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41东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间位置关系—平行A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 041A

空间位置关系—平行(教案)A
一、 知识梳理: (必修 2 教材第 48 页-第 61 页) 1、 空间的直线与平面的位置关系: 位置关系 直线在平面内 图形 公共点个数 符号表示

直线与平面平行

直线与平面相交

r />2.直线与平面平行的判定定理: 符号表示: 证明线面平行的方法: 3.直线与平面平行的性质定理: 符号表示: 证明线线平行的方法: 4.空间两个平面的位置关系: 位置关系 两个平面平行 图示 公共点个数 符号表示

两个平面相交

5.两个平面平行的判定定理: 符号表示: 证明面面平行的方法:

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6.两个平面平行的性质定理: 符号表示: 二、 题型探究 探究一:直线与平面的位置关系: 例 1:空间四边形 ABCD 中,M,N 分别是三角形 ABC 与 ACD 的重心,求证:MN∥面 BCD .

例 2:已知平面 ∩ 平面=a,b//,b// ,求证:b//a。

探究二:平面与平面的位置关系: 例 3: (1) 如果两条直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平 行; (2) 如果两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; (3) 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; (4) 如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确命题是(B) A.(1)(2) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(2)(3)

例 4:已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ,求证:平面 AB1D1//平面 C1BD

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三、方法提升 1、在直线与平面平行的判定定理中,要注意易忽视的条件“线在面外”,否则可能与 平面平行,也可能在平面内;利用判定定理证线面平行,关键是找面内与已知直线平 行的直线,可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形 的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。 2、在平面与平面的判定定理中, “两条相交直线”中的“相交”两字不能忽略,否则 两个平面可能相交;若两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必须是这两 个平行平面与第三个平面的交线,有时候第三个平面需要做出来。 在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的 位置关系)的基础上,研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关 性质的应用;在有关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和 功能,并探索立体几何中论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻 辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用. 3、用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。 4、注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化 5、注意下面的转化关系:

6、直线和平面相互平行 证明方法:○证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○证明这条直线的 1 2 方向量和这个平面内的一个向量相互平行;○证明这条直线的方向量和这个平面的 3 法向量相互垂直。 7、证明两平面平行的方法: (1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出 矛盾。 (2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行,这个定理可简记为“线面平行,则面面平行” 。用符号表示是:a∩b,a α ,b α ,a∥β ,b∥β ,则α ∥β 。 (3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是:a⊥α ,a⊥β 则α ∥β 。 (4)平行于同一个平面的两个平面平行。 ? // ? ,? // ? ? ? // ? 8、两个平面平行的性质有五条: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定 理可简记为: “面面平行, 则线面平行” 用符号表示是: ∥β , 。 α a α , a∥β 。 则 (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定

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理可简记为: “面面平行,则线线平行” 。用符号表示是:α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b。 (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定 理可用于证线面垂直。用符号表示是:α ∥β ,a⊥α ,则 a⊥β 。 (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等 (5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行 四、反思感悟

五、课时作业 1、已知异面直线 a,b 所成的角为 70 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 角的直线有(
0 0

)条 D.4
0

A.1 B.2 C.3 解析: (1)过空间一点 O 分别作 a ? ∥a, b? ∥b。

将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动, 总能得到与 a ?, b ? 都成 60 角 的直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 角的直线有 4 条,从而选 D。 2、已知 α ∥β ,a?α ,B∈β ,则在 β 内过点 B 的所有直线中(D) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 3、(2009 年高考福建卷)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的 两条相交直线.则 α ∥β 的一个充分而不必要条件是(B) A.m∥β 且 l1∥α B .m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 4、(2010 年启东中学质检)已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有 下列命题: ①若 m?α , ∥α , m∥n; n 则 ②若 m∥α , ∥β , α ∥β ; m 则 ③若 α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β . 其中真命题的个数是(B) A.0 B.1 C.2 D.3 5、如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面内的(D ) A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 6.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α ∥β ;②若 α ∥β ,l?α ,m? β ,则 l∥m;
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③若 α ∩β =l,β ∩ γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n.其中真命题的个数 为(C) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的 是(D) A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 8.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中 位线 DE 交于 点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题 中正确的是(C) ① 动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积 有最大值. A.① B.①② C.①②③ D.②③ 9.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中 点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是(B)
[来源: ][来:学 *科

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 10、 (2009 江苏卷)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 ... 真命题的序号是(1)(2) ... 11、 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC, N∈FB, AM=FN, 且 求证:MN∥平面 BCE。 C D 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,则 MP M P ∥AB,NQ∥AB。 ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF,
A N F
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?;

(写出所有真命题的序号).

【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

B Q E

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∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴

AM AH ? AC AB FN AH ? BF AB

D M

C

连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得

∴ NH//AF//BE H A B 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE N F E ∴MN∥平面 BCE 。 12.P 是△ABC 所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重 心。 (1)求证:平面 A′B′C′∥ 平面 ABC; (2)S△A′ C′ S△ABC 的值。 ∶ B′ 解析:(1)取 AB、BC 的中点 M、N,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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PC ? PA? 2 ? ? PN 3 则 PM

∴ A′C′∥ MN?A′C′ 平面 ABC。 ∥ 同理 A′B′∥ ABC, 面 ∴ A′B′C′∥ ABC. △ 面

A?C ? PA? 2 2 2 1 1 ? ? 2 PN 3 ?A′C′= 3 MN= 3 · AC= 3 AC (2) MN A?C ? 1 ? AC 3 , A?B? 1 B?C ? ? ? 3 BC 同理 AC S ?A?B?C? A?C ? 2 1 ?( ) ? S ?ABC AC 9 ∴

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