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1.1.2弧度制


弧 度 制

1.弧度制的概念 2.角度制与弧度制的互化

3.角度制与弧度制的比较

身高:2.26米
体重:125千克

1米=3.28043英尺 1千克=0.4536磅

温故而知新
? 1、角度制的定义 ? 规定周角的1/360为1度的角这种用度做单

位来 度量角的制度叫角度制。 n° 1°

l

R

2、弧长公式及扇形面积公式

n π R l= ——— 180

S= ———
360

2 nπR

讲授新课
1、弧度制
1.定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角.记作1弧度 ,或1 rad ,或1 .

l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度 r
O

设弧AB的长为l,

B l=r
1弧度

r

A

若l=2r,

若l=2πr,

l l = 2 弧度 则∠AOB= 则∠AOB= 2π弧度 = r r
B
2弧度

l=2r O r
A O r

l=2 π r
2π弧度

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱ α︱ =

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r

O

r

A(B)

此角为周角 即为360°

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1° = 180

π 弧度 还可得

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

3、例题
例1 (1) 把67°30′化成弧度:
135 ? ? 解: 67 30? ? ? ? ? 2 ? ? 135 3 ? 67 30? ? rad ? ? ? rad 180 2 8
? ?

3 (2)、把 —π 弧度化成度。 5

解:

3 3 ?rad ? ? 180 ? ? 108 ? 5 5

填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表

角 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360? 度 2? 3? 5 ? ? ? ? ? 3? 弧 0 ? 2? 6 4 3 2 3 4 6 2 度

注意:
1、用弧度为单位表示角的大小时,

“弧 度”二字通常省略不写,但用“度”(°) 为单位不能省。
2、用弧度为单位表示角时,通常写

成 “多少π”的形式。如无特别要求,不用 将π化成小数。 3.在同一个式子中,不要出现角度和弧度 混用的情况。

例2.利用弧度制来推导扇形面积公式:
1 2 (1)S ? ?R ; 2 1 (2)S ? lR. 2

? (0 ? ? ? 2? ) 其中R是半径,l 是弧长,

为圆心角,S是扇形面积。
O R S

l

l 证明:(1)由公式 ? = r 得l=αR

知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n? R n? R

l?

180

,S ?

360
S R

n°转换为弧度
1 2 则 S ? ?R 2

n? ?? 180

1 S ? lR 2

O

l

例3

写出满足下列条件的角的集合(用弧度制):

1、 终边与X轴正半轴重合;
2、 终边与X轴负半轴重合; 3、 终边与X轴重合;

?? | ? ? 2?? (? ? ? )? ?? | ? ? 2?? ? ? (? ? ? )?

? ? ?? | 2? ? ? ? ? 2? ? ? 2 7、第一象限内的角; ? ? ? ? | 2?? ? ? ? ? 2?? ? ? 8、第二象限内的角; ? 2 ? 3? ? ?? | 2?? ? ? ? ? ? 2?? ? 2 9、第三象限内的角; ? 3? ? ? | 2 ?? ? ? ? ? 2?? ? 2? 10、第四象限内的角; ? 2 ?

(? ? ? )? ? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 4、 终边与Y轴正半轴重合; 2 ? ? 3? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 5、 终边与Y轴负半轴重合; 2 ? ? ? ? ? (? ? ? )? ? ? | ? ? ?? ? 6、 终边与Y轴重合; 2 ? ?

?? | ? ? ? ? ?

? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ?
? (? ? ? )? ?

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:

l ? ? ?r

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ? 2 2 (其中l为圆心角?所对的弧长, ? 为圆心角的弧度数)

作业:
P9 习题1.1 A组: 6,7,8,9,10.

例3、把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式: 16? 11? ? (1 ) ;(2)? 315 ;(3) ? .(4) ? 8 3 7 16? 4? (1): ? 4? ? 3 3
7? ? ? ?2? ? (2): ? 315 ? ? 4 4
0

11? 3? (3): ? ? ?2? ? 7 7

(4) ? 8 ? ?4? ? (4? ? 8)

例4
(1)

?

试判断下列各角所在的 象限.
( 2) 11? 5 4 2000 ( 3) ? ? 3 (6) ? 8

5

(4) 1
(1)

( 5)
5 ?0 ?

?
11? 5

?
5

?

?
2

?

?
5

是第一象限角 .

( 2)

11? ? 11? ? ? 2? ? ? 是第一象限角 . 5 5 5

2000 2000 4? ( 3) ? ? ?? ? ? ?668 ?? 3 3 3 4? 3? 2000 又 ?? ? ? ?? ?是 第 三 象 限 角 . 3 2 3

例4

试判断下列各角所在的 象限.
?0 ? 1 ?

(4) 1

?
2

(?? ? 3.1 4 ?

?
2

? 1.57)

? 1是第一象限的角 . 3 ?? ? 4 ? ? ( 5) 4 2 ? 4是第三象限的角 . (6) ? 8 分析 : 由于? ? 3.14, 得 ? 2? ? ?6.28 , ? 4? ? ?12.56.而 ? 8介于两数之间. ? ?8 ? ?4? ? (4? ? 8) 3 又 ? ? ? 4? ? 8 ? ? 2 ? ? 8是第三象限的角 .

解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2?? ? ? (? ? ? )的形式 一般是将其化成 后再根据 ?所在象限予以判断 .

(2? ? 1)? ? ? (? ? ? ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 ? 例 3 ?不 能写 成 3? ? 3 的 形 式, 4? 而 应写 成 2? ? 3

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

练习、下列角的终边相同的是( B ).
? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ C. 2 2
D.

?2k ? 1??与 3k?,k ? Ζ

练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1) y

45

0

x?

?? | 2?? ? ?

?
4

? ? ? 2?? ?

?
2

? (? ? ?)? ?

0 (2)

45

0

x

? ? ? ?? | ?? ? ? ? ? ?? ? 4 2 ?

? (? ? ?)? ?

练习 已知

则:

A ? B ? ?? | ?6 ? ? ? ??, 或0 ? ? ? ??

A ? ?? | 2?? ? ? ? (2k ? 1) ? ( ? ? ?)? B ? ?? | ?6 ? ? ? 6?

解 : 如图
? 2? ? 6

??

0

?

6 2?

当? ? ?2,?3,?时, 或当? ? 1,2,?时, 已 超 出 ( ?6,6)的范围 .


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