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(近十年高考加一年模拟)2013届高三数学理精品专题检测:复数(71页)


复数 【2012 年高考试题】 1.【2012 高考真题浙江理 2】 已知 i 是虚数单位,则 A .1-2i B.2-i C.2+i

3?i = 1? i
D .1+2i

2.【2012 高考真题新课标理 3】下面是关于复数 z ? ( )

2 的四个命题:其中的真命题为 ?1 ? i

/>p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

( B) p1 , p2

3.【2012 高考真题四川理 2】复数 A、 1 【答案】B B、 ?1

(1 ? i ) 2 ?( 2i

) C、 i D、 ?i

(1 ? i )2 1 ? 2i ? i 2 ?2i ? ? ? ?1 【解析】 2i 2i 2i
4.【2012 高考真题陕西理 3】设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? 纯虚数”的( A.充分不必要条件 ) B. 必要不充分条件

b 为 i

第1页

C. 充分必要条件 【答案】B.

D. 既不充分也不必要条件

【解析】 ? ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 ,而复数 a ?

b ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0且b ? 0 , i

b ? ab ? 0 ? a ? 是纯虚数,故选 B. i 5. 【2012 高考真题上海理 15】 1? 2i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数 若
根,则( ) B.b ? ?2, c ? 3 C.b ? ?2, c ? ?1 D.b ? 2, c ? ?1 A.b ? 2, c ? 3

6.【2012 高考真题山东理 1】若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z 为 (A) 3 ? 5i 【答案】A 【解析】 z ? (B) 3 ? 5i (C) ?3 ? 5i (D) ?3 ? 5i

11 ? 7i (11 ? 7i)( 2 ? i ) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i 。故选 A。 2?i (2 ? i )( 2 ? i) 5
2?i ? 2?i
(C) 1 ?

7.【2012 高考真题辽宁理 2】复数 (A)

3 4 ? i 5 5

(B)

3 4 ? i 5 5

4 i 5

(D) 1 ?

3 i 5

第2页

9.【2012 高考真题广东理 1】 设 i 为虚数单位,则复数 A.6+5i B.6-5i C.-6+5i D.-6-5i

5 ? 6i = i

【答案】D 【解析】

5 ? 6i (5 ? 6i)i 6 ? 5i = ? ? ?6 ? 5i .故选 D. i2 ?1 i
B.1-i C.-1+I D.1=i

10.【2012 高考真题福建理 1】若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于 A.-1-I 【答案】A. 【解析】根据 zi ? 1 ? i 知, z ?

1? i ? ?1 ? i ,故选 A. i


11.【2012 高考真题北京理 3】设 a,b∈R。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.【2012 高考真题安徽理 1】复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ? (



第3页

( A) ?2 ? 2i

( B) ?2 ? 2i

(C ) ? ? ?i

( D) ? ? ?i

13. 【2012 高考真题天津理 1】i 是虚数单位,复数 (A) 2 + i (C)-2 + i 【答案】B 【解析】复数

7?i = 3?i

(B)2 – i (D)-2 – i

7 ? i (7 ? i)(3 ? i) 20 ? 10i ? ? ? 2 ? i ,选 B. 3 ? i (3 ? i)(3 ? i ) 10

14.【2012 高考真题全国卷理 1】复数 A 2+I 【答案】C 【解析】 B 2-I C 1+2i D 1- 2i

?1 ? 3i = 1? i

? 1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,选 C. 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

15.【2012 高考真题重庆理 11】若 (1 ? i)( 2 ? i) ? a ? bi ,其中 a, b ? R, i 为虚数单位,则

a ?b ?

16.【2012 高考真题上海理 1】计算: 【答案】 1? 2i 【解析】复数

3?i ? 1? i

( i 为虚数单位) 。

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 。 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

第4页

17.【2012 高考江苏 3】 分)设 a , (5 b?R , a ? bi ? 值为 ▲ .

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的 1 ? 2i

18.【2012 高考真题湖南理 12】已知复数 z ? (3 ? i ) 【答案】10

2

(i 为虚数单位),则|z|=_____.

2 2 【解析】 z ? (3 ? i ) = 9 ? 6i ? i ? 8 ? 6i , z ? 8 ? 6 ? 10 .
2 2

【2011 年高考试题】 一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 2)复数 z= 为 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限 2?i

第5页

4.(2011 年高考浙江卷理科 2)把复数 z 的共轭复数记作 z ,若 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则

(1 ? z ) z =
(A) 3 ? i 【答案】 A 【解析】 (1 ? z ) z ? z ? z z ? 1 ? i ? (1 ? i )(1 ? i ) ? 1 ? i ? 2 ? 3 ? i 故选 A 5.(2011 年高考广东卷理科 1)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 Z=( A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i ) (B) 3 ? i (C) 1 ? 3i (D) 3

【解析】B.由题得 z ?

2 2 ? (1 ? i) ? 1 ? i 所以选 B. 1? i 2
a?i ? 2 ,则 a=( ) i

6.(2011 年高考辽宁卷理科 1)a 为正实数,i 为虚数单位,

(A)2 答案: B

(B) 3

(C) 2

(D)1

第6页

解析:?

a?i ?|1 ? ai |? 1 ? a 2 ? 2 ,a>0,故 a= 3 . i

7. (2011 年高考全国新课标卷理科 1)复数 A?

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i



3 i 5

B

3 i 5

C?i

Di ;

8.(2011 年高考江西卷理科 1)若 z ? A. ?? ? i 【答案】D 【解析】因为 z ?

?? ?i ,则复数 z ? i
C.

B. ?? ? i

??i

D. ? ? i

?? ?i = (?? ?i)(?i) ? ? ? i ,所以复数 z ? ? ? i ,选 D. i

9. (2011 年高考江西卷理科 7)观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 =78125,?,则 52011 的末四位数字为 A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

10.(2011 年高考江西卷理科 10)如右图,一个直径为 l 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的 逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内 壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是

第7页

12.(2011 年高考湖北卷理科 1)i 为虚数单位,则 ( A.-i 答案:A B.-1

1 ? i 2011 ) = 1? i

C.i

D.1

1? i 1 ? i 2011 2011 ?i ( ) ? i ? (i 2 )505 ? i ? ?i, 解析:因为 1 ? i ,故 1 ? i 所以选 A.

13.(2011 年高考陕西卷理科 7)设集合 M ? y | y ?| cos x ? sin x |, x ? R? ,
2 2

?

1 N ? {x || x ? |? 2, i为虚数单位,x ? R} 则 M ? N 为 i
(A) (0,1) 【答案】C 【解析】 :由 y ?| cos x ? sin x |?| cos 2 x |?[0,1] 即 M ? [0,1]
2 2

(B) (0,1]

(C) [0,1)

(D) [0,1]

由 | x ? |?

1 i

2 得 | x ? i |? x 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? x ? 1 即 N ? (?1,1) M ? N ? [0,1) 故选 C

第8页

14.(2011 年高考重庆卷理科 1)复数 (A) ? (C)

i 2 ? i3 ? i 4 ? 1? i
(B) ?

1 1 ? i 2 2 1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2 1 1 (D) ? i 2 2

解析:选 B.

