tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 研究生入学考试 >>

多年考研数学一试题与答案解析


2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 f ( x) ? (A)0 (C)2 (2)函数 f ( x, y ) ? arctan (A) i (C) j

?

x2

0

ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数
(B)1 (D)3

x 在点 (0,1) 处的梯度等于 y
(B)- i (D) ? j

(3)在下列微分方程中,以 y ? C1e x ? C2 cos 2 x ? C3 sin 2 x ( C1 , C2 , C3 为任意常数)为通 解的是 (A) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (C) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (B) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (D) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0

(4)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界, ? xn ? 为数列,下列命题正确的是 (A)若 ? xn ? 收敛,则 ? f ( xn )? 收敛 (C)若 ? f ( xn )? 收敛,则 ? xn ? 收敛 (B)若 ? xn ? 单调,则 ? f ( xn )? 收敛 (D)若 ? f ( xn )? 单调,则 ? xn ? 收敛

(5)设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 ? 0 ,则 (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆 (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆 (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆 (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆 (6)设 A 为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

?x? ? ? ( x, y , z ) A ? y ? ? 1 在正交变换下的标准方程的图形如 ?z ? ? ?
图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

1

(7)设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ? x ? ,则 Z ? max ? X , Y ? 分布函数为 (A) F
2

? x?
2

(B) F ? x ? F ? y ? (D) ?1 ? F ? x ? ? ?1 ? F ? y ? ? ? ?? ?

(C) 1 ? ?1 ? F ? x ? ? ? ?

(8)设随机变量 X ~ N ? 0,1? , Y ~ N ?1, 4 ? 且相关系数 ? XY ? 1 ,则 (A) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1 (C) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1 (B) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1 (D) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1

二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy? ? y ? 0 满足条件 y ?1? ? 1 的解是 y ? ????????????????? . (10)曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? . (11) 已 知 幂 级 数
?

? a ? x ? 2?
n ?0 n

?

n

在 x ? 0 处 收 敛 , 在 x ? ?4 处 发 散 , 则 幂 级 数

? a ? x ? 3?
n ?0 n

n

的收敛域为 ????????????????? .

(12)设曲面 ? 是 z ?

4 ? x 2 ? y 2 的上侧,则 ?? xydydz ? xdzdx ? x 2dxdy ? ????????????????? .
?

(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 ? 0, Aα 2 ? 2α1 ? α 2 ,则 A 的 非零特征值为 ????????????????? . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X ? EX 2 ? ????????????????? .

?

?

三、 解答题(15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求极限 lim

?sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? . x ?0 x4

(16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分

? sin 2xdx ? 2? x
L

2

? 1 ydy,其中 L 是曲线 y ? sin x 上从点 ? 0, 0? 到点 ?

?? , 0 ? 的一段.

2

(17)(本题满分 10 分) 已知曲线 C : ?

? x2 ? y 2 ? 2z 2 ? 0 ? x ? y ? 3z ? 5

,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分 10 分) 设 f ? x ? 是连续函数, (1)利用定义证明函数 F ? x ? ?

? f ?t ? dt 可导,且 F ? ? x ? ? f ? x ? .
x 0

(2)当 f ? x ? 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G ? x ? ? 2 以 2 为周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分)

?

x

0

f (t )dt ? x ? f (t )dt 也是
0

2

f ? x ? ? 1 ? x (0 ? x ? ? ) ,用余弦级数展开,并求 ?
2
n ?1

?

? ?1?
n2

n ?1

的和.

(20)(本题满分 11 分)

A ? ααT ? ββT , αT 为 α 的转置, βT 为 β 的转置.证明:
(1) r ( A) ? 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A) ? 2 . (21)(本题满分 11 分)

? 2a 1 ? ? 2 ? a 2a ? ? 设 矩 阵 A?? , 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX ? B , 其 中 ? ? ? 1 ? ? ? a 2 2 a ? n? n ?
X ? ? x1 ,? , xn ? , B ? ?1, 0,? , 0 ? ,
T

(1)求证 A ? ? n ? 1? a .
n

(2) a 为何值,方程组有唯一解,求 x1 . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P ? X ? i? ? 度为 fY ? y ? ? ?

1 ? i ? ?1, 0,1? , Y 的概率密 3

?1 0 ? y ? 1 ,记 Z ? X ? Y , ?0 其它
1 ? X ? 0? . 2 ?

(1)求 P ? Z ?

? ?

3

(2)求 Z 的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 X 1 , X 2 ,? , X n 是总体为 N ( ? , ? ) 的简单随机样本.
2

记X ?

