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[原创精品]温州市平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试(理科) 专题五 数列


高三一轮复习全能测试 专题五 数列
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为 A.1 B.2 C .3 2、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=

A.58 B.88 C.143 D.4 ( D.176 ( ) ) ( )

3、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 S5 等于 A.7 B.15 C.30

D.31

4、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 ) (B). -90 (C). 90 (D). 110

5、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

1 a ? a9 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 等于( ) 2 a6 ? a7
D. 3 ? 2 2

C. 3 ? 2 2

6、等差数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 ,其前 n 项和为 Sn ,则数列 { A、70 B、75 C、100 D、120

Sn } 的前 10 项和为( n



7、已知等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 S2 ? 10, S5 ? 55 ,则过点 P(n, an ) , Q(n ? 2, an?2 )(n ? N * ) 的直线 的斜率为 A.4 B.

1 4

C.-4

D.-

1 4
)

8、已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A. ? ??, ?1? B. ? ??,0?

?1, ???

C. ?3, ?? ?

D. ? ??, ?1?

?3, ???


9、设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误 的是 ( .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列

2 10、已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m 等于

A.10

B.20

C.38

D.9

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8+a11=30,那么 S13 =_______________ 12、等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ?

? a9 ? 81 且 a2 ? a3 ?

? a10 ? 171 ,则公差 d =

13、数列 {an } 中 a1 ? 1 , a2 ? 2 且前 n 项和 S n ?

n an ? 1 (n ? 2, n ? N * ) ,则 an ? 2
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=___________

14、设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若 15、数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2012 ? ___________. 2
*

16、已知 {an } 为等差数列,其公差为 ?2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为 {an } 的前 n 项和, n ? N 则

Sn 的最大值为_______________.
17、已知等差数列 {an } 中, a3 ? 7,a6 ? 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角 形数阵:

a1 a2 a4 a 7 ? ? a 8 ? a 5 a9 ? a3 a6 a 10 ?


则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本小题满分 14 分)数列 {an } 中, an ? 32 , Sn ? 63 , (1)若数列 {an } 为公差为 11 的等差数列,求 a1 ;
2 } 的前 m 项和 Sm? . (2)若数列 {an } 为以 a1 ? 1 为首项的等比数列,求数列 {am

19、(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 3 ,若数列 ?S n ? 1? 是公比为 4 的等比数 列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ )设 bn ?

an?1 ? , n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (an?1 ? 3) ? S n?1

20、(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 ( p ? 1)Sn ? p2 ? an ,其 中 p 为正常数,且 p ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
1 3 (n ? N? ) ,数列 ?bn bn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 ? log p an 4

21、(本小题满分 15 分)设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

22、(本小题满分 15 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 (2 ? an ) ? 2an (n ? N ? ) , (Ⅰ )求 a 2 , a3 , a 4 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )记 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an?1an (n ? 2) ,试判断 Tn 与 2 的大小,并说明理由.

高三一轮复习全能测试参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C B A D C A 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、130 12、10 13、 an ? ?

?

1

(n ? 1)

? 2n ? 2 (n ? 2) 14、

3 2

15、

3018

16、110

17、598

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
?a1 ? (n ? 1) ?11 ? 32, ?n ? 3 ? 18、(本小题满分 14 分)解:(1)依题意,得 ? 解得: ? n(n ? 1) na1 ? ?11 ? 63. ? a1 ? 10 ? ? 2
?1? q n ?1 ? 32, 1 ? 4m 1 m ? 2 ? q 2( m?1) ? 4m?1 ,∴ Sm? ? (2) ?1 ? q n 解得: q ? 2. 从而 am ? (4 ?1). 1? 4 3 ? 1 ? q ? 63. ?

19、(本小题满分 14 分)解:(Ⅰ ) S n ? 1 ? (S1 ? 1) ? 4 n?1 ? 4 n , ? S n ? 4 n ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 3 ? 4 n?1 ,且 a1 ? 3 ,? an ? 3 ? 4 n?1 , 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 4 n?1 .…………………………4 分 (Ⅱ ) bn ?

…………3 分

an?1 4n 1 1 1 ? n ? ( n ? n?1 ) ……………3 分 n ?1 (an?1 ? 3) ? S n?1 (4 ? 1)(4 ? 1) 3 4 ? 1 4 ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 1 ? 2 )? ( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) 3 4 ?1 4 ?1 3 4 ?1 4 ?1 3 4 ?1 4 ?1

1 1 1 1 1 . ? ( 1 ? n?1 ) ? ? n ?1 3 4 ? 1 4 ? 1 9 3(4 ? 1)

……………4 分

20、(本小题满分 15 分)解:(1)由题设知 ( p ? 1)a1 ? p 2 ? a1 ,解得 a1 ? p 。
2 ? ?( p ? 1)Sn ? p ? an , 由? 2 ? ?( p ? 1)Sn?1 ? p ? an ?1 ,

两式作差得 ( p ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? an ? an ?1. 所以 ( p ? 1)an?1 ? an ? an?1 , 即 an ?1 ?
1 1 1 的等比数列。 an ? p ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 . p p p bn bb ? 2 ? 1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 an , p

可见,数列 ?an ? 是首项为 p ,公比为 (2) bn ?

1 1 1 ? ? 2 ? log p p 2? n 2 ? (2 ? n) n

Tn ? b1b3 ? b2b4 ? b3b5 ?

bnbn ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 1 3 2 4 3 5 4 6

1 1 1 1 1 1 3 ?( ? )] ? (1 ? ? ? )? 。 2 2 n ?1 n ? 2 4 n n?2

21、(本小题满分 15 分)解析:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q2 ? a1q4 ? a1q3

由 a1 ? 0, q ? 0 得 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,

q2 ? 1(舍去) ∴ q ? ?2

(2)证法一:对任意 k ? N ? Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk )

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0 所以,对任意 k ? N? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列
证法二 对任意 k ? N ? , 2Sk ?

2a1 (1 ? q k ) 1? q

Sk ? 2 ? Sk ?1 ?

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

a 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

?

a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 因此,对任意 k ? N? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列. 1? q 2a n , 2 ? an

22、(本小题满分 15 分)解:(Ⅰ ) 由 a1 ? 1, an?1 (2 ? an ) ? 2an (n ? N ? ) 得 a n ?1 ?

? a2 ?

2a 3 2a1 2a 2 2 2 2 , a4 ? ? , a3 ? ? ? . ………………3 分 2 ? a1 3 2 ? a2 4 2 ? a3 5 2a n 2 ? an 1 1 1 1 1 1 得 ? ? , ? ? ? ,即 a n ?1 a n 2 2 ? an an?1 2an an 2

又由 a n ?1 ?

?1? 1 1 1 n ?1 , ? ? ? 是以 1 为首项, 为公差的 等差数列,? ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 an 2 2 ? an ?
? an ? 2 . ………………7 分(只写出通项,未给出证明得 4 分) n ?1

(Ⅱ ) Tn ? 2 .…………8 分 当 n ? 2 时, a n ?1 a n ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ), n n ?1 n n ?1

………………10 分

1 1 4 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 ) ? 2? . ………12 分 ? Tn ? 4?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 4( ? 2 n ?1 n ?1 3 4 4 5 n n ?1 ? ? 2 3

? n ? N ? ,?

4 4 4 ? 0,? ? 0 ,? 2 ? ? 2 ,即 Tn ? 2 . ………15 分 n ?1 n ?1 n ?1


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