?i ?1 ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ?1 ? i ? 1 1? i ? ? ? 。 1? i 1? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 15)设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,观察: x?2

第9页

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

x , 3x ? 4 x f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? , 15 x ? 16 f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
??
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ? 【答案】 .

x (2 ? 1) x ? 2n
n

【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为 x ? 2,3x ? 4,7 x ? 8,15x ? 16 ,即

(2 ?1) x ? 2,(4 ?1) x ? 4,(8 ?1) x ? 8,(16 ?1) x ? 16 ,所以归纳出分母为 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))
的分母为 (2 ? 1) x ? 2 ,故当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ?
n n

x . (2 ? 1) x ? 2n
n

2.(2011 年高考安徽卷理科 15)在平面直角坐标系中, 如果 x 与 y 都是整数, 就称点 ( x, y ) 为 整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

第 10 页

3. (2011 年高考湖北卷理科 15)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在 所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

n=1 n=2

n=3

n=4

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 [黑色正方形相邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示)

种,至少有两个

第 11 页

4.(2011 年高考陕西卷理科 13)观察下列等式

照此规律,第 n 个等式为 【答案】 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)
2

3、(2011 年高考安徽卷江苏 3)设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部 是_________ 【答案】1 【解析】因为 z ? 1 ? 三、解答题:

?3 ? 2i ? (?3 ? 2i)(?i) ? 2 ? 3i ,所以 z ? 1 ? 3i ,故 z 的实部是 1. i

第 12 页

1.(2011 年高考上海卷理科 19)(12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i ) ? 1 ? i ( i 为虚数单 位) ,复数 z 2 的虚部为 2 , z1 ? z2 是实数,求 z 2 。

(19)(2011 年高考安徽卷理科 19)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明 x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy , xy x y

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 log a b ? logb c ? log c a ? logb a ? log c b ? log a c . 【命题意图】 :本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识, 考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。 【证明】 :(Ⅰ)由于 x ? 1, y ? 1 ,所以 要证明: x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy xy x y
2

只要证明: xy ( x ? y ) ? 1 ? y ? x ? ( xy )
2

只要证明: ( xy ) ? 1 ? ( x ? y ) ? xy ( x ? y ) ? 0 只要证明: ( xy ? 1)( xy ? 1 ? x ? y) ? 0 只要证明: ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) ? 0 由于 x ? 1, y ? 1 ,上式显然成立,所以原命题成立。

第 13 页

2. (2011 年高考天津卷理科 20)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1) n * , n ?N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N ,证明: ?cn ? 是等比数列;
*

(Ⅲ)设 Sk ? a2 ? a4 ? ??? ? a2 k , k ? N , 证明:
*

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证 能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ)解:由 bn ?

?1, n是奇数 3 ? (?1) n * , n ?N ,可得 bn ? ? , 又 bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, 2 ? 2, n是偶数

当 n=1 时, a1 ? a2 ? 2a3 ? 0 ,由 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,得 a3 ? ?3 ; 当 n=2 时, 2a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,可得 a4 ? ?5 .

第 14 页

当 n=3 时, a3 ? a4 ? 2a5 ? 0 ,可得 a5 ? 4 .

(III)证明:由(II)可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1) ,
k

于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有
*

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得 a1 ? (?1) a2 k ?1 ? ?(k ? 1),
k

即 a2 k ?1 ? (?1)

k ?1

(k ? 1) ,
k ?1

此式当 k=1 时也成立.由④式得 a2 k ? (?1)

(k ? 3).

从而 S2 k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k ,

S2 k ?1 ? S2 k ? a4 k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N , n ? 2 ,
*

第 15 页

n Sk S S S S ? ? ( 4 m ?3 ? 4 m ?2 ? 4 m ?1 ? 4 m ) ? a m?1 a a4 m?2 a4 m?1 a4 m k ?1 k 4 m ?3
n

4n

? ?(
m ?1 n

2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m? 2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m? 2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6

第 16 页

3. (2011 年高考湖南卷理科 16)对于 n ? N ,将 n 表示为

?

n ? a0 ? 2 k ? a1 ? 2 k ?1 ? a2 ? 2 k ?2 ? ? ? ? ? ak ?1 ? 21 ? ak ? 2 0 ,当 i ? 0 时,

ai ? 1 ,当 1 ? i ? k 时, a i 为 0 或1.记 I ?n ? 为上述表示中 a i 为 0 的个数(例如:1 ? 1? 20 ,

4 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 ,故 I ?1? ? 0 , I ?4? ? 2 ) ,则(1) I ?12 ? ?

; (2)

?2 ? ? ?
I n n ?1

127

.
127

答案: I

?12? ? 2;

? 2 ? ? ? 1093
I n n ?1

4. (2011 年高考湖南卷理科 22)(本小题满分 13 分)已知函数

f ?x ? ? x 3 , g ?x ? ? x ? x .

?? ? 求函数 h?x? ? f ?x? ? g ?x? 的零点个数,并说明理由; ??? ? 设数列 ?an ??n ? N * ? 满足 a1 ? a?a ? 0?, f ?an?1 ? ? g ?an ?, 证明:存在常数 M ,

第 17 页

使得对于任意的 n ? N 解:

*

, 都有 a n ? M .
x 知, x ? ?0,?? ? ,而 h?0? ? 0, 且 h?1? ? ?1 ? 0 ,

?? ? 由 h?x ? ? x 3 ? x ?
? x ?至少有两个零点.

h?2? ? 6 ? 2 ? 0 ,则 x ? 0 为 h? x ? 的一个零点,且 h? x ? 在 ?1,2 ? 内由零点,
因此 h

综上所述, h

? x ?有且只有两个零点.

1 3 1 ? ? ? 2 ? ? ? x ? 1 ? x 2 ? ,记 ? ?x ? ? x 2 ? 1 ? x 2 , 则 ? ??x ? ? 2 x ? 1 x 2 , 解法 2 由 h? x ? ? x? ? 2 ? ?

当x?

?0,?? ?时, ? ??x ? ? 0, 因此 ? ? x ?在 ?0,??? 上单调递增,则 ? ?x ?在 ?0,??? 上至多有

一个零点, 从而 h

? x ?在 ?0,??? 上至多有一个零点. ? x ?有且只有两个零点.

综上所述, h

第 18 页

??? ? 记 h? x ?的正零点为 x 0 ,即 x0 3 ? x0 ?
(1)当 a ?

x0
2 3

x0 时,由 a1 ? a 得 a1 ? x0 ,而 a 2 ? a1 ? a1 ? x0 ? x0 ? x0 ,因此

a 2 ? x0 .
由此猜测: a n

? x 0 .下面用数学归纳法证明.
? x0 显然成立,

①当 n ? 1时, a1 ②假设当 n ? k
3

?k ? 1? 时, a k

? x 0 成立,则当 n ? k ? 1时,由
3

a k ?1 ? a k ? a k ? x0 ? x0 ? x0 知 a k ?1 ? x0
因此,当 n ? k ? 1 时, a k ?1 故对任意的 n ? N
*

? x0 成立

, a n ? x 0 成立

第 19 页

5. (2011 年高考广东卷理科 20)设 b ? 0, 数列 ? an ? 满足 a1 =b, an ? (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n, an ?

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1 2n ?1
nban ?1 n 1 2 n ?1 ? 0, ? ? . an ?1 ? 2n ? 2 an b b an ?1

【解析】 (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ?

令 An ?

n 1 , A1 ? , an b

当 n ? 2时, An ?

1 2 ? An ?1 b b

?

1 2 2n ? 2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 b b b b 1 2 2n ?2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n . b b b b

?

①当 b ? 2 时,

1 ?2? (1 ? ? ? ) n n b ?b? ? b ?2 , An ? 2 b n (b ? 2) 1? b

n

第 20 页

6.(2011 年高考广东卷理科 21)(本小题满分 14 分)

第 21 页

【解析】解: (1)证明:切线 l 的方程为 y ?

1 1 2 p0 x ? p0 . 2 4

?Q( p, q ) ? AB有? ( p, q ) ?

| p | ? p 2 ? 4q | p | ? ( p ? p0 ) 2 ? 2 2

当 p0 ? 0时, 0 ? p ? p0 , 于是? ( p, q) ?

p ? p0 ? p p0 | p0 | ? ? . 2 2 2 ? p ? p ? p0 ? p0 | p0 | ? ? . 2 2 2

当 p0 ? 0时, p0 ? p ? 0, 于是? ( p, q) ? (2) l1 , l2 的方程分别为 y ?

1 1 1 1 2 p1 x ? p12 , y ? p2 x ? p2 . 2 4 2 4
p1 ? p2 p1 p2 , ) ,由于 a 2 ? 4b ? 0, a ? 0 ,故有 2 4

求得 l1 , l2交点M(a,b)的坐标 (

| p1 |?| p2 | .
1)先证: M (a, b) ? x ?| p1 |?| p2 | .

第 22 页

( ? )设 M (a, b) ? X . 当 p1 ? 0时, 0 ?

p1 ? p2 ? p1 ? 0 ? p1 ? p2 ? 2 p1 ?| p1 |?| p2 | . 2 p1 ? p2 ? 0 ? 2 p1 ? p1 ? p2 ? 0 ?| p1 |?| p2 | . 2
p2 p p ? p2 |? 1 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2. p1 p1 p1

当 p1 ? 0时, p1 ?

( ? )设 | p1 |?| p2 |, 则 |

当 p1 ? 0时, 0 ?

p1 ? p2 p ? p2 ? p1 ;当p1 ? 0时,p1 ? 1 ? 1. 2 2

注意到 M (a, b)在l1上, 故M (a, b) ? X .