1 n 1 1 n ? X i , S 2 ? n ? 1 ? ( X i ? X )2 , T ? X 2 ? n S 2 n i ?1 i ?1
2

(1)证明 T 是 ? 的无偏估计量. (2)当 ? ? 0, ? ? 1 时 ,求 DT .

4

2008 年考研数学试题答案与解析(数学一)
一、选择题 (1)【答案】 B 【详解】 f ?( x) ? [ln(2 ? x )] ? 2 x , f ?(0) ? 0 ,即 x ? 0 是 f ?( x) 的一个零点
2

4 x2 又 f ??( x) ? 2ln(2 ? x ) ? ? 0 ,从而 f ?( x) 单调增加( x ? (??, ??) ) 2 ? x2
2

所以 f ?( x) 只有一个零点. (2)【答案】 A

?x y2 1y 【详解】因为 f x? ? , f y? ? ,所以 f x?(0,1) ? 1 , f y?(0,1) ? 0 1 ? x2 y2 1 ? x2 y 2
所以

gradf (0,1) ? 1? i ? 0 ? j ? i

(3)【答案】 D 【详解】由微分方程的通解中含有 e 、 cos 2x 、 sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程 有根 r ? 1, r ? ?2i ,所以特征方程为 (r ? 1)(r ? 2i)(r ? 2i) ? 0 ,即 r ? r ? 4r ? 4 ? 0 . 故
3 2

x

以已知函数为通解的微分方程是 y??? ? y?? ? y? ? 4 ? 0 (4)【答案】 B 【详解】因为 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界,且 { xn } 单调. 所以 { f ( xn )} 单调且有界. 故

{ f ( xn )} 一定存在极限
(5)【答案】 C 【详解】 ( E ? A)( E ? A ? A ) ? E ? A ? E , ( E ? A)( E ? A ? A ) ? E ? A ? E
2 3 2 3

故 E ? A, E ? A 均可逆. (6)【答案】 B 【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面,其方程为

x? 2 y ? 2 z ? 2 ? ? ? 1 ,即二次型的标准型 a 2 b2 c 2

为f ?

x?2 y?2 z?2 ? ? ,而标准型的系数即为 A 的特征值. a 2 b2 c 2

(7)【答案】 A

5

【详解】 FZ ? z ? ? P ? Z ? z ? ? P max ? X , Y ? ? z ? P ? X ? z ? P ?Y ? z ? ? FZ ? z ? FZ ? z ? ? FZ (8)【答案】 D

?

?

2

?z?

【详解】 用排除法. 设 Y ? aX ? b , ? XY ? 1 , 由 知道 X , Y 正相关, a ? 0 , 得 排除 ? A ? 、? C ? 由 X ~ N (0,1), Y ~ N (1, 4) ,得 EX ? 0, EY ? 1, 所以

E(Y ) ? E(aX ? b) ? aEX ? b a ? 0 ? b ? 1, 所以 b ? 1. 排除 ? B ? . 故选择 ? D ?

二、填空题 (9) 【答案】 1 x 【详解】由

1 dy ?y ? x ? C ,又 y (1) ?1 ,所 ,两端积分得 ? ln y ? ln x ? C1 ,所以 ? y dx x

以y?

1 . x

(10) 【答案】 y ? x ? 1

1 ?1 Fx? dy y?x 【详解】设 F ( x, y) ? sin( xy) ? ln( y ? x) ? x ,则 , ?? ?? 1 dx Fy? x cos( xy ) ? y?x y cos( xy ) ?
将 y (0) ? 1 代入得

dy dx

? 1 ,所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 0 ,即 y ? x ? 1
x ?0

(11)【答案】 (1,5]

【详解】幂级数

? a ( x ? 2)
n ?0 n

?

n

的收敛区间以 x ? ?2 为中心,因为该级数在 x ? 0 处收敛,

在 x ? ?4 处发散,所以其收敛半径为 2,收敛域为 (?4,0] ,即 ?2 ? x ? 2 ? 2 时级数收敛,

亦即

?a t
n ?0 n

?

n

的收敛半径为 2,收敛域为 (?2, 2] . 则
?

? a ( x ? 3)
n ?0 n

?

n

的收敛半径为 2,由

?2 ? x ? 3 ? 2得 1 ? x ? 5 ,即幂级数 ? an ( x ? 3)n 的收敛域为 (1,5]
n ?0

(12)【答案】 4? 【详解】加 ?1 : z ? 0( x ? y ? 4) 的下侧,记 ? 与 ?1 所围空间区域为 ? ,则
2 2

6

?? xydydz ? xdzdx ? x dxdy
2 ?

