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湖北省武汉市第二中学、麻城一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案]


武汉二中、麻城一中 2014-2015 学年度下学期期中联考 高一理科数学试卷 命题学校:麻城一中 命题教师:张新元 审题教师:李钢锋 考试时间:2015 年 4 月 24 日下午 2:30—4:30 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知向量 a =(1,-cos θ ), b =(1,2cos θ )且 a ⊥ b ,则 cos 2θ 等于( A.-1 B.0 1 C. 2 ). C. 1 3 D. 2 3 ). D. 2 2 )

π? 1 2? 2.已知 sin 2α = ,则 cos ?α - ?=( 4? 3 ? A.- 1 3
2

2 B.- 3
2

3. 关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1, x2), 且 x2-x1=15, 则 a 等于( A. 5 2 7 B. 2 C. 15 4 15 D. 2 ).

1 ln x ln x ?1 4.若 x∈( e ,1),a=ln x,b=( ) ,c=e ,则 a,b,c 的大小关系是( 2 A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c

5.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n,Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

3 5 * 6.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x)(x∈R),且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N )前 20 项 2 2 的和为( A.305 ) B.315 C.325 D.335 ).
2

7.在△ABC 中,若 a=2b,面积记作 S,则下列结论中一定成立的是( A.B>30° B.A=2B C.c<b

D.S ≤ b

8.已知△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则△AOC 的面积 为( ).

-1-

A.

2 5

B.

1 2

C.

3 10

D.

6 5

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面积,若

acos B+bcos A=csin C,S= (b2+c2-a2),则角 B 等于(
A.90° B.60° C.45°

1 4

). D.30°
f (? x)

10.已知函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3 cos(2x+θ )(x∈R)满足 2015 π? f ( x) 在? ?0, 4 ?上是减函数,则 θ 的一个可能值是( ? ? A. π 3 2π B. 3
2 2

?

1 ,且 2015 f ( x )

). 4π 3 5π D. 3 )

C.

11. 在△ABC 中, 动点 P 满足 CA ? CB ? 2 AB ? CP , 则 P 点轨迹一定通过△ABC 的 ( A. 外心 B. 内心
*

C. 重心

D. 垂心

12.已知数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N ,且 a5= 记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 项和为( A.0 B.-9 ) C.9

π 2x .若函数 f(x)=sin2x+2cos , 2 2

D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.不等式

x?5 ? 2 的解集是__________. ( x ? 1) 2

? 14. 已知函数 f(x)=x+sin x, 项数为 19 的等差数列{an}满足 an∈?- ?

π π? , ?, 且公差 d≠ 0. 2 2?

若 f(a1)+f(a2)+…+f(a18)+f(a19)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. 2x+y-2 ≥0, ? ? 15.已知实数 x,y 满足约束条件?x-2y+4 ≥0, ? ?3x-y-3 ≤0, 则实数 k=________. 16.关于函数 f(x)=2(sinx-cos x)cos x 的四个结论: ①最大值为 2; π ②把函数 f(x)= 2sin2x-1 的图象向右平移 个单位后可得到函数 f(x)=2(sinx-cosx)cos 4

且目标函数 z=kx+y 的最大值为 11,

x 的图象;
③单调递增区间为?kπ +

? ?

7π 11π ? ,kπ + (k∈Z); 8 8 ? ?

-2-

π ?k ? ④图象的对称中心为? π + ,-1?(k∈Z).其中正确的结论有________.(将你认为正确结 8 ?2 ? 论的序号都填上) . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)

? 1 1? 2 (1)已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?,求 a+c 的值; ? 3 2?
2x-y ≥ 0, ? ? (2)已知实数 x,y 满足不等式组?x+2y≥ 0, ? ?3x+y-5≤ 0,

求 2x+y 的最大值;

18. (本题满分 12 分) 已知向量 OP ? ( 2 cos(

? ? ? x), ?1) , OQ ? (? sin( ? x), cos 2 x) ,定义函数 f ( x) ? OP ? OQ 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的表达式,并指出其最大值和最小值. (2)在锐角△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 f(A)=1, bc=8, 求△ABC 的面积 S.

19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是 a、b、c,满足 b +c =bc+a . (1)求角 A 的大小; (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 4
2 2 2

anan+1

}的前

n 项和 Sn.

20. (本题满分 12 分) 已知 f(x)= a ? b ,其中 a =(2cos x,- 3sin 2x), b =(cos x,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; → → (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,AB·AC=3,求边 长 b 和 c 的值(b>c).