(3)求得 y ? x ? 1和y ?

1 5 ( x ? 1)2 ? 的交点 Q1 (0, ?1), Q2 (2,1) 4 4

而 y ? x ? 1 是L的切点为 Q2 (2,1) 的切线,且与 y 轴交于 Q1 (0, ?1) , 由(1) ?Q( p, q) ? 线段 Q1Q2,有 ? ( p, q) ? 1.

第 23 页

当 Q( p, q) ? L1 : y ?

1 5 1 5 ( x ? 1) 2 ? (0 ? x ? 2)时, q ? ( p ? 1) 2 ? 4 4 4 4
p? p 2 ? 4q p ? 4 ? 2 p ? (0 ? p ? 2), 2 2
4 ? 2 p ?1 2 4 ? 2p ? 0得p ? 3 , 2

? h( p ) ? ? ( p, q ) ?

在(0,2)上,令 h ?( p ) ?

7. (2011 年高考湖北卷理科 21)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1, x ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk (k ? 1, 2,3?n) 均为正数,证明:
k k (1)若 a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,则 a1k a2 ?an ? 1 ;
1 2 n

(2)若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则

1 k k 2 2 ? b1k1 b2 2 ?bn n ? b12b2 ?bn n

本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行 推理论证的能力,以及化归与转化的思想.

第 24 页

解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,令 f '( x) ?

1 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 , x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在(0,1)内是增函数; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 内是减函数; 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0 (Ⅱ) (1)由(Ⅰ)知,当 x ? ? 0, ?? ? 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1,

? ak ? bk ? 0 ,从而有 ln ak ? ak ? 1 ,得 bk ln ak ? ak bk ? bk (k ? 1, 2 ???, n) ,
求和得

? ln ak bk ? ? ak bk ? ? bk ,
k ?1 k ?1 k ?1 n n

n

n

n

? ? ak bk ? ? bk ,? ? ln ak k ? 0 ,即 ln(a1k1 a2 k2 ??? an ) ? 0
k ?1 k ?1 k ?1

n

? a1k1 a2 k2 ??? an kn ? 1 .

第 25 页

8.(2011 年高考全国卷理科 20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1

【解析】(Ⅰ)由 :

? 1 ? 1 1 ? ? 1. 得 ? ? 为等差数列 , 1 ? a n ?1 1 ? a n ?1 ? an ?

前项为

1 1 1 1 ? 1, d ? 1, 于是 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,?1 ? an ? , an ? 1 ? 1 ? a1 1 ? an n n

【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? :

1 2( x ? 2) ? 2 x 1 4 ( x ? 2) 2 ? 4(1 ? x) ? ? ? ? 1? x ( x ? 2) 2 1 ? x ( x ? 2) 2 (1 ? x)( x ? 2) 2

?

x2 ? x>0 ? f ?( x) ? 0则f ( x)在(0,+?)上单调递增, (1 ? x)( x ? 2) 2

第 26 页

于是 f ( x) ? f (0) 即f ( x) ? ln1 ?

0 ? 0 故 f ( x)>0 0?2

100 ? (k ? 1) 101 ? k , k ? 1, 2? 20 则抽得的 20 ? 100 100 101 ? 1 101 ? 2 101 ? 20 个号码互不相同的概率 p ? p1 ? p2 ? p20 ? ? ?? 100 100 100 99 98 81 99 81 98 82 91 89 90 ? ? ?? ?( )?( ? )?( ? ) 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99 81 98 82 91 89 ? ? ? 90 ? ( 100 100 )2 ? ( 100 100 ) 2 ? ( 100 100 ) 2 2 2 2 100 90 2 90 2 90 2 90 9 19 ?( ) ?( ) ?( ) ?( ) 100 100 100 100 10
(Ⅱ)法一:第 k 次抽取时概率为 pk ? 由(Ⅰ) ,当 x ? 0, f ( x) ? f (0) ? 0

即有 ln(1 ? x) ?

2x 9 1 故 19ln ? 19ln(1 ? ) ? 19 ? ?2 1 x?2 10 10 ? ?2? 2 10

2(?

1 ) 10

第 27 页

10.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设整数 n ? 4 , P( a, b) 是平面直角坐标系 x O y 中的点,其中

a, b? {1 , 2 ? , n , a } , b ,3 ?
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 (a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。 (1)因为满足 a ? b ? 3 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b 的每一组解构成一个点 P,所以

1 3

An ? n ? 3 。
(2)设 (a ? b) ? k ? N ,则 a ? b ? 3k , 0 ? 3k ? n ? 1,? 0 ? k ?
*

1 3

n ?1 , 3

对每一个 k 对应的解数为:n-3k,构成以 3 为公差的等差数列;

1 ? n ? 3 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 2 3 6 2 ? n ? 3 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) 当 n-1 被 3 除余 1 时,解数一共有: 2 ? 5 ? ? ? n ? 3 ? ? 2 3 6 3 ? n ? 3 n ? 3 (n ? 3)n 当 n-1 被 3 除余 2 时,解数一共有: 3 ? 6 ? ? ? n ? 3 ? ? 2 3 6
当 n-1 被 3 整除时,解数一共有: 1 ? 4 ? ? ? n ? 3 ?

第 28 页

? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?
11.(2011 年高考北京卷理科 20)(本小题共 13 分) 若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an ?1 ? a1 ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) , 数列 An 为 E 数列, 记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 a n ?1 ? a n ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ), 即An 是递增数列.

第 29 页

综上,结论得证。 (Ⅲ)令 ck ? a k ?1 ? a k ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1), 则c A ? ?1. 因为 a 2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,

【2010 年高考试题】 (2010 浙江理数) (5)对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确

第 30 页

的是 (A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x (B) z ? x ? y
2 2 2

(D) z ? x ? y

2 2 2 解析:可对选项逐个检查,A 项, z ? z ? 2 y ,故 A 错,B 项, z ? x ? y ? 2 xyi ,故 B

错,C 项, z ? z ? 2 y ,故 C 错,D 项正确。

?3?i ? (2010 全国卷 2 理数) (1)复数 ? ? ? ? 1? i ?
2

(A) ?3 ? 4i 【答案】A 【解析】 ?

(B) ?3 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

? (3 ? i )(1 ? i ) ? ?3?i ? 2 ? ?? ? ? (1 ? 2i ) ? ?3 ? 4i . 2 ? ? ? 1? i ?
2 2

(2010 辽宁理数)(2)设 a,b 为实数,若复数 (A) a ?

1+2i ? 1 ? i ,则 a ? bi

3 1 ,b ? 2 2 1 3 (C) a ? , b ? 2 2

(B) a ? 3, b ? 1 (D) a ? 1, b ? 3

(2010 江西理数)1.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 C. x=1,y=1 B. x=-1,y=2 D. x=1,y=2



第 31 页

(2010 四川理数) (1)i 是虚数单位,计算 i+i2+i3= (A)-1 (B)1 (C) ?i (D) i

解析:由复数性质知:i2=-1 故 i+i2+i3=i+(-1)+(-i)=-1 答案:A (2010 天津理数) (1)i 是虚数单位,复数 (A)1+i 【答案】A 【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算,属于容易题。 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数,同时将 i 改为-1.
2

?1 ? 3i ? 1 ? 2i

(B)5+5i (C)-5-5i

(D)-1-i

?1 ? 3i (-1+3i)(1-2i) 5 ? 5i ? ? 1? i ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 1 ? 2i
(2010 广东理数)2.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2=( A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 )

2. A. z1 ? z2 ? (1 ? i) ? (3 ? i) ? 1? 3 ? 1?1 ? (3 ? 1)i ? 4 ? 2i (2010 全国卷 1 理数)(1)复数 (A)i (B) ?i

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(D) 12+13 i

(C)12-13 i

(2010 山东理数) (2) 已知

a ? 2i a ? 2i , ? b ? i (a, b) ? b ? i(a,b∈R) 其中 i 为虚数单位, i i

第 32 页

则 a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

1.(2010 安徽理数)1、 i 是虚数单位,

i ? 3 ? 3i
C、

A、 1.B

1 3 ? i 4 12

B、

1 3 ? i 4 12

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6

【解析】

i i ( 3 ? 3i ) 3i ? 3 1 3 ? ? ? ? i ,选 B. 3?9 12 4 12 3 ? 3i

【规律总结】

i 为分式形式的复数问题,化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭 3 ? 3i

2 复数 ?3i ,然后利用复数的代数运算,结合 i ? ?1 得结论.