?

???1

?? xydydz ? xdzdx ? x dxdy ? ?? xydydz ? xdzdx ? x dxdy
2 2 ?1
? x2 ? y 2 ? 4

? ??? ydxdydz ? (?

??

x 2 dxdy ) ? 0 ?

1 2 2 ?? ( x ? y )dxdy 2 x2 ? y 2 ? 4

?

2 1 2? d? ? r 3dr ? 4? 0 2 ?0

(13)【答案】1 【详解】 A(?1 , ? 2 ) ? ( A?1 , A? 2 ) ? (0, 2?1 ? ? 2 ) ? (?1 , ? 2 ) ?

?0 2? ? ?0 1 ?

记 P ? (?1 , ? 2 ) , B ? ?

?0 2? ? ,则 AP ? PB ?0 1 ?
?1

因为 ?1 , ? 2 线性无关,所以 P 可逆. 从而 B ? P AP ,即 A 与 B 相似. 由 | ? E ? B |?

? ?2 ? ? (? ? 1) ? 0 ,得 ? ? 0 及 ? ? 1 为 B 的特征值. 0 ? ?1
1 2e
2 2 2 2

又相似矩阵有相同的特征值,故 A 的非零特征值为 1. (14)【答案】

【详解】由 DX ? EX ? ( EX ) ,得 EX ? DX ? ( EX ) ,又因为 X 服从参数为 1 的泊松 分布,所以 DX ? EX ? 1 ,所以 EX 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 P ? X ? 2? ? 三、解答题 (15) 【详解】 方法一: lim

12 ?1 1 ?1 e ? e 2 ! 2

[sin x ? sin(sin x)]sin x sin x ? sin(sin x) ? lim 4 x ?0 x ?0 x x3

1 2 sin x cos x ? cos(sin x) cos x 1 ? cos(sin x) 1 2 ? lim ? lim ? lim ? 2 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 3x 3x 3x 6 1 3 1 3 方法二:? sin x ? x ? x ? o( x ) ?? sin(sin x) ? sin x ? sin 3 x ? o(sin 3 x) 6 6
???lim ? sin 4 x o(sin 4 x) ? 1 [sin x ? sin(sin x)]sin x ? lim ? ? ??6 4 x ?0 x ?0 x4 x4 ? 6x ?

(16) 【详解】 方法一: (直接取 x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算)

7

? sin 2 xdx ? 2( x
L

2

? 1) ydy
?
0

? ? [sin 2 x ? 2( x 2 ? 1)sin x ? cos x]dx ? ? x 2 sin 2 xdx
0

?

? x ? x 1 ? ?2 ? ? cos 2 x ? ? x cos 2 xdx ? ? ? sin 2 x ? ? sin 2 xdx ? ? 0 2 2 2 2 0 2 0 0
2 2

?

?

方法二: (添加 x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算) 取 L1 为 x 轴上从点 (? , 0) 到点 (0, 0) 的一段, D 是由 L 与 L1 围成的区域

? sin 2 xdx ? 2( x ? 1) ydy ? ? sin 2 xdx ? 2( x ? 1) ydy ? ?
2 L 2 L ? L1 0

L1

sin 2 xdx ? 2( x 2 ? 1) ydy
sin x

? ? ?? 4 xydxdy ? ? sin 2 xdx ? ? ? dx ?
?
0 D

?

0

? 1 4 xydy ? cos 2 x ? ? ? 2 x sin 2 xdx 0 2 0

?

? ??

?

0

x2 x(1 ? cos 2 x)dx ? ? 2
L

?

0

x 1 ? ?2 ? sin 2 x ? ? sin 2 xdx ? ? 2 2 0 2 0
L

?

方法三: (将其拆成

? sin 2 xdx ? 2 ydy ? ?
2 L

2 x 2 ydy ,前者与路径无关,选择沿 x 轴上的直

线段积分,后者化成定积分计算)

? sin 2 xdx ? 2( x
L

? 1) ydy ? ? sin 2 xdx ? 2 ydy ? ? 2 x 2 ydy ? I1 ? I 2
L

对于 I1 ,因为 积分 I1 ?

?P ?Q ? ? 0 ,故曲线积分与路径无关,取 (0, 0) 到 (? , 0) 的直线段 ?y ?x

?

?

0

sin 2 xdx ? 0
? ?