21. (本题满分 12 分)
-3-

已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 {an } 的通项公式 an ; ? an 2 ?
n

(2)数列 {bn } 满足 bn ? (3 ? 1) ?

n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn; 2n n 2 n ?1
对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围.

(3)对于(2)中 Tn ,若不等式 (?1) n ? < Tn ?

22. (本题满分 12 分) 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c),已知 f(1)=0,且存实数 m,使 f(m)=-a. (1)试推断
2

b 与 0 的大小,并说明理由; 2a

(2)设 g(x)=f(x)+bx, 对于 x1,x2∈R, 且 x1≠ x2, 若 g(x1)=g(x2)=0, 求|x1-x2|的取值范围; (3)求证:f(m+3)>0.

-4-

武汉二中、麻城一中 2014-2015 学年度下学期期中联考 高一理科数学试卷参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 B 11 A 12 C

8. 答案

A 解析

→ → 2 → 2, →2 →2 → → 依题意得,(3OA+5OC) =(-4OB) 9OA +25OC +30OA·OC=

3 4 →2 2 16OB ,即 34+30cos∠AOC=16,cos∠AOC=- ,sin∠AOC= 1-cos ∠AOC= ,△AOC 的 5 5 1 → → 2 面积为 |OA||OC|sin ∠AOC= . 2 5 10. 答案 = 1 2014 B 解析

? f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )=2sin?2x+θ + ?

π? f(-x) ,由 2014 3? ?

π ,所以 f(-x)+f(x)=0,所以函数 f(x)是奇函数.所以 θ + =kπ (k∈Z),即 3

π ? π? θ =kπ - ,故 B,D 可能正确,又因为 f(x)在?0, ?上是减函数,所以 D 不满足条件. 4? 3 ? 12.[答案] C [解析] 据已知得 2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又 f(x)=sin2x

1+cosx +2× =sin2x+1+cosx,因为 a1+a9=a2+a8=…=2a5=π ,故 cosa1+cosa9=cosa2 2 +cosa8=…=cosa5=0,又 2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π ,故 sin2a1+sin2a9=sin2a2 +sin2a8=…=sin2a5=0,故数列{yn}的前 9 项之和为 9,故选 C. 二、填空题 1 13. [- ,1)∪(1,3] 2 14. 答案 10 解析 因为函数 f(x)=x+sin x 是奇函数,所以图象关于原点对称,图象过

原点.而等差数列{an}有 19 项,an∈?- 则必有 f(a10)=0,所以 k=10. 15. 4 16.(3) =sin (4)解析

? π ,π ?,若 f(a )+f(a )+…+f(a )+f(a )=0, ? 1 2 18 19 ? 2 2?

因为 f(x)=2sin xcos x-2cos x 所以最大值为 2-1,故①错误.

2

2x-cos

π? ? 2x-1= 2sin?2x- ?-1. 4? ?

将 f(x) = 2sin 2x - 1 的图象向右平移 π? ? sin?2x- ?-1 的图象,故②错误. 2? ?

π ? π? 个单位后得到 f(x) = 2sin 2 ?x- ? - 1 = 2 4? 4 ?

-5-

由-

π π π π 3π + 2kπ ≤2x - ≤ + 2kπ , 得 - + kπ ≤x≤ + kπ , k∈Z , 即 增 区 间 为 2 4 2 8 8

?-π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z),故③正确. ? 8 ? 8 ? ?
π kπ π 由 2x- =kπ ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z,所以函数的 4 2 8

?kπ π ? 对称中心为? + ,-1?,k∈Z,故④正确. 8 ? 2 ?
三、解答题 17. (1)解析 1 1 ? 1 1? 2 2 由 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?知 a<0,且- , 为方程 ax +2x+c=0 的 3 2 ? 3 2?

1 1 2 1 1 c 两个根,由根与系数的关系得- + =- ,- × = ,解得 a=-12,c=2, 3 2 a 3 2 a ∴ a ? c ? ?10 …………………………………………………………………………(5 分) (2)解析 设 z=2x+y,得 y=-2x+z,作出不等式对应的区域,平移直线 y=-2x+z, 解得?
?x=1, ? ? ?y=2,

?2x-y=0, ? 由图象可知当直线经过点 B 时,直线的截距最大,由? ? ?3x+y-5=0,



B(1,2),代入 z=2x+y,得 z=2x+y=4.………………………………………(10 分)
18. 【解析】 (1)f(x)= · =(-2sinx,-1)·(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x= 和sin ,

所以 f(x)的最大值和最小值分别是 (2)因为 f(A)=1,所以 sin 所以 A= 或 A= .