2. (2010 福建理数)

第 33 页

(2010 重庆理数) (11)已知复数 z=1+I ,则 解析:

2 ? z =____________. z

2 ? 1 ? i ? 1 ? i ? 1 ? i ? ?2i 1? i 2i 对应的点的坐标为 1? i


(2010 北京理数) (9)在复平面内,复数 答案: (-1,1)

(2010 江苏卷)2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_________. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。

(2010 湖北理数)1.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则表示复数 点是 A.E B.F C.G D.H

z 的 1? i

第 34 页

1. 【答案】D 【解析】观察图形可知 z ? 3 ? i ,则 【2009 年高考试题】 21.( 2009· 天津理 1) i 是虚数单位, (A)1+2i (B)-1-2i
z 3?i ,故 D 正确. ? ? 2 ? i ,即对应点 H(2,-1) 1? i 1? i

5i = 2?i
(C)1-2i (D)-1+2i

考点定位本小考查复数的运算,基础题。 解析:

5i 5i ( 2 ? i ) ? ? ?1 ? 2i ,故选择 D。 2?i 5

23.( 2009· 浙江文理 3)设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. ?1 ? i

2 2 ?z ?( z

) D. ?1 ? i

C. 1 ? i

答案:D 命题意图本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直 接考查了对于复数概念和性质的理解程度. 解析对于

2 2 2 ?z ? ? (1 ? i)2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i z 1? i

24.( 2009· 山东文理 2)复数 A. 1? 2i

3?i 等于( 1? i

) . D. 2 ? i

B. 1 ? 2i

C. 2 ? i

第 35 页

26.( 2009· 辽宁理 2)已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z 1 2 ( D) ? i 5 5

( A)

5 2 5 ? i 5 5

( B)

5 2 5 ? i 5 5

1 2 (C ) ? i 5 5

28. (2009· 广东理 2) 设 z 是复数,a ( z ) 表示满足 z n ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i ,

a(i) ?
A. 8 D. 2 解析 a(i ) ? i ? 1 ,则最小正整数 n 为 4,选 C.
n

B. 6

C. 4

31. (2009· 福建理 13) 复数 i ?1+i ? 的实部是 -1
2



解析

i 2 ? 1 +?i=-1-I,所以实部是-1。

32. (2009· 福建理 11)若 答案:2 解析:由

2 ? a ? bi (i 为虚数单位, a, b ? R )则 a ? b ? _________ 1? i

2 2(1 ? i) ? a ? bi ? ? 1 ? i ,所以 a ? 1, b ? 1, 故 a ? b ? 2 。 1? i (1 ? i )(1 ? i )

【2008 年高考试题】 3. (2008· 山东)设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z·z =8,则 (A)1 (B)-i (C)±1

z 等于 z
(D) ±i

第 36 页

4. (2008· 广东)已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是( A. (1, 5) 解析 z ? 答案:C B. (1, 3)



, C. (1 5)

, D. (1 3)

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即 1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,?1 ? z ? 5

【2007 年高考试题】

1.(2007· 广东) .若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数) ,则 b= (A) 2 (B)
1 2

(C) -

1 2

(D) -2

解:(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i,而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,那么由 2-b=0 且 1+2b≠0 得 b=2,故选 A。

第 37 页

【2006 高考试题】 一、选择题(共 11 题) 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

w w w . k s 1? i 5 2. (北京卷)在复平面内,复数 对应的点位于 i u . (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 c 1 ? i ( +i) i1 = = -i 故选 D 1 o 解: i -1 m 3. (福建卷)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 来 源A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 : 高 考 资 源 网
第 38 页

4. (广东卷)若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z3 ? A. ?2 2
2

B. ?2 2
3

C. ?2 2i

D. ?2 2i

解析:由 z ? 2 ? 0 ? z ? ? 2i ? z ? ?2 2i ,故选 D. 5. (江西卷)已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=( A. - )

3 2

3 i 2

B.

3 3 - i 4 4

C.

3 3 + i 2 2

D. +

3 4

3 i 4

解: z=

3i 3i 3-3i) 3i+3 ( = = 故选 D。 12 4 3+3i
2

6. (全国卷 I)如果复数 (m ? i )(1 ? mi ) 是实数,则实数 m ? A. 1
2

B. ?1

C. 2

D. ? 2

解析:复数 (m ? i )(1 ? mi ) =(m2-m)+(1+m3)i 是实数,∴ 1+m3=0,m=-1,选 B.

(1+i)2 8.(陕西卷)复数 等于( 1-i A.1-i
2

) C.-1+ i D.-1-i

B.1+i

2i (1+i) 解析: 复数 = ? i(1 ? i) ? ?1 ? i ,选 C. 1-i 1 ? i

第 39 页

11. (浙江卷)已知 (A)1+2i

m ? 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? 1? i
(B) 1-2i (C)2+i (D)2- i

【考点分析】本题考查复数的运算及性质,基础题。 解析:

?1 ? n ? 0 m ? 1 ? ni ? m ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?i ,由 m 、 n 是实数,得 ? 1? i ?1 ? n ? m

∴?

?n ? 1 ? m ? ni ? 2 ? i ,故选择 C。 ?m ? 2

二、填空题(共 4 题) 12. (湖北卷)设 x, y 为实数,且 解:

x y 5 ,则 x ? y ? ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i



x y x(1 ? i) y (1 ? 2i) x y x 2y ? ? ? ? ( ? ) ? ( ? )i , 1? i 1? 2 y 2 5 2 5 2 5



5 5(1 ? 3i) 1 3 x y 1 x 2y 3 ? ? ? i 所以 ? ? 且 ? ? ,解得 x=-1,y=5, 1 ? 3i 10 2 2 2 5 2 2 5 2
? ?

所以 x+y=4。 13 . ( 上 海 卷 ) 若 复 数 z 同 时 满 足 z - z = 2 i , z = iz ( i 为 虚 数 单 位 ) 则 z , = . 解:已知 ? Z ? iZ ? 2i ? Z ? 2i ? i ?1 ;

1? i

14.(上海卷)若复数 z 满足 z ? ( m ? 2) ? (m ? 1)i ( i 为虚数单位) ,其中 m ? R 则

第 40 页

z ? ____ 。

【2005 高考试题】 1(广东卷)若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a ? b ? (D)
2 2

(A)0(B)2(C)

5 (D)5 2
z1 为纯虚数, 则实数 a 的值为 z2
( B )

2. (北京卷) z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i , 若 且 3. (福建卷)复数 z ? 1 的共轭复数是
1? i

8 3



A. 1 ? 1 i
2 2

B. 1 ? 1 i
2 2

C.1 ? i D.1 ? i ( C ) C. 2 ? i D. 2 ? i (B) D.i

4. (湖北卷) (1 ? i)(1 ? 2i) ? 1? i A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i

5. (湖南卷)复数 z=i+i2+i3+i4 的值是 A.-1 B.0 C.1

6. (辽宁卷)复数 z ?

?1? i ? 1. 在复平面内,z 所对应的点在 (B ) 1? i
a ? bi 为实数,则 c?di

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. (全国卷 II) 设 a 、 b 、 c 、 d ?R ,若 (A) bc ? ad ? 0 (B) bc ? ad ? 0 ( A)

(C) bc ? ad ? 0

(D) bc ? ad ? 0

8. (全国卷 III) 已知复数 z 0 ? 3 ? 2i, 复数z满足z ? z 0 ? 3z ? z 0 , 则复数z ? 1 ?