I 2 ? ? 2 x 2 ydy ? ? 2 x 2 sin x cos xdx ? ? x 2 sin 2 xdx ? ?
L 0 0

1 ? 2 x d cos 2 x 2 ?0

1 1 ? 1 1 ? ? ? x 2 cos 2 x ? ? 2 x cos 2 xdx ? ? ? 2 ? ? xd sin 2 x 2 2 0 2 2 0 0 1 1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? ? x sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? ? 2 2 2? 2 2 ?0 1 2 所以,原式 ? ? ? 2
(17) 【详解】点 ( x, y, z ) 到 xOy 面的距离为 | z | ,故求 C 上距离 xOy 面的最远点和最近点
2 的坐标,等价于求函数 H ? z 在条件 x ? y ? 2 z ? 0 与 x ? y ? 3z ? 5 下的最大值点和最
2 2 2

?

?

小值点. 令

L( x, y, z, ? ? ) 2 z? ? ? ,

2

(x?

2

y?

2 2 z ?) ?

(x ?

? y

3? z

5)

8

所以

? (1) ? Lx ? 2? x ? ? ? 0 ? L? ? 2? y ? ? ? 0 (2) ? y ? ? ? ? ? Lz ? 2 z ? 4 z ? 3 ? 0 ( 3 ) ? x 2 ? y 2 ? 2 z 2? 0 (4) ? (5) ? x ? y ? 3z ? 5 ?
? x2 ? z 2 ? 0 , ? ?2 x ? 3z ? 5

由(1)(2)得 x ? y ,代入(4)(5)有

? x ? ?5 ? 解得 ? y ? ?5 ?z ? 5 ?



?x ? 1 ? ?y ?1 ?z ? 1 ?

(18)【详解】(I) 对任意的 x ,由于 f 是连续函数,所以

F ( x ?? x ) ? F ( x ) ? lim ? lim 0 ? x ?0 ? x ?0 ?x ? lim

x?? x

f (t ) dt ? ? f (t )dt
0

x

?x
,其中 ? 介于 x 与 x ?? x 之间

?

x?? x

x

f (t )dt

? x ?0

?x

? lim

? x ?0

f (? )? x ? lim f (? ) ? x ?0 ?x

由于 lim f (? ) ? f ( x ) ,可知函数 F ( x) 在 x 处可导,且 F ?( x) ? f ( x) .
? x ?0

(II) 方 法 一 : 要 证 明 G ( x) 以 2 为 周 期 , 即 要 证 明 对 任 意 的 x , 都 有 G( x ? 2) ? G ( x ),

H ( x) ? G( x ? 2) ? G( x) ,则

H ?( x) ? 2?

?

x?2

0

? ? 2 x 2 f ? t ? dt ? ( x ? 2) ? f ? t ? dt ? 2? f ? t ? dt ? x ? f ? t ? dt
0 0 0 2 2 0

? ?

?

? 2 f ( x ? 2) ? ? f ? t ? dt ? 2 f ( x) ? ? f ? t ? dt ? 0
又因为 所以

H (0) ? G(2) ? G(0) ? 2? f ? t ? dt ? 2? f ? t ? dt ? 0 ? 0
2 2 0 0

?

0

?

H ( x) ? 0 ,即 G( x ? 2) ? G( x)

方法二:由于 f 是以 2 为周期的连续函数,所以对任意的 x ,有

G( x ? 2) ? G( x) ? 2?
? 2 ? ? f ? t ? dt ? ? ? 0 2 ?
2 x?2

x?2

0

f ?t ? dt ? ( x ? 2)? f ?t ? dt ? 2? f ?t ? dt ? x ? f ?t ? dt
2 x 2 0 0 0
2 x

f ? t ? dt ? ? f ? t ? dt ? ? f ? t ? dt ? ? 0 0 ?

x x x ? 2 ??? f ? t ? dt ? ? f ? u ? 2 ? du ? ? 2? [ f ? t ? 2 ? ? f ? t ?]dt ? 0 ? 0 ? 0 0 ? ?

9

即 G ( x) 是以 2 为周期的周期函数. (19)【详解】 由于

a0 ?

2

?
2

?

?

0

(1 ? x 2 )dx ? 2 ?

2? 2 3

an ?
所以

??

?

0

(1 ? x 2 ) cos nxdx ? (?1)n?1

4 ??????????????n ? 1, 2,? n2

f ( x) ?

