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第3讲等比数列及其前n项和


第3讲

等比数列及其前 n 项和

【2013 年高考会这样考】 1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定. 2.考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本讲复习时,紧扣等比数列的定义,掌握其通项公式和前 n 项和公式,求和时要注意验 证公比 q 是否为 1;对等比数列的性质应用要灵活,运算中要注意方程思想的应 用 .

基础梳理 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这 个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 - 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·n 1. q 3.等比中项 若 G2=a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 - (1)通项公式的推广:an=am·n m,(n,m∈N+). q (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak·l=am·n. a a ?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{an},{an·n},?b ?仍是 b ? n? ? n? 等比数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数 列,其公比为 qn. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: - Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn= (q≠1). 1-q 两个防范 (1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽 略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*),则{an} an an-1 是等比数列. (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 a2+1=an·n+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. a n

(3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·n(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则 q {an}是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列. 双基自测 1.(人教 B 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是 ( ).

A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定数列的增减性 解析 当 a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列, 当 q<0,数列{an}为摆动数列. 答案 D 1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( ). 4 1 1 A.- B.-2 C.2 D. 2 2 1 1 3 a5 解析 由题意知:q = = ,∴q= . a2 8 2 答案 D 3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2·6 等于( a ). A.4 B.8 C.16 D.32 2 解析 由等比数列的性质得:a2a6=a4=16. 答案 C S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( ). S2 A.-11 B.-8 C.5 D.11 解析 设等比数列的首项为 a1,公比为 q.因为 8a2+a5=0,所以 8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2, 5 S5 a1?1-q ? 1-q ∴ = · S2 1-q a1?1-q2? 1-q5 1-?-2?5 = = =-11. 1-q2 1-4 答案 A 5.(2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________. 9×8 4×3 解析 设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1,得 9×1+ d=4×1+ d,所以 d 2 2 1 1 1 =- .又 ak+a4=0,所以?1+?k-1?×?-6??+?1+?4-1?×?-6? ]=0,即 k=10. ? ? ?? ? ? ? 6 答案 10

考向一 等比数列基本量的计算 【例 1】?(2011· 全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30.求 an 和 Sn. [审题视点] 列方程组求首项 a1 和公差 d.



设{an}的公比为 q,由题设得?

?a1q=6, ? ? ?6a1+a1q =30,
2

?a1=3, ?a1=2, ? ? 解得? 或? ?q=2 ?q=3. ? ? - 当 a1=3,q=2 时,an=3·n 1,Sn=3· n-1); 2 (2 n-1 n 当 a1=2,q=3 时,an=2· ,Sn=3 -1. 3 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1, n,q,an,Sn 一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 32 【训练 1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·4= ,且公比 q∈(0,1). a 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. 32 解 (1)∵a3·4=a1·6= , a a 9 又 a1+a6=11, 32 故 a1,a6 看作方程 x2-11x+ =0 的两根, 9 32 1 又 q∈(0,1)∴a1= ,a6= , 3 3 a6 1 1 ∴q5= = ,∴q= , a1 32 2 32 ?1 - 1 ?1 - ∴an= ·2?n 1= ·2?n 6. 3 ? ? 3? ? 1 64? (2)由(1)知 Sn= ?1-2n?=21,解得 n=6. ? 3 考向二 等比数列的判定或证明 an+an+1 【例 2】?(2012· 长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*. 2 (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an-1+an [审题视点] 第(1)问把 bn=an+1-an 中 an+1 换为 整理可证; 第(2)问可用叠加法求 2 an. (1)证明 b1=a2-a1=1. an-1+an 1 1 当 n≥2 时,bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)=- bn-1, 2 2 2 1 ∴{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2 1 - (2)解 由(1)知 bn=an+1-an=?-2?n 1, ? ? 1 1 - 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+1+?-2?+?+?-2?n 2 ? ? ? ? 1 - 1-?-2?n 1 ? ? 1 - 2 =1+ =1+ ?1-?-2?n 1? 1? 3? ? ? ? 1-?-2? ? 5 2 1 - = - ?-2?n 1. 3 3? ? 5 2 1 - 当 n=1 时, - ?-2?1 1=1=a1, 3 3? ? 5 2 1 - ∴an= - ?-2?n 1(n∈N*). 3 3? ?