3 i. 2

第 41 页

9. (山东卷) (1)

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

?
(C)1 (D) ?1

( D )

(A) i

(B) ?i
1 ? 2i

10. (天津卷)2.若复数 a ? 3i (a∈R,i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为 ( C ) A.-2 B.4 C.-6 D.6

11. (浙江卷)在复平面内,复数 (A) 第一象限
1? i

i 2 +(1+ 3 i) 对应的点位于( B 1? i
(C) 第三象限 ( A ) D.- 2 2005 (D)第四象限

)

(B) 第二象限

12. (重庆卷) (1 ? i ) 2005 ? A. i B.- i C. 2 2005

13. (江西卷)设复数: z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i ( x ? R), 若z1 z2 为实数,则 x=( A)

A.-2 B.-1 C.1

D.2
2

14.(上海)在复数范围内解方程 z ? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单位) 2?i

【2004 高考试题】 1. (北京) 当

2 复数 z ? (3m ? 2) ? (m ? 1)i 在复平面上对应的点位于 D ) ( ? m ? 1 时, 3
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限

第 42 页

2. (上海)若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ,则 z 的实部是 1 。
2 3. (湖北)复数 (?1 ? 3i ) 的值是

1 ? 3i

( A )

A.-16 B.16

C. ?

1 3 1 D. ? i 4 4 4
( D ) D.-4

4. (湖南)复数 (1 ? ) 4 的值是 A. 4i B.- 4i C.4

1 i

【2003 高考试题】



3.(2002 京皖春,4)如果 θ∈( )

? 2

,π) ,那么复数(1+i) (cosθ+isinθ)的辐角的主值

是(

A.θ+

9? 4

B.θ+

? 4

C.θ ?

? 4


D.θ+

7? 4

4. (2002 全国,2)复数( A. -i B.i

1 3 3 ? i) 的值是( 2 2
C.-1

D.1

第 43 页

5.(2002 上海,13)如图 12—1,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是 ( )

图 12—1



6.(2001 全国文,5)已知复数z=

1 2 ? 6i ,则 arg 是( z



A.

? 6

B.

11? 6

C.

? 3

D.

5? 3

第 44 页



9. 2000 上海理, ( 13) 复数 z= ? 3(cos

?

? i sin )(i 是虚数单位)的三角形式是( 5 5
B.3(cos

?



A.3[cos( ?

? ? )+isin( ? ) ] 5 5

? 5

+isin

? 5



C.3(cos

4? 4? +isin ) 5 5

D.3(cos

6? 6? +isin ) 5 5


10. (2000 京皖春, 复数 z1=3+i,2=1-i, z=z1·2 在复平面内的对应点位于 1) z 则 z ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限



12.(1998 全国,8)复数-i 的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是(



A.

3 1 ? i 2 2

B. ?

3 1 ? i 2 2
3 1 ? i 2 2


C.±

3 1 ? i 2 2

D.±

13.(1996 全国,4)复数

( 2 ? 2i ) 4 等于( (1 ? 3i ) 5
B.-1+

A.1+

3i

3i

第 45 页

C.1-

3i

D.-1-

3i

14.(1994 上海,16)设复数 z=- 的正整数 n 中最小的是( A.3 B.4 )

1 3 ? i(i 为虚数单位) ,则满足等式 zn=z 且大于 1 2 2

C.6

D.7 )

15.(1994 全国,9)如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( A.1 二、填空题 16.(2003 上海春,6)已知 z 为复数,则 z+ z >2 的一个充要条件是 z 满足 B.

2

C.2

D.

5

.

17.(2002 京皖春,16)对于任意两个复数 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2 为 实数) ,定义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2.设非零复数 w1、w2 在复平面内对应的点分别 为 P1、 2, O 为坐标原点. P 点 如果 w1⊙w2=0, 那么在△P1OP2 中, 1OP2 的大小为 ∠P 18.(2002 上海,1)若 z∈C,且(3+z)i=1(i 为虚数单位) ,则 z= 19.(2001 上海春,2)若复数 z 满足方程 z i=i-1(i 是虚数单位) ,则 z=_____. 20.(1997 上海理,9)已知 a= . .

?3?i (i 是虚数单位) ,那么 a4=_____. 1 ? 2i

21.(1995 上海,20)复数 z 满足(1+2i) z =4+3i,那么 z=_____. 三、解答题

第 46 页

26.(2001 上海理,20)对任意一个非零复数 z,定义集合 Mz={w|w=z2n-1,n∈N} . (Ⅰ)设 α 是方程 x+

1 ? 2 的一个根,试用列举法表示集合 Mα; x

(Ⅱ)设复数 ω∈Mz,求证:Mω ? Mz. 27.(2001 上海文,20)对任意一个非零复数 z,定义集合 Mz={w|w=zn,n∈N} . (Ⅰ)设 z 是方程 x+ 求其和为零的概率 P; (Ⅱ)若集合 Mz 中只有 3 个元素,试写出满足条件的一个 z 值,并说明理由. 28.(2000 上海春,18)设复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、 四象限的角平分线上,|

1 =0 的一个根,试用列举法表示集合 Mz.若在 Mz 中任取两个数, x

2 z-m|=5 2 (m∈R) z 和 m 的值. ,求

第 47 页



30.(1999 全国理,20)设复数 z=3cosθ+i· 2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<

? 2

)的最大

值以及对应的 θ 值.


31.(1999 上海理,19)已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实数根 b,且

z=a+bi,求复数 z (1-ci) (c>0)的辐角主值的取值范围.


32.(1999 上海文,19)设复数 z 满足 4z+2 z =3

3 +i,ω=sinθ-icosθ(θ∈R).求 z

的值和|z-ω|的取值范围.


33.(1998 上海文,18)已知复数 z1 满足(z1-2)i=1+i,复数 z2 的虚部为 2,且 z1·2 z

是实数,求复数 z2 的模.


34.(1998 上海理,18)已知向量 OZ 所表示的复数 z 满足(z-2)i=1+i,将 OZ 绕原

点 O 按顺时针方向旋转 值.


? 4

得 OZ ,设 OZ 所表示的复数为 z′,求复数 z′+

1

1

2 i 的辐角主

35.(1997 全国文,20)已知复数 z=

1 3 2 2 ? ? i,w= i,求复数 zw+zw3 的模 2 2 2 2

及辐角主值.

第 48 页

38.(1996 上海理,22)设 z 是虚数,w=z+

1 是实数,且-1<ω<2. z

(Ⅰ)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (Ⅱ)设 u=

1? z ,求证:u 为纯虚数; 1? z

(Ⅲ)求 w-u2 的最小值. 39.(1995 上海,22)已知复数 z1、z2 满足|z1|=|z2|=1,且 z1+z2=


1 3 ? i.求 z1、z2 的值. 2 2

40.(1995 全国文,22)设复数 z=cosθ+isinθ,θ∈(π,2π).求复数 z2+z 的模和辐角. 41.(1995 全国理,21)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为



Z1,Z2,Z3,O(其中 O 是原点) ,已知 Z2 对应复数 z2=1+


3 i,求 Z1 和 Z3 对应的复数.

42.(1994 全国理,21)已知 z=1+i,

(Ⅰ)设 w=z2+3 z -4,求 w 的三角形式.

z 2 ? ax ? b (Ⅱ)如果 2 =1-i,求实数 a,b 的值. z ? z ?1

(? ) 2 ? 4 3 43.(1994 上海,22)设 w 为复数,它的辐角主值为 π,且 为实数,求复数 ? 4
w. ●答案解析

第 49 页

2.答案:A 解析:由已知 z=

m ? 2i (m ? 2i )(1 ? 2i ) 1 ? ? [ (m-4)-2(m+1)i]在复平面对 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 5
?m ? 4 ? 0 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于 ?m ? 1 ? 0

应点如果在第一象限,则 ? 第一象限. 3.答案:B

解析: (1+i) (cosθ+isinθ)=

2 (cos

? 4

+isin

? 4

) (cosθ+isinθ)



2 [cos(θ+

? 4

)+isin(θ+

? 4

) ]

∵θ∈(

? 2

,π) ∴θ+

? 4

∈(

3? 5? , ) 4 4

第 50 页

∴该复数的辐角主值是 θ+

? . 4

6.答案:D 解法一: z

1 3 ? ? 1 5? ? 2 2( ? i ) ? 2 2 (cos ? i sin ), arg ? 2? ? arg z ? 2 2 3 3 z 3
? 2 (1 ? 3i)


解法二: z

1 1 ? 3i ? z 2 2



1 2 2

? 0,?

3 1 1 ? 0, 应在第四象限,tanθ= ? 3 ,θ=arg . z z 2 2

∴arg

1 5 是 π. z 3

8.答案:B 解析:根据复数乘法的几何意义,所求复数是

第 51 页

? ? 1 3 (3 ? 3i )[cos(? ) ? i sin( ? )] ? (3 ? 3i )( ? i ) ? ?2 3i . 3 3 2 2
9.答案:C 解法一: 采用观察排除法.复数 z

? ?3(cos ? i sin ) 对应点在第二象限,而选项 A、 5 5

?

