log2x)]=0,则 的值为__________.

14.已知幂函数 f(x)=(a2﹣a+1)?

是偶函数,则实数 a 的值为__________.

15.若关于 x 的函数 y=loga(ax+1) (a>0 且 a≠1)在[﹣3,﹣2]上单调递减,则实数 a 的取值 范围为__________. 16.若关于 x 的方程|3x﹣1|=k(k 为常数且 k∈R)有两个不同的根,则实数 k 的取值范围为 __________.

三.解答题(共 70 分) (解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|3﹣a<x<2a+7},B={x|x≤3 或 x≥6} (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 18.求下列函数在给定区间上的值域: (1)y= (2)y= ; (x∈[﹣2,4]) ﹣6?2x+1,x∈[﹣1,2].

19.解下列关于 x 的不等式: (1) (2)log2 ; .

20.对于函数 f(x)=a+ (1)判断并证明函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数?若存在求出 a 值;若不存在,请说明理由. 21.经市场调查,某种商品在过去 50 天的销量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且销售 量近似地满足 f(t)=﹣2t+200(1≤t≤50,t∈N) ,前 30 天价格为 g(x)= t+30(1≤t≤30,t∈N) , 后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N) . (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值.

22.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)﹣f (y) , (1)求 f(1)的值; (2)证明 f(x2)=2f(x) (x>0) ; (3)若 f(4)=1,解关于 x 不等式 f(x2+ x)﹣f( )<2.

2015-2016 学年河北省邢台一中高一(上)第二次月考数 学试卷
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.下列各组函数表示相等函数的是( A.y= 与 y=x+2 B.y=

) 与 y=x﹣3

C.y=2x﹣1(x≥0)与 s=2t﹣1(t≥0) D.y=x0 与 y=1 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数. 【解答】解:对于 A,函数 y= 是同一函数; 对于 B,函数 y= (x≤﹣3x≥3) ,与 y=x﹣3(x∈R)的定义域不同,对应关系也不同, =x+2(x≠2) ,与 y=x+2(x∈R)的定义域不同,所以不

所以不是同一函数; 对于 C,函数 y=2x﹣1(x∈R) ,与 y=2t﹣1(t∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是 同一函数; 对于 D,函数 y=x0=1(x≠0) ,与 y=1(x∈R)的定义域不同,所以不是同一函数. 故选:C. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目.

2.函数 f(x)=

的定义域是(

)

A. (0, C.

∪( D.

,+∞)

B. (



【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,对数式的真数大于 0,分式的分母不为 0 联立不等 式组得答案. 【解答】解:由 ,解得 x>0 且 x .

∴函数 f(x)=

的定义域是(0,

∪(

,+∞) .

故选:A. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 3.下列有关函数性质的说法,不正确的是( ) A.若 f(x)为增函数,g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数 B.若 f(x)为减函数,g(x)为增函数,则 f(x)﹣g(x)为减函数 C.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 f(x)﹣g(x)为奇函数 D.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则|f(x)|﹣g(x)为偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】本题考查的是函数单调性、奇偶性的判断和证明问题,在解答时应注意进行单调性、 奇偶性的分析. 【解答】解:若函数 f(x) ,g(x)在 R 上是增函数,则由函数单调性的定义易知:f(x)+g (x)在 R 上也是增函数,即 A 正确; 若 f(x)为减函数,g(x)为增函数,则由函数单调性的定义易知:f(x)﹣g(x)为减函数, 即 B 正确; f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣f(x)﹣g(x)≠﹣f(x)+g(x) ,∴C 不正确; |f(﹣x)|﹣g(﹣x)=|f(x)|﹣g(x) ,∴|f(x)|﹣g(x)为偶函数,即 D 正确. 故选:C. 【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性的判断和证明问题.在解答的过程当中充分体现 了函数单调性、奇偶性的定义. 4.已知 f(2x+1)=x2﹣2x﹣5,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=4x2﹣6 C.f(x)= B.f(x)= D.f(x)=x2﹣2x﹣5 )

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】整体思想;配方法;函数的性质及应用. 【分析】运用“凑配法”或“换元法”求函数解析式. 【解答】解:方法一:用“凑配法”求解析式,过程如下: ; ∴ .