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、 填空题中的判定; 若证明某数列不是等比数列, 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 1 - - 2 n 【训练 2】 (2011· 四川)设 d 为非零实数,an= [C1d+2Cnd2+?+(n-1)Cn 1dn 1+nCn n n n dn](n∈N*). (1)写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设 bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知可得 a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2. k - 当 n≥2,k≥1 时, Ck =Ck -1 ,因此 n 1 n n n n n-1 k - - an=∑ Ck dk=∑ Ck -1 dk=d∑ Ck -1dk=d(d+1)n 1. n n 1 n k=1 n k=1 k=0 由此可见,当 d≠-1 时,{an}是以 d 为首项,d+1 为公比的等比数列; 当 d=-1 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列. - - (2)由(1)可知,an=d(d+1)n 1,从而 bn=nd2(d+1)n 1 - - Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+?+(n-1)(d+1)n 2+n(d+1)n 1].① 2 当 d=-1 时,Sn=d =1. 当 d≠-1 时,①式两边同乘 d+1 得 - (d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+?+(n-1)(d+1)n 1+n(d+1)n].② ①,②式相减可得 - -dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+?+(d+1)n 1-n(d+1)n] n ?d+1? -1 =d2? -n?d+1?n?. d ? ? 化简即得 Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 考向三 等比数列的性质及应用 【例 3】?已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和. [审题视点] 利用等比数列的性质:依次 n 项的和成等比数列. 解 ∵Sn=2,其后 2n 项为 S3n-Sn=S3n-2=12, ∴S3n=14. 由等比数列的性质知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 即(S2n-2)2=2· (14-S2n)解得 S2n=-4,或 S2n=6. 当 S2n=-4 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?是首项为 2,公比为-3 的等比数列, 则 S6n=Sn+(S2n-Sn)+?+(S6n-S5n)=-364, ∴再后 3n 项的和为 S6n-S3n=-364-14=-378. 当 S2n=6 时,同理可得再后 3n 项的和为 S6n-S3n=126-14=112. 故所求的和为-378 或 112. 本题利用了等比数列的性质中的第 4 条,其和 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比 数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列. 1 【训练 3】 (2011· 北京)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________; 2 |a1|+|a2|+?+|an|=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2; 1 1 - 等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|= ×2n 1,所以|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= (1+2+22 2 2 1 n 1 n-1 n-1 +?+2 )= (2 -1)=2 - . 2 2 1 - 答案 -2 2n 1- 2

规范解答 11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题 【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学生综合 能力的选拔性考试, 将两类数列综合起来考查是高考的重点. 这类问题多属于两者基本运算 的综合题以及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公比,再灵活利用性质转 化条件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决.

【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ? 正确设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d,从而求出数 列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问. [解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15, 解得 a=5.(2 分) 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).(4 分) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 由 b3=b1·2,即 5=b1·2, 2 2 5 解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4 5 n-1 - bn= · =5·n 3.(6 分) 2 2 4 5 ?1-2n? 4 5 5 - - (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5·n 2- ,即 Sn+ =5·n 2.(8 分) 2 2 4 4 1-2 5 S++ - 2n 1 5 5 n 1 4 5· 所以 S1+ = , = n-2=2.(10 分) 4 2 5 5· 2 Sn+ 4 5? ? 5 因此?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列.(12 分) 2 ? ? 关于等差(比)数列的基本运算, 其实质就是解方程或方程组, 需要认真计算, 灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式 分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运用等差(比)数列的基本 性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.


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