?

B 中复数对应点在第一象限,所以可排除.而选项 D 不是复数的三角形式,也可排除,所以 选 C. 解法二:把复数 z

? ?3(cos ? i sin ) 直接化为复数的三角形式,即 5 5

?

?

? i sin ) ? 3[cos( ? ) ? i sin(? ? )] ? 5 5 5 5 4? 4? ? 3(cos ? i sin ). 5 5 z ? 3(? cos

?

?

?

?

第 52 页

12.答案:D 解法一:∵-i=cos

3? 3? +isin 2 2

3 3 ? ? 2k? ? ? 2k? 2 2 ∴-i 的三个立方根是 cos (k=0,1,2) ? i sin 3 3 3 ? 2 ? i sin 当 k=0 时, cos 3 3 ? 2 ? cos ? ? i sin ? ? i ; 3 2 2

3 3 ? ? 2? ? ? 2? 7 7 3 1 当 k=1 时, cos 2 ? i sin 2 ? cos ? ? i sin ? ? ? ? i; 3 3 6 6 2 2 3 3 ? ? 4? ? ? 4? 11 11 3 1 2 2 当 k=2 时, cos ? i sin ? cos ? ? i sin ? ? ? i. 3 3 6 6 2 2

13.答案:B 解法一: 2 ? 2i ? 2

2 (cos ? i sin ) , 4 4

?

?

故(2+2i)4=26(cosπ+isinπ)=-26,1-

3i ? 2(cos ? i sin ) , 3 3

?

?

故 (1 ?

3i ) 5 ?

5? 5? cos ? i sin 3 3

25

.

第 53 页

于是

(2 ? 2i ) ? (1 ? 3i ) 5
4

? 2 6 (cos

5? 5? ? i sin ) 3 3 ? ?2( 1 ? 3 i ) ? 1 ? 3i , 5 2 2 2

所以选 B.

16(1 ? i ) 4 1 ( 2i ) 2 2 ?? ? 2 1 1 3 5 3 2 1 3 解法二:原式= ? 2 5 ( ? ? i) (? ? i) ? ? i 2 2 2 2 2 2
?4 ? 4(1 ? 3i ) ? ? ?1 ? 3i 4 1 ? 3i

?

∴应选 B

14.答案:B 解析:z=-

1 3 ? i 是 z3=1 的一个根,记 z=ω,ω4=ω,故选 B. 2 2

第 54 页

17.答案:

? 2
1

解析:设 z OP

? x1 ? y1i, z OP ? x2 ? y 2 i
2

∵w1⊙w2=0 ∴由定义 x1x2+y1y2=0 ∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2=

? 2



第 55 页

21.答案:2+i 解析:由已知 z 故 z=2+i. 22.解法一:设 z=a+bi(a,b∈R) ,则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i. 由题意,得 a=3b≠0. ∵|ω|= |

?

4 ? 3i (4 ? 3i)(1 ? 2i ) 4 ? 6 ? (3 ? 8)i ? ? ? 2?i, 1 ? 2i 1? 4 5

z |? 5 2 , 2?i
a 2 ? b 2 ? 5 10 .

∴|z|=

将 a=3b 代入,解得 a=± 15,b=± 15. 故 ω=±

15 ? 5i =± (7-i) . 2?i

解法二:由题意,设(1+3i)z=ki,k≠0 且 k∈R, 则 ω=

ki . (k ? i )(1 ? 3i )
2 ,∴k=±50.

∵|ω|=5

故 ω=± (7-i) .

第 56 页

23.解:∵z=1+i, ∴az+2b z =(a+2b)+(a-2b)i, (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i, 因为 a,b 都是实数,所以由 az+2b z =(a+2z)2 得

?a ? 2b ? a 2 ? 4a, ? ?a ? 2b ? 4(a ? 2).
两式相加,整理得 a2+6a+8=0, 解得 a1=-2,a2=-4, 对应得 b1=-1,b2=2. 所以,所求实数为 a=-2,b=-1 或 a=-4,b=2.

(Ⅱ)z7=1,z=cosα+isinα ∴z7=cos7α+isin7α=1,7α=2kπ z+z2+z4=-1-z3-z5-z6 =-1-[cos(2kπ-4α)+isin(2kπ-4α)+cos(2kπ-2α)+isin(2kπ- 2α)+cos(2kπ-α)+isin(2kπ-α) ] =-1-(cos4α-isin4α+cos2α-isin2α+cosα-isinα) ∴2(cosα+cos2α+cos4α)=-1,

第 57 页

cosα+cos2α+cos4α=-

1 2

解法二:z2·5=1,z2= z
?4 ?6

1 ? z ?5 5 z

同理 z3= z ,z= z

∴z+z2+z4=-1- z - z - z ∴z+ z + z +z+ z +z=-1 ∴cos2α+cosα+cos4α= ?
?2 ?4

?4

?2

1 2

解法二:|z|=1 可看成 z 为半径为 1,圆心为(0,0)的圆. 而 z1 可看成在坐标系中的点(2,-2) ∴|z-z1|的最大值可以看成点 (2, -2) 到圆上的点距离最大.由图 12—2 可知: |z-z1|max =2

2 +1

第 58 页

26.(Ⅰ)解:∵α 是方程 x2-

2 x+1=0 的根

∴α1=

2 2 (1+i)或 α2= (1-i) 2 2
2

(? ) n i n 2 - ? 当 α1= (1+i)时,∵α12=i,α12n 1= 1 ?1 ?1 2
∴ M ?1

?{

i

?1

,

?1 ? i 1 2 2 2 2 , , }?{ (1 ? i ),? (1 ? i ),? (1 ? i ), (1 ? i )} ?1 ?1 ?1 2 2 2 2

当 α2=

2 (1-i)时,∵α22=-i 2
?{

∴ M ?2

?2 ?2 ?2 ?2

? i ?1 i 1 , , , } ? M?

1

∴Mα= {

2 2 2 2 (1 ? i ),? (1 ? i ),? (1 ? i ), (1 ? i ) } 2 2 2 2

第 59 页

28.解:设 z=x+yi(x、y∈R) , ∵|z|=5,∴x2+y2=25, 而(3+4i)z=(3+4i) (x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i, 又∵(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上, ∴3x-4y+4x+3y=0,得 y=7x ∴x=±

2 7 2 ,y=± 2 2 2 7 2 + i) 2 z=± ; (1+7i) . 2 2

即 z=± (



2 z=1+7i 时,有|1+7i-m|=5 2 ,

即(1-m)2+72=50, 得 m=0,m=2. 当

2 z=-(1+7i)时,同理可得 m=0,m=-2.

第 60 页

解:∵该直线上的任一点 P(x,y) ,其经变换后得到的点 Q(x+ 直线上, ∴

3 y, 3 x-y)仍在该

3 x-y=k(x+ 3 y)+b, 3 k+1)y=(k- 3 )x+b,

即-(

第 61 页

30.解:由 0<θ<

? 2

得 tanθ>0.

由 z=3cosθ+i· 2sinθ,得 0<argz<

? 2

及 tan(argz)=

2 sin ? 2 ? tanθ 3 cos? 3

2 tan ? ? tan ? 1 3 故 tany=tan(θ-argz)= ? 2 3 1 ? tan 2 ? ? 2 tan ? 3 tan ?


3 +2tanθ≥2 6 tan ?



1 3 ? 2 tan ? tan ?



6 12

当且仅当

3 ? =2tanθ(0<θ< )时, tan ? 2

第 62 页

即 tanθ=

6 时,上式取等号. 2
6 6 时,函数 tany 取最大值 2 12

所以当 θ=arctan

由 y=θ-argz 得 y∈( ?

? ?

. , ) 2 2

由于在( ?

? ?
2 2 ,

)内正切函数是递增函数,函数 y 也取最大值 arctan

6 . 12

评述:本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所 学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖,对提高考生的数学素 质要求是今后的命题方向.

∴复数 z (1-ci)的辐角主值在[0,

? ) 2
2 ? 2c 2 =arctan( -1) , 2 ? 2c 1? c

范围内,有 arg[ z (1-ci) ]=arctan

第 63 页

∵0<c≤1,∴0≤

2 -1<1, 1? c

有 0≤arctan(

? 2 -1)< , 1? c 4

∴0≤arg[ z (1-ci) ]<

? 4



32.解:设 z=a+bi(a,b∈R) ,则 z =a-bi,代入 4z+2 z =3 得 4(a+bi)+2(a-bi)=3

3 +i

3 +i.