方法二:用“换元法”求解析式,过程如下: 令 t=2x+1,所以,x= (t﹣1) , ∴f(t)= (t﹣1)2﹣2× (t﹣1)﹣5= t2﹣ t﹣ ,

∴f(x)= x2﹣ x﹣



故选:B. 【点评】本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法,主要是凑配法和换元法,属于基础 题. 5.已知 f(x)=ax3+bx﹣ A.3 B.﹣1 C.7

,若 f(3)=5,则 f(﹣3)的值为( D.﹣3

)

【考点】函数的值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由已知得 27a+3b﹣ =3,由此能求出 f(﹣3 的值. 【解答】解:∵f(x)=ax3+bx﹣ ∴ ∴27a+3b﹣ =3, ∴f(﹣3)=﹣27a﹣3b+ +2=﹣(27a+3b﹣ )+2=﹣3+2=﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 6.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( A.y= B.y=ln(x+ ) +2=5, ,f(3)=5,

) C.y=x﹣ex D.y=

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】方程思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】先求函数的定义域,看是否关于原点对称,再计算 f(﹣x)与±f(x)的关系,即可 判断出奇偶性. }, 【解答】解:A.由 x2﹣2≥0,解得 或x ,其定义域为{x| 或x 关于原点对称,又 f(﹣x)=f(x) ,因此为偶函数; B.由 x+ =﹣ln(x+ ≥0,解得 x∈R,其定义域为 R,关于原点对称,又 f(﹣x)=ln(﹣x+ )=﹣f(x) ,因此为奇函数; )

C.其定义域为 R,关于原点对称,但是 f(﹣x)=﹣x﹣e﹣x≠±f(x) ,因此为非奇非偶函数; D. f x) = 由 ex>0, 解得 x∈R, 其定义域为 R, 关于原点对称, 又 (﹣ ﹣f(x) ,因此为奇函数. 故选:C. =e﹣x﹣ex= =

【点评】本题考查了函数的定义域求法、函数奇偶性的判定,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

7.函数 y=

的单调递增区间为(

)

A. (﹣∞,0] B.[0,+∞) C. (﹣1,+∞) D. (﹣∞,﹣1) 【考点】指数函数的图像变换. 【专题】应用题;数形结合;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 【解答】解:∵y= ∴设 t=x2﹣1,则 y= t, 则函数 t=x2﹣1 在(﹣∞,0],y= ∴y=
t



在其定义域上都是减函数,

在(﹣∞,0]上是单调递增,

故选:A. 【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判定,利用指数函数的单调性的性质是解决本题 的关键. 8.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( ①loga(MN)=logaM+logaN ②loga(M﹣N)= )

③ A.2 B.3

④(am)n=amn C.4 D.5

⑤loganb=﹣nlogab.

【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数与指数的运算法则判断即可. 【解答】解:①loga(MN)=logaM+logaN 满足导数的运算法则,正确; ②loga(M﹣N)= ,不满足对数的运算法则,不正确;



满足分数指数幂的运算法则,正确;

④(am)n=amn 满足有理指数幂的运算法则,正确; ⑤loganb=﹣nlogab.不满足对数的运算法则,不正确; 不正确的命题有 3 个. 故选:B.

【点评】本题考查对数以及指数的运算法则的应用,基本知识的考查. 9.若不等式 x2﹣ax﹣1≥0 对 x∈[1,3]恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.a≤0 B.a≤ C.0 D.a )

【考点】二次函数的性质;函数恒成立问题. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】分离参数,构造函数,利用函数的单调性即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵不等式 x2﹣ax﹣1≥0 对 x∈[1,3]恒成立, ∴a≤x﹣ 对所有 x∈[1,3]都成立, 令 y=x﹣ ,∴y′=1+ >0,

∴函数 y=x﹣ 在[1,3]上单调递增, ∴x=1 时,函数取得最小值为 0, ∴a≤0, 故选:A. 【点评】本题考查不等式恒成立问题,解题的关键是分离参数,构造函数,利用函数的单调 性求解.

10.函数 y=loga(2x﹣3)+ 象上,则 f(4)=( A.2 B. C. )

(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,且 P 在幂函数 f(x)的图

D.16

【考点】对数函数的图像与性质;函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】先求出函数恒过的定点,从而求出幂函数的解析式,从而求出 f(4)的值即可. 【解答】解:∵y=loga(2x﹣3)+ ∴其图象恒过定点 P(2, ) , ,

设幂函数 f(x)=xα, ∵P 在幂函数 f(x)的图象上, ∴2α= ,

∴α=﹣ . ∴f(x)= ∴f(4)= . 故选:B. .

【点评】本题考查了对数函数、幂函数的性质,是一道基础题. 11.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上单调递减,若 f(1﹣2a)<f(|a ) ﹣2|) ,则实数 a 的取值范围为( A.a<1 B.a>1 C.﹣1<a<1 D.a<﹣1 或 a>1 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性的性质将 f(1﹣2a)<f(|a﹣2|)等价为 f(|1﹣2a|)<f(|a﹣2|) , 然后利用函数的单调性解不等式即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(1﹣2a)<f(|a﹣2|)等价为 f(|1﹣2a|)<f(|a﹣2|) , ∵偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]上单调递减, ∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴|1﹣2a|<|a﹣2|,解得﹣1<a<1, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数是偶函数将不等式转化为 f(|1﹣2a|)<f (|a﹣2|)是解决本题的关键.