? a0 ? ?2 (?1) n ?1 ? ? an cos nx ? 1 ? ? 4? ?cos nx????????0 ? x ? ? 2 n ?1 3 n2 n ?1

令 x ? 0 ,有

f (0) ? 1 ?
?

?2
3

? 4?

(?1) n ?1 ? n2 n ?1
?

又 f (0) ? 1 ,所以

(?1) n ?1 ? 2 ? n2 ? ? 12 n ?1
T T T T

(20)【详解】(I) r ( A) ? r (?? ? ?? ) ? r (?? ) ? r ( ?? ) ? r (? ) ? r ( ? ) ? 2 (II) 由于 ? , ? 线性相关,不妨设 ? ? k ? . 于是

r ( A) ? r (?? T ? ?? T ) ? r ? (1 ? k 2 ) ?? T ? ? r ( ? ) ? 1 ? 2
(21)【详解】(I)证法一:

2a a2 A?

1 2a a
2

2a 1 2a ? ? ? ? ? ? a2 1 2a 1 r2 ? ar1 2 0

1 3a 2 a2 1 2a ? ? ? ? ? ? a
2

?? 1 2a

2a 0 n ?1 rn ? arn ?1 n

1 3a 2 0 1 4a ? 3 ? ? ? ? ? 0 1 (n ? 1)a n
n

? 2a ?

3a 4a (n ? 1)a ? ?? ? (n ? 1)a n 2 3 n

证法二:记 Dn ?| A | ,下面用数学归纳法证明 Dn ? (n ? 1)a .

10

当 n ? 1 时, D1 ? 2a ,结论成立. 当 n ? 2 时, D2 ?

2a a
2

1 2a

? 3a 2 ,结论成立.

假设结论对小于 n 的情况成立.将 Dn 按第 1 行展开得

a2 0 Dn ? 2aDn ?1 ?

1 2 a a
2

1 2a 1 ? ? a
2

? ? ? 1 2a

?? 2aDn ?1 ? a 2 Dn ?2 ? 2ana n ?1 ? a 2 (n ? 1)a n ?2 ? (n ? 1)a n


| A |? (n ? 1)a n
证法三:记 Dn ?| A | ,将其按第一列展开得

Dn ? 2aDn ?1 ? a 2 Dn ? 2 ,

所以

Dn ? aDn ?1 ? aDn ?1 ? a 2 Dn ?2 ? a( Dn ?1 ? aDn ?2 ) ? a 2 ( Dn ?2 ? aDn ?3 ) ? ? ? a n ?2 ( D2 ? aD1 ) ? a n



Dn ? a n ? aDn ?1 ? a n ? a(a n ?1 ? aDn ?2 ) ? 2a n ? ? a 2 Dn ?2 ? ? ? (n ? 2)a n ? a n ?2 D2 ? (n ? 1)a n ? a n ?1D1

? (n ? 1)a n ? a n?1 ? 2a ? (n ? 1)a n
(II)因为方程组有唯一解,所以由 Ax ? B 知 A ? 0 ,又 A ? (n ? 1)a ,故 a ? 0 .
n

由克莱姆法则,将 Dn 的第 1 列换成 b ,得行列式为

1

1 1 2a ? ? ? ? ? ? a
2

2a a ? 1 2a n?n
2

1 2a a2 1 2a ? ? ? ? ? ? a
2

0 2a a2

? Dn ?1 ? na n ?1 1 2a ( n ?1)?( n ?1)

11

所以

x1 ?

Dn?1 n ? Dn (n ? 1)a

(III)方程组有无穷多解,由 A ? 0 ,有 a ? 0 ,则方程组为

?0 1 ? ? x1 ? ?1 ? ? ?? x ? ? ? 0 1 ? ?? 2 ? ?0? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 0 1 ? ? xn ?1 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? xn ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n ? 1 ,所以方程组有无穷多解,其通解为
k ?1 0 0 ? 0 ? ? ? 0 1 0 ? 0 ? , k 为任意常数.
T T

(22)【详解】

(I)

1 1 P( Z ? X ? 0) ? P( X ? Y ? X ? 0) ? 2 2
FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z}

1 P( X ? 0, Y ? ) 1 2 ? P(Y ? 1 ) ? 2 1dy ? 1 P( X ? 0) 2 ?0 2

(II)

? P{X ? Y ? z, X ? ?1} ? P{X ? Y ? z, X ? 0} ? P{X ? Y ? z, X ? 1} ? P{Y ? z ? 1, X ? ?1} ? P{Y ? z, X ? 0} ? P{Y ? z ? 1, X ? 1} ? P{Y ? z ? 1}P{X ? ?1} ? P{Y ? z}P{X ? 0} ? P{Y ? z ?1}P{ X ? 1}

1 ? P{Y ? z ? 1} ? P{Y ? z} ? P{Y ? z ? 1}? 3 1 ? ? FY ( z ? 1) ? FY ( z ) ? FY ( z ? 1)? 3 ?
所以

?1 1 ? , ?1 ? z ? 2 f Z ( z ) ? ? fY ( z ? 1) ? fY ( z ) ? fY ( z ? 1) ? ? ? 3 3 ? 0, 其它 ?

