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2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案数学文科


2016 年石家庄市第二次模拟考试试题答 案 (数学文科)
一、选择题 二、填空题 三、解答题 17. ( I ) 由 正 弦 定 理 1-5 BAACB 13. 6-10CBADD 14. 11-12AC 15. 6 16. ?6或2

4 5

3 8

a s

A i n

r />
?

b

? Bs i

c 2R ? 可 得 : nC s i n

2 R sin A=3 ? 2R sin B cos C …………………1 分

? A ? B ? C ? ? ?sin A ? sin( B ? C )=3sin B cos C ,
即 sin B cos C ? cos B sin C =3sin B cos C

-------------------------3 分

? cos B sin C =2sin B cos C


?

cos B sin C tan C =2 故 =2 . -------------------------5 sin B cos C tan B

(II) (法一)由 A ? B ? C ? ? 得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 , 即

tan B ? tan C ? ?3 , 1 ? tan B ? tan C

将 tan C ? 2 tan B 代 入 得 :

3 t B a n ? ?3 , 1? 2 2 tB a n

-------------------------7 分

1 , 2 tan B 同正,所以 tan B ? 1 , tan C ? 2 . ……………………8 根据 tan C ? 2 tanB 得 tan C、
解得 tan B ? 1 或 tan B ? ? 分 则 tan A ? 3 ,可得 sin B ?

2 2 5 3 10 , sin C ? , sin A ? , 2 5 10
= 3 1 0 1 0 3 b 2
, ? b ? 5 ------10 分 所 以

代 入 正 弦 定 理 可 得

2

1 1 S?ABC ? ab s iCn ? ? ? 3? 2 2

2 5 5 ? .---------12 3 分 5

(法二)由 A ? B ? C ? ? 得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 , 即

tan B ? tan C ? ?3 , 1 ? tan B ? tan C

将 tan C ? 2 tan B 代 入 得 :

3 t B a n ? ?3 , 1? 2 2 tB a n

-------------------------7 分

B? 解得 tan

1 tan B ? ? 或

1 tan B 同 正 , 所 以 , 根 据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 2

tan B ? 1, tan C ? 2 .……………8 分 又因为 a ? 3b cos C ? 3 所以 b cos C ? 1 ,? ab cos C ? 3 ? ab cos C tan C ? 6 . ---------10


? S?ABC ?

1 1 ab sin C ? ? 6 ? 3 .-------------------------12 分 2 2
正常 男性 女性 合计 9 5 14 偏高 1 5 6 合计 10 10 20

18. 解: (1)由茎叶图可得二维列联表………4 分 (填错一个数,扣 2 分,错两个以上扣 4 分)

n(ad ? bc)2 K2= (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
=
2 20 ? (9 ? 5 ? 5 ? 1) ? 3.810 ? 2.706 10 ? 10 ? 14 ? 6

所 以 能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.10 的 前 提 下 认 为 此 项 血 液 指 标 与 性 别 有 关 系. ………………6 分 (2)由茎叶图可得该样本中此项血液指标偏高的人数为 6,其中男性 1 人,女性 5 人. 用 a 表示男性, bi 表示女性( i ? 1, 2,3, 4,5) .则抽取的方式为 ?a, b1? , ?a, b2 ? , ?a, b3 ? ,

?a, b4 ? , ?a, b5 ? , ?b1 , b2 ? , ?b1 , b3 ? , ?b1 , b4 ? , ?b1 , b5 ? , ?b2 , b3? , ?b2 , b4 ? , ?b2 , b5 ? , ?b3 , b4 ? , ?b3 , b5 ? , ?b4 , b5 ? .共 15 种情况.………8 分
其中男性和女性均被抽到的情况有 ?a, b1? , ?a, b2 ? , ?a, b3 ? , ?a, b4 ? ,?a, b5 ? 共 5 种 情况.…………10 分 所以男性和女性均被抽到的概率为 19.
P

1 .…………………12 分 3

D F A E B

C

解析: (1)在矩形 ABCD 中, AB : BC ? 2 :1 ,且 E 是 AB 的中点,∴ tan ∠ ADE = tan ∠ CAB ?

1 ,………1 分 2

? ? ∴∠ ADE =∠ CAB ,∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥

DE .…………3 分
由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .…………5 分

P

M D G H F A E B
(2)作 DC 的中点 G , GC 的中点 H ,连结 GB 、 HF .……………6 分 ∵ DG ∥ EB ,且 DG ? EB ∴四边形 EBGD 为平行四边形,∴ DE ∥ GB ∵ F 是 BC 的中点, H 是 GC 的中点,∴ HF ∥ GB ,∴ HF ∥ DE .…………8 分 作 H 作 HM ∥ PD 交 PC 于 M ,连结 FM , ∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ,∴平面 HMF ∥平面 PDE ,∴ FM ∥平面 PDE .………10 分 由 HM ∥ PD 可知:∴

C

PM DH ? ? 3 …………12 分 MC HC
2 2 2

20.解: (1)DF 1 ? DF 2 ? (?c ? x0 , ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? c ? y0 ? 2分

???? ? ???? ?

c2 2 x ? b2 ? c 2 , ……… 2 0 a

2 2 因为 0 ? x0 ? a2 ,所以当 x0 ? a 2 时, DF1 ? DF2 得最大值 b .………………………………3
2

???? ? ???? ?



a2 3 所以 b ? ,故离心率 e ? ………………………………4 分 4 2
2

(2)由题意知 b ? 1 ,可得椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1,设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ), H ( x, y) 4

由?