12.已知 a=

,b=ln2,c=

,则(

)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 【考点】对数值大小的比较. 【专题】证明题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】先利用换底公式得到 再与 c 比较即可. 【解答】解:a= =log32,b=ln2,c= = , = < , =log32,利用对数的性质可比较 log32 与 ln2 的大小,

∴ln2>log32>log3

∴c<a<b, 故选:D. 【点评】本题考查对数值大小的比较,比较 a 与 b 的大小是难点,属于中档题. 二.填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.log7[log5(log2x)]=0,则 的值为 .

【考点】函数的零点;对数的运算性质. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】利用方程通过对数运算法则直接求解即可 【解答】解:log7[log5(log2x)]=0,

可得 log5(log2x)=1, 即 log2x=5, ∴x=32. = 故答案为: . 【点评】本题考查方程的解,对数方程的求法,考查计算能力. 14.已知幂函数 f(x)=(a2﹣a+1)?

是偶函数,则实数 a 的值为 1.

【考点】幂函数的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】幂函数 f(x)=(a2﹣a+1)? 可得出. 【解答】解:∵幂函数 f(x)=(a2﹣a+1)? ∴a2﹣a+1=1, 解得 a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 15.若关于 x 的函数 y=loga(ax+1) (a>0 且 a≠1)在[﹣3,﹣2]上单调递减,则实数 a 的取值 范围为 0<a< . 【考点】复合函数的单调性. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由 a>0 可知内函数为增函数,再由复合函数的单调性可知外函数为定义域内的减函 数,最后由真数在[﹣3,﹣2]上的最小值大于 0 求出 a 的范围,取交集得答案. 【解答】解:∵a>0,∴内函数 t=ax+1 在[﹣3,﹣2]上单调递增, 要使函数 y=loga(ax+1) (a>0 且 a≠1)在[﹣3,﹣2]上单调递减, 则外函数 y=logat 为定义域内的减函数, ∴0<a<1, 又由 t=ax+1 在[﹣3,﹣2]上单调递增,则最小值为﹣3a=1, 由﹣3a+1>0,可得 3a<1,即 a< . 综上,0 . 是偶数. 是偶函数, 是偶函数,可得 a2﹣a+1=1, 是偶数.解出即

故答案为:0<a< .

【点评】本题考查复合函数的单调性,该题解法灵活,体现了逆向思维原则,避免了繁杂的 分类讨论,是中档题. 16. 若关于 x 的方程|3x﹣1|=k (k 为常数且 k∈R) 有两个不同的根, 则实数 k 的取值范围为 (0, 1) . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;作图题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】作函数 y=|3x﹣1|与 y=k 的图象,从而由题意可得函数 y=|3x﹣1|与 y=k 的图象有两个 不同的交点,从而解得. 【解答】解:作函数 y=|3x﹣1|与 y=k 的图象如下,



∵方程|3x﹣1|=k 有两个不同的根, ∴函数 y=|3x﹣1|与 y=k 的图象有两个不同的交点, ∴0<k<1; 故答案为: (0,1) . 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用. 三.解答题(共 70 分) (解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|3﹣a<x<2a+7},B={x|x≤3 或 x≥6} (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】 (1)把 a=3 代入 A 中不等式确定出解集,找出两集合的交集即可; (2)由 A 与 B 的交集为空集,分 A 为空集与 A 不为空集两种情况求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)把 a=3 代入 A 中不等式得:0<x<13,即 A=(0,13) , ∵B={x|x≤3 或 x≥6}, ∴A∩B=(0,3]∪[6,13) ; (2)∵A=(3﹣a,2a+7) ,B=(﹣∞,3]∪[6,+∞) ,且 A∩B=?, ∴当 A=?时,则有 3﹣a≥2a+7,即 a≤﹣ ,满足题意;

当 A≠?时,则有 3﹣a<2a+7,且 综上,实数 a 的取值范围是 a≤﹣ .

,即﹣ <a≤﹣ ,

【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 18.求下列函数在给定区间上的值域: (1)y= (2)y= ; (x∈[﹣2,4]) ﹣6?2x+1,x∈[﹣1,2].