? 3 ?a ? ? 2 .∴z= 3 ? 1 i. ∴? 2 2 ?b ? 1 ? ? 2

第 64 页

|z-ω|=|

3 1 ? i-(sinθ-icosθ)| 2 2

=

(

3 1 ? ? sin ? ) 2 ? ( ? cos? ) ? 2 ? 3 sin ? ? cos? ? 2 ? 2 sin(? ? ) 2 2 6

∵-1≤sin(θ- ∴0≤|z-ω|≤2.

? 6

)≤1,∴0≤2-2sin(θ-

? 6

)≤4.

评述:本题考查了复数、共轭复数的概念,两复数相等的充要条件、复数的模、复数模 的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.

34.解:由(z-2)i=1+i 得 z=

1? i +2=3-i i
i)=

∴z′=z[cos(-

2 2 ? ? ? )+isin(- ) ]=(3-i) ( 2 2 4 4

2 -2 2 i

z′+

2 i= 2 - 2 i=2(

2 2 7 7 ? i)=2(cos π+isin π) 2 2 4 4

∴arg(z1+

7 2 i)= π 4

评述:本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一:zw+zw3=zw(1+w2)=(

2 2 1 3 ? ? i) ( i) (1+i) 2 2 2 2

第 65 页

=

2 1 3 2 1 3 3 1 ? 2i ( ? i ) ? 2 (? ? i) (1+i)2( ? i)= 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2 (cos

5? 5? ? i sin ) 6 6
2 ,辐角主值为

故复数 zw+zw3 的模为

5? . 6

解法二:w=

2 2 ? ? ? i=cos +isin 2 2 4 4

zw+zw3=z(w+w3)=z[ (cos

? ? +isin 4 4

)+(cos

? 4

+isin

? 4

)3]

=z[ (cos

? 4

+isin

? 4

)+(cos

3? 3? 2 2 2 2 ? i? ? i) +isin ) ]=z( 2 2 2 2 4 4

=(

5 5? 1 3 3 1 ? i ) ? 2i ? 2 (? ? i ) ? 2 (cos ? ? i sin ) 2 2 2 2 6 6

故复数 zw+zw3 的模为

5 2 ,辐角主值为 π. 6

评述:本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.

第 66 页

又因为|OP|=| z? |=1,|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1 ∴|OP|=|OQ|. 由此知△OPQ 为等腰直角三角形. 证法二:∵z=cos(- ∴z3=-i 又 ω=

? 6

)+isin(-

? 6

).

2 2 ? ? ? i ? cos ? i sin . 2 2 4 4

∴ω4=-1

z 2? 3 z 2? 3 z? z 3? 4 ? ? ?i 于是 | z? | 2 z? z? z?
由此得 OP⊥OQ,|OP|=|OQ| 故△OPQ 为等腰直角三角形.

第 67 页

(2)由 z1=1+mi(m>0) 12=z2 得 z2=(1-m2)+2mi ,z ∴ω=-(1+m2)+2mi tanθ=-

2m ?? 1? m2

2 m? 1 m

由 m>0,知 m+

1 ≥2,于是-1≤tanθ≤0 m

又 -(m2+1)<0,2m>0,得

3 π≤θ<π 4

因此所求 θ 的取值范围为[

3 π,π). 4

38.解: (Ⅰ)设 z=a+bi,a、b∈R,b≠0 则 w=a+bi+

1 a b ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i 2 a ? bi a ?b a ? b2

因为 w 是实数,b≠0,所以 a2+b2=1, 即|z|=1. 于是 w=2a,-1<w=2a<2,-

1 <a<1, 2

第 68 页

所以 z 的实部的取值范围是(-

1 ,1). 2

(Ⅱ) u

?

1 ? z 1 ? a ? bi 1 ? a 2 ? b 2 ? 2bi b ? ? ? i. 2 2 1 ? z 1 ? a ? bi (1 ? a ) ? b a ?1

因为 a∈(-

1 ,1) ,b≠0,所以 u 为纯虚数. 2

39.解:由|z1+z2|=1,得(z1+z2) z1 (

? z 2 )=1,又|z1|=|z2|=1,故可得 z1 z 2 + z1 z2=-1,所

以 z1 z 2 的实部= z1 z2 的实部=-

3 1 .又| z1 z2|=1,故 z1 z2 的虚部为± , 2 2

3 1 z1 z2=- ± i,z2=z1 (? 1 ? 3 i ) . 2 2 2 2
于是 z1+z1 ( ?

1 3 1 3 ? i) ? ? i, 2 2 2 2

所以 z1=1,z2= ?

1 3 1 3 ? i 或 z1= ? ? i ,z2=1. 2 2 2 2

第 69 页

? z1 ? 1 ? 1 3 i ? ? z1 ? ? ? 所以 ? 2 2 1 3 ,或 ? i ?z2 ? ? ? ?z ? 1 ? 2 2 ? 2
40.解法一:z2+z=(cosθ+isinθ)2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ =2cos

3? 3 ? ? ? 3 3 θcos +i· 2sin cos =2cos (cos θ+isin θ) 2 2 2 2 2 2 2

=-2cos

? 3 3 [cos(π+ θ)+isin(π+ θ) ] 2 2 2
? ? ∈( 2 2
,π) ,∴-2cos

∵θ∈(π,2π) ,∴

? >0 2

∴复数 z2+z 的模为-2cos

? 3 ,辐角为 2kπ+π+ θ(k∈Z) 2 2

第 70 页

解法二:设 Z1、Z3 对应的复数分别是 z1、z3,根据复数加法和乘法的几何意义,依题意得

? z1 ? z 3 ? z 2 ? ? z 3 ? z1 ? iz 2
∴z1=

1 1 1? 3 3 ?1 z2(1-i)= (1- 3 i) (1-i)= i ? 2 2 2 2
1? 3 3 ?1 1? 3 1? 3 i)= i ? ? 2 2 2 2

z3=z2-z1=(1+ 3 i)-(

42.解: (Ⅰ)由 z=1+i,有 w=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以 w 的三角形式是

5 5 2 (cos ? ? i sin ? ) 4 4

43.解:因为 w 为复数,argw= ? ,所以设 w=r(cos ? +isin ? ) , 则

3 4

3 4

3 4

第 71 页

(w ) 2 ? 4 1 3 3 3 3 ? (cos ? ? i sin ? )[r 2 (cos ? ? i sin ? ) ? 4] w r 4 4 2 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (? ? i )(r i ? 4) ? (1 ? i )(4 ? r i ) ? [4 ? r ? ( 4 ? r )i ] ? R, r 2 2 2r 2r
从而 4-r2=0,得 r=2. 因此 w=2(cos ? ? i sin ? ) =- 2 + 2 i.

3 4

3 4

模拟
2 2 1、 (2012 滨州二模)设 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 ? z = z
(A)-1-i w (C)1-i w w . k s 5 u . c o m (B)-1+i (D)1+i 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

来 源 2 : 3、 (2012 德州一模)若复数 z ? ( x ? 1 ) ? ( x ? 1 )i 为纯虚数,则实数 x 的值为( 高 考 A. ?1 B.0 C.1 D. ?1 或 1 资 源 网

)

第 72 页

4、 (2012 济南 3 月模拟)复数 A.

1 i 25

B.

1 25

1+i 的虚部是 4+3i 1 C. ? 25

D. ?

1 i 25

【答案】B 【解析】

1? i (1 ? i )(( 4 ? 3i ) 1 ? i 1 1 1 ,选 B. ? ? ? ? i ,所以虚部为 4 ? 3i (4 ? 3i )( 4 ? 3i ) 25 25 25 25
2n

5、 (2012 济南三模) i 是虚数单位,能使得 (1 ? i) 是 答案:3 解 析 : 由 (1 ? i)
2n

? ?2 n ? i 成立的成立的最小正整数

? ?2 n ? i , 得 (2i) n ? 2 n ? i n ? ?2 n ? i , 所 以 i n ? ?i , 即

n ? 4k ? 3, k ? N ,所以最小的正整数为 3。
6、 (2012 临沂 3 月模拟)复数

i2 ? i3 ? i4 ? 1? i
(C) ?

(A)

1 1 ? i 2 2

(B)

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

(D) ?