? y ? kx ? m ?8kmx 2 2 2 ,得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 , x1 ? x2 ? , 2 2 1 ? 4k 2 ?x ? 4 y ? 4
…………6 分

4(m 2 ? 1) x1 x2 ? 1 ? 4k 2

由 AB ? AC ? 0 得: x1 x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 即

??? ? ??? ?

(1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,…………8 分

3 ……………………………10 分 5 3 3 所以动直线 l 的方程为: y ? kx ? ,即直线恒过定点 (0, ? ) ……………12 分 5 5 x 21. 解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? (e ?1)( x ?1) , f (1) ? 0 , f ? (1) ? e ? 1
将韦达定理代入化简可得: m ? ? 所以在 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? (e ? 1)( x ? 1) …………2 分 所 证 问 题 等 价 于 (ex ?1)( x ?1) ? (e ?1)( x ?1),( x ? 1) … … … … 3 分 即

(ex ? e)( x ?1) ? 0,( x ? 1)


x ?1





ex ? e ? 0 x ? , ?

ex1 ?e x ? 0 ?,

(当

x ?) 1

(时

1

)

0

ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0
命题得证!…………5 分 (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? x ln x ?
x 等价于 (e ? 1) x ? x ln x ?

1 ? 0, ( x ? 0) e 1 ,…………6 分 e

1 ?0 e

x 即 (e ? 1) x ? ? x ln x ?

x 令 p ( x) ? (e ? 1) x, q ( x) ? ? x ln x ?

1 e

p?( x) ? ex ( x ? 1) ?1 ? 0, y ? p( x) 单调递增, p( x) ? (e x ?1) x ? p(0) ? 0 …………8 分


q?( x) ? ? ln x ? 1

,

1 x ? (0, ), q?( x) ? 0, e

y ? q( x)











1 x ? ( , ??), q?( x) ? 0, y ? q( x) 单调递减; e 1 1 q ( x) ? q ( ) ? 0 ,…………11 分所以 (e x ? 1) x ? ? x ln x ? ,命题得证.…………12 分 e e
选做题 22. (I)证明:? 在 ? O 中,弦 AC、BF 相交于 E,? FE ? EB ? AE ? EC , 又 E 为 AC 的 中 点 , 所 以 FE ? EB ? AE , -------------------------2 分 又 因 为
2

O A? A D , OE ? AE ,
2 ? EO 根据射影定理可得 AE ? DE ,-------------------------4 分 ? DE ? EO ? FE ? EB ,

------------------------5 分 (II)因为 AB 为直径,所以 ?C =90 ,又因为 ?CBE ? 45 ,所以 ?BCE 为等腰直角三
0 o

角形. ………………6 分
2 2 ? AC ? 2 BC , 根 据 勾 股 定 理 得 A C ? BC ?5

B 2C ?8 0 , 解 得 BC ? 4 ,

-------------------------8 分

2 所以 AE ? 4,OE ? 2 ,由(I)得 AE ? DE ? EO 所以 DE ? 8 ,

所以 AD ?

AE 2 ? DE 2 ? 42 ? 82 ? 4 5 .

------------------------10 分

23 解: (I)由 ? cos2 ? ? 3sin ? ,得 ? 2 cos2 ? ? 3? sin ? ,………………2 分

? 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? 3 y ,
(II)将 ? =

-----------------------------------4 分

?
3

代入 C2 : ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?
5? , 6
--------------------------6 分

得 P(1, 3) ,由题意可知切线 AB 的倾斜角为

? 3 x ? 1? t ? ? 2 设切线 AB 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
代入 x2 ? 3 y 得: (1 ?

3 2 1 t ) ? 3( 3 ? t ) , 2 2
--------------------------8 分



3 2 3 3 t ? t ?2 ?0, 4 2

设方程的两根为 t1 和 t 2 可得: t1 ? t2 ? 2 3 , 所以 | MP |?|

t1 ? t2 |? 3 --------------------------10 分 2

24 解: (I) f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b |?| ( x ? a) ? ( x ? b) |? a ? b ,--------------------------2 分 所以 f ( x ) 的最大值为 a ? b ,? a ? b ? 3 ,--------------------------4 分 ( II ) 当

x?a 时 ,

f ( x? )

|? x

a? |

|? x

b| ? =x ? a (? x

? )b, ?

? a

? b3 ?

--------------------------6 分 对于 ?x ? a ,使得 g ( x) ? f ( x) 等价于 ?x ? a , gmax ( x) ? ?3 成立,

? g ( x) 的对称轴为 x ? ?

a ? a ,? g ( x) 在 x ?[a, ??) 为减函数, 2

? g ( x) 的最大值为 g (a) ? ?a2 ? a2 ? b ? ?2a2 ? a ? 3 ,--------------------------8 分

??2a 2 ? a ? 3 ? ?3 ,即 2a 2 ? a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ?

1 , 2

又因为 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 3 ,所以

1 ? a ? 3 .--------------------------10 分 2


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