.…………………………………………(6 分) 所以 2A- = 或 2A- = .

= .

又因为△ABC 为锐角三角形, 所以 A= .因为 bc=8, .…………………………………………………(12 分) ∴

所以△ABC 的面积 S= ×8× =2 19.[解析]
2 2 2

(1)∵b +c -a =bc,

b2+c2-a2 bc 1 1 = = , ∴cosA= , 2bc 2bc 2 2

π 又∵A∈(0,π ),∴A= .…………………………………………………………(4 分) 3 (2)设{an}的公差为 d,由已知得 a1=
2

1 2 =2, 且 a4=a2·a8, cosA

∴(a1+3d) =(a1+d)(a1+7d),且 d 不为零, ∴d=2, ∴an=2n.……………………………………………………………………………(8 分)

-6-



4

anan+1 n



1 n+1

1 1 = - , n n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1- )+( - )+( - )…+( - )=1- = .………………(12 分) 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 20.解 (1)由题意知,f(x)=2cos x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+2cos?2x+
2

? ?

π? ?, 3?

∴f(x)的最小正周期 T=π , ∵y=cos x 在[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)上单调递减, ∴令 2kπ ≤2x+ π π π ≤2kπ +π ,得 kπ - ≤x≤kπ + . 3 6 3

π π? ? ∴f(x)的单调递减区间?kπ - ,kπ + ?,k∈Z.………………………………………(6 分) 6 3? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+ ?=-1, 3? ? π? ? ∴cos?2A+ ?=-1. 3? ?

π π 7π π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π .∴A= . 3 3 3 3 3 → → 2 2 2 2 2 ∵AB·AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=(b+c) -3bc,7=(b+c) -18,

b+c=5,
又 b>c,∴b=3,c=2.………………………………………………………………(12 分)

1 a 2 21.解(1) n ?1 ?3 1 1 ? an 2 ?
∴ an ?
n

1

∴?

? 1 1? 1 1 3 ? ? 为此等比数列且 ? ? a1 2 2 ? an 2 ?

2 …………………………………………………………………………(4 分) 3 ?1 1 2
n ?1

(2)① bn ? n ? ② ∴ (?1)
n

? 2n ? 2 2 n ?1 2 2 2

1 2n

错位相减得: Tn ? 2 ?

n?2 ……………………(8 分) 2n

?<4 ?

① n ? 2k 时, ? < ( 4 ? ② n ? 2k ? 1 时, ? > (

2 k ?1

) min ? 3 ? 4) max ? ?2

2
2k ?2

∴ ? 2 < ? <3……………………………………………………………………(12 分) 22.解: (1)∵ f (m) ? ?a , m ? R ,
2 ∴方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根 ? ? b ? 4a(a ? c) ? 0
2

-7-

∵ f (1) ? 0 ,∴ a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ? ?b . ∵ b 2 ? 4a(?b) ? b(b ? 4a) ? 0 ∵a>b>c,∴a>0,c<0,从而 b ? 3a ? ?(a ? c) ? 4a ∴b ? 0, ∴ ∴c>0.

b ? 0 …………………………………………………………(4 分) 2a
2

(2)据题意,x1,x2 是方程 g ( x) ? 0 即 ax ? 2bx ? c ? 0 的两实根. ∴ | x1 ? x 2 | ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2 2

4b 2 4c 4 4 ? ? 2 (b 2 ? ac) ? 2 [(a ? c) 2 ? ac] 2 a a a a

c c c 1 ? 4[( ) 2 ? ? 1] ? 4( ? ) 2 ? 3 a a a 2
∵a>b ? ?(a ? c) 又 a ? c ? ?b ? 0 ∴( ∴2a> ? c > 0 ? ∴

c >? 2 a

c ? 1. a
∴ | x1 ? x2 |? [2,2 ? 3] …………………………(8 分)

c 1 2 1 9 ? ) ?[ , ] a 2 4 4

(3)∵ f (1) ? 0 ,设 f ( x) ? a ( x ? 1)( x ? ∵ f (m) ? ?a ,∴ a (m ? 1)( m ? ∵

c ) a

c c ) ? ?a ? (m ? 1)( m ? ) ? ?1 <0, a a
∴ f (m ? 3) > f (1) ? 0 .…………(12 分)

c <m<1 ? m > ? 2 . ? m ? 3 >1 a

-8-

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