1 1 ? i 2 2

7、 (2012 临沂二模)若纯虚数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? bi , i 是虚数单位, b 是实数) ( ,则 b ? (A)8 【答案】B 【 解 析 】 因 为 z 是 纯 虚 数 , 所 以 设 z ? ai, (a ? 0) , 则 ai(2 ? i) ? 4 ? bi , 即 (B) ?8 (C) 2 (D) ?2

a ? 2ai ? 4 ? bi ,根据复数相等,得 a ? 4,?b ? 2a ? 8 ,所以 b ? ?8 ,选 B.
8、 (2012 青岛二模). 设复数 z ? 1 ?

2 2 (其中 i 为虚数单位),则 z ? 3z 的虚部为 i

第 73 页

A. 2i

B. 0

C. ?10

D. 2

9、 (2012 青岛 3 月模拟) 已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则复数 z ? 答案:

.

1 3 ? i 5 5
1 ? i ?1 ? i ?? 2 ? i ? 1 ? 3i ? ? . 2?i 5 5
1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 1? i 3 (D) 2

【解析】 z ?

10、 (2012 日照 5 月模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z ? (A) ? 答案:D 【解析】 z ? ?

1 i 2

(2) ?

1 2

(C) i

3 2

3 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) ? 1 ? 3i 1 3 ? ? ? ? ? i , 复数 z 的虚部是 .选 D。 ? 2 1? i (1 ? i)(1 ? i ) 2 2 2

11、 (2012 泰安一模)已知 i 是虚数单位,则 A. ? i 【答案】A 【解析】 B. i C.

4 3 ? i 5 5

1 ? 2i 等于 2?i 4 D. ? i 5

1 ? 2i (1 ? 2i )( 2 ? i ) ? 5i ? ? ? ?i ,选 A. 2?i (2 ? i )( 2 ? i ) 5

12、 (2012 威海二模)复数 A.

1 1 + i 2 2

1 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 B. C. ? + i ? i 2 2 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

第 74 页

13、 (2012 烟台二模)已知复数 z1 ? 2 ? i, z 2 ? 1 ? ai, a ? R ,若 z ? z1 ? z 2 在复平面上对应 的点在虚轴上,则 a 的值是 A. ?2 B.

1 2

C.2

D. ?

1 2

【江西省泰和中学 2012 届高三模拟】复数 ( )A.i 【答案】C 【解析】因为 B.-I C.1

3?i 的实部为 i?2
D.-1

3?i ? 1 ? i ,所以实部为 1. i?2
( )

1 (1 ? )(1 ? i) i 【2012 唐山市高三模拟统一考试理】复数 =
A.2i 【答案】 A B.-2i C.2 D.-2

【解析】本题主要考查复数的四则运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

1 (i ? 1)(1 ? i) ?2 ?2i (1 ? )(1 ? i) ? ? ? ? 2i i i i i ?i

z1 z ? 1 ? 3i z2 ? 3 ? 2i z 【2012 江西师大附中高三模拟】设复数 1 , ,则 2 在复平面内对
应的点在( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

第 75 页

【2012 三明市普通高中高三上学期联考理】已知 i 是虚数单位,则 (1 ? i)i ? A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

1 ? 2i 【2012 黄冈市高三模拟考试理】复数 1 ? i (i 是虚数单位)的虚部是( 1 C. 2 3 D. 2



A.1 【答案】 C

B.3

【解析】本题主要考查复数的四则运算运算以及虚部的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.

1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) ?1 ? i 1 1 1 ? ? ?? ? i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 ,虚部是 2
z?
【2012 金华十校高三模拟联考理】复数 x 的值为 ( A.3 【答案】 B 【解析】 本题主要考查复数的概念与复数的四则运算. 属于基础知识、 基本运算的考查. ) B.-3 C.0 D. 3

x ? 3i 1 ? i ( x ? R, i 是虚数单位)是实数,则

第 76 页

z?

x ? 3i ( x ? 3i)(1 ? i) ( x ? 3) ? (3 ? x)i x ? 3 3 ? x ? ? ? ? i 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2 是实数,

3? x ? 0 ? x ? ?3 ∴ 2 2i 【2012 武昌区高三年级调研理】复数 1 ? i 的共轭复数为
A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i





【2012 武昌区高三年级调研理】执行右边的程序框图,那么输出的 S 的值是 ( A.2 450B.2 550 C.5 050 D.4 900 【答案】A 【解析】本题主要考查算法框图的识图,属于基础知识、基本能力的考查. 从框图可以看出,它是要求输出 98 以内偶数的和,



0 ? 2 ? 4 ? ? ? 98 ?

(0 ? 98) ? 50 ? 50 ? 49 ? 2450 2
的实部是

【2012 年西安市高三年级质检理】复数 A.-1 B. 1 C.O D. -2

【2012 宁德质检理】已知复数 (1 ? 2i )i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点 M 在直

1 1 ? y ? mx ? n 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为 线



第 77 页

1 ? i3 1? i 【2012 韶关第一次调研理】在复平面内,复数 对应的点位于
A.第一象限 【答案】D B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





1 1? i 1? i 1 ? i3 ? ?i ? ? i3 2 2 ,实部为正,虚部为负,所以复数 1 ? i 【解析】 1 ? i 对应的
点位于第四象限。

【2012 ? 深圳中学模拟理】已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,则 应的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限

z?

z2 z1 在复平面内所对

D.第四象限

【2012 ? 黑龙江绥化市一模理】 已知复数 z ? (a ? 1) ? (a ? 2)i , a ? R ),则“ a ? 1 ”是“ z 为 (
2

纯虚数” 的( ) B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件

A.充分非必要条件 【答案】A

【解析】若 a ? 1, 则 z ? ?i 为纯虚数;若 z 为纯虚数,则 a ? ?1 。所以“ a ? 1 ”是“ z 为 纯虚数”的充分非必要条件

第 78 页

【2012 浙江瑞安模拟质检理】设复数 z 满足 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i ,则 z = 【答案】 2i

.

【解析】 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i ,

z?

6 ? 4i ? 21 2 ? 3i

z1 z2 ? ? z1 ? 1 ? i z2 ? 1 ? i i z2 z1 【2012 延吉市质检理】设 , ( 是虚数单位) ,则
( ) A. ?i B. i C. 0 D.1

1 3 ?i ? 【2012 浙江宁波市模拟理】已知 i 为虚数单位,则 i (
(A) 0 【答案】D (B) 1 ? i (C) 2i (D) ? 2i



1 3 ?i ? ?i ? i ? ?2i ,选 D。 【解析】 i

z?
【2012 安徽省合肥市质检理】复数

1 1 ? i (i 为虚数单位)的共轭复数 z 是(



A.1-i

1 1 ? i B.1+i C. 2 2

1 1 ? i D. 2 2

.

第 79 页

2 【2012 吉林市模拟质检理】 i 是虚数单位,若复数 z ? ( m ? 1) ? ( m ? 1)i 为纯虚

数,则实数 m 的值为 【答案】-1

.

?m 2 ? 1 ? 0 ? m ?1 ? 0 【解析】由题可得 ? ,解得 m ? ?1 。
【2012 江西南昌市调研理】集合 M={4,-3m+(m-3)i} (其中 i 为虚数单位),N={-9, 3},若 M∩N≠? , 实数 m 的值为 ( 则 A.-1 B.-3 ) C.3 或-3 D.3

【2012 广东佛山市质检理】已知 i 是虚数单位, m 、 n ? R ,且 m(1 ? i) ? 1 ? n i ,则

? m ? ni ? ? ? ? ? m ? ni ?
2

A. i

B. ?i

C. 1

D. ?1

2 ? bi 【2012 河南郑州市质检理】如果复数 1 ? 2i (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和
虚部互为相反数,那么 b 等于( )

?
A.

2 3

2 B. 3

C.

2

D.2

【答案】A

第 80 页

2 ? bi (2 ? bi)(1 ? 2i) (2 ? 2b) ? (b ? 4)i ? ? 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 【解析】 , 由 题 2 ? 2b ? b ? 4 , 解 得
b?? 2 3。

【2012 北京海淀区模拟理】复数 i(1 ? 2i) ? (A) ?2 ? i 【答案】B 【解析】 i (1 ? 2i ) ? i ? 2i ? 2 ? i ,选 B。
2

(B) 2 ? i

(C) 2 ? i

(D) ?2 ? i

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第 81 页

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