【考点】函数的值域. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)变形 y= =3﹣ ,利用反比例函数的单调性即可得出; ﹣ ,利用指数函数与二次函数的单

(2)化简 y=f(x)=2?(2x)2﹣6?2x+1=2 调性即可得出. 【解答】解: (1)y= ∵x∈[﹣2,4],∴ ∴y∈ . ∈ , =3﹣ ,

(2)y=f(x)=2?(2x)2﹣6?2x+1=2 ∵x∈[﹣1,2],∴2x∈ , ,

﹣ ,

∴当 2x= 时,f(x)d 的最小值为

又 f(﹣1)=﹣ ,f(2)=9,因此 f(x)的最大值为 9. ∴函数 f(x)的值域为 .

【点评】本题考查了反比例函数、指数函数与二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 19.解下列关于 x 的不等式: (1) (2)log2 ; .

【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;数学模型法;不等式的解法及应用.

【分析】 (1)化为同底数,然后利用指数式的单调性化为一元二次不等式求解; (2)利用对数的运算性质变形,化为同底数,再由对数的运算性质得答案. 【解答】解: (1)由 ∴不等式 (2)由 log2 即 ∴不等式 log2 ,解得 0 = 的解集为(0,2) ; ,得 , 的解集为(0, ) . , ,得 x2﹣2x<0,解得 0<x<2,

【点评】本题考查指数不等式和对数不等式的解法,考查了数学转化思想方法,是中档题.

20.对于函数 f(x)=a+ (1)判断并证明函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数?若存在求出 a 值;若不存在,请说明理由. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数思想;作差法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)先判断函数的单调性,再利用单调性的定义证题步骤:取值、作差、变形定号、 下结论,即可证得; (Ⅱ)假设存在 a 满足条件,求出函数的定义域,利用函数奇偶性的定义得 f(﹣x)=﹣f(x) , 化简后求值. 【解答】解: (1)单调递减,证明如下: 设 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=a+ ﹣(a+ )

=

=



∴ ∵x1<x2,∴ 又 , ,则 , ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,则 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数;…6 分 (2)假设存在实数 a 满足条件, ∵函数 f(x)的定义域是 R,∴f(﹣x)=﹣f(x) , 则 =﹣( ) ,

化简得 2a=﹣



=﹣1,解得 a=



∴存在 a=

使 f(x)是奇函数.

【点评】本题考查函数单调性的证明及奇偶性的定义,掌握单调性的定义证题步骤是关键, 考查化简、变形能力,属于中档题. 21.经市场调查,某种商品在过去 50 天的销量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且销售 量近似地满足 f(t)=﹣2t+200(1≤t≤50,t∈N) ,前 30 天价格为 g(x)= t+30(1≤t≤30,t∈N) , 后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N) . (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】计算题;应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由题意,S=f(t)?g(t)= (2)分别求当 1≤t≤30 时与当 31≤t≤50 时的最值,从而求最值. 【解答】解: (1)由题意, S=f(t)g(t)= (2)当 1≤t≤30 时, S=(﹣2t+200) (12t+30) =﹣24(t2﹣97.5t﹣250) ; 故对称轴为 x= >40; ; ;

故 S 在[1,30]上是增函数, 故 Smax=S(30)=54600; 当 31≤t≤50 时, S=45(﹣2t+200)是[31,50]上的减函数, 故 Smax=S(31)=6210; 故日销售额 S 的最大值为 54600 元. 【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用,属于基础题.

22.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)﹣f (y) , (1)求 f(1)的值; (2)证明 f(x2)=2f(x) (x>0) ; (3)若 f(4)=1,解关于 x 不等式 f(x2+ x)﹣f( )<2.

【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)令 x=y=1,即可求得 f(1)的值; (2)令 y= ,得到 f(x2)=f(x)﹣f( ) ,而 f( )=f(1)﹣f(x)=﹣f(x) ,问题得以 证明. (3)令 x=16,y=4,求出 f(16)=2,根据函数的单调性得到不等式组,解得即可. 【解答】解: (1)令 x=y=1,由 f( )=f(x)﹣f(y) , 可得 f(1)=f(1)﹣f(1) , 即有 f(1)=0; (2)令 y= , ∴f(x2)=f(x)﹣f( )=f(x)﹣[f(1)﹣f(x)]=f(x)+f(x)=2f(x) , ∴f(x2)=2f(x) (x>0) ; (3)令 x=16,y=4, ∴f(4)=f(16)﹣f(4) , ∴f(16)=2f(4)=2, ∵f(x2+ x)﹣f( )<2, ∴f(3x2+8x)<f(16) , ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ∴ ,

解得:﹣4<x<﹣ ,或 0<x< , ∴不等式得解集(﹣4,﹣ )∪(0, ) . 【点评】本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解决抽象函数的基本方法.结合函数 的单调性是解决本题的关键.


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