(23) 【详解】 (I) 因为 X ? N ( ? , ? ) ,所以 X ? N ( ? ,
2

?2
n

) ,从而 E X ? ? ,??D X ?

?2
n



因为

2 2 1 1 E (T ) ? E ( X ? S 2 ) ? E X ? E ( S 2 ) n n 1 1 2 1 ? DX ? ( E X )2 ? E (S 2 ) ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 n n n

12

所以, T 是 ? 的无偏估计
2

(II) 方法一: D(T ) ? ET ? ( ET ) , E (T ) ? 0 , E ( S ) ? ? ? 1
2 2 2 2

所以 D(T ) ? ET ? E ( X ?
2

4

2 2 2 S4 X ?S ? 2 ) n n

4 2 2 1 ? E ( X ) ? E ( X ) E (S 2 ) ? 2 E (S 4 ) n n 1 因为 X ? N (0,1) ,所以 X ? N (0, ) , n 2 2 1 1 有 E X ? 0, D X ? , E X ? D X ? E X ? n n

? ?

2 ? 1 ? ? n X ? ? ? D( X ) ? E 2 ( X ) ? 所以 E ( X ) ? D ( X ) ? E ( X ) ? D ? ? ? ? n ? 4 2 2 2

2

1 ? 2D n

?

nX

?

2

2 1 3 ?1? ? ? D( X ) ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? n n ?n?

2

2 ES 4 ? E ?? S 2 ? ? ? DS 2 ? ( ES 2 )2 ? DS 2 ? 1 ? ? ? ?

因为 W ?

(n ? 1) S 2

?

2

? (n ? 1) S 2 ? ? 2 (n ? 1) ,所以 DW ? 2(n ? 1) ,

又因为 DW ? (n ? 1) DS ,所以 DS ?
2 2

2

2 2 n ?1 4 ,所以 ES ? ?1 ? (n ? 1) n ?1 (n ? 1)

所以

ET 2 ?

2 3 2 1 1 n ?1 . ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 n n n n n ? 1 n(n ? 1)

方法二:当 ? ? 0, ? ? 1 时

1 D(T ) ? D( X 2 ? S 2 ) n
? DX 2 ? 1 1 DS 2 ? 2 D 2 n n

(注意 X 和 S 独立)

2

?

nX

?

2

?

1 1 ? D ?(n ? 1) S 2 ? 2 2 ? ? n (n ? 1)

?

1 1 1 2 ?2? 2 ? ? 2(n ? 1) ? 2 2 n n (n ? 1) n(n ? 1)

13



推荐相关:

2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析 - Born to win 2017 年考研数学一真题及答案解析 跨考教育 数学教研室 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,...


1994考研数学一真题及答案详解

1994考研数学一真题及答案详解_研究生入学考试_高等教育_教育专区。1994考研数学一真题及答案详解 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 ...


18考研数学一真题与答案解析

18考研数学一真题与答案解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2018 年考研数学一真题及答案解析 2018 年考研数学一真题及答案解析 ...


2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)_图文

2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析) - 历年考研数学一真题 1987-2017 (答案+解析) (经典珍藏版) 最近三年+回顾过去 最近三年篇(2015-2017) 2015 年...


2001考研数学一试题及答案解析

2001考研数学一试题答案解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分...


【1987-2017】历年考研数学一真题(答案+解析)_图文

历年考研数学一真题 1987-2017 (答案+解析) (经典珍藏版)最近三年+回顾过去 最近三年篇(2015-2017) 2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题...


2001年考研数学一试题答案与解析

2001年考研数学一试题答案与解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2001 年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 r ...


2015年考研数学一真题及答案解析

2015年考研数学一真题及答案解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)...


【1987-2017】历年考研数学一真题(答案+解析)_图文

历年考研数学一真题 1987-2017 (答案+解析) (经典珍藏版)最近三年+回顾过去 最近三年篇(2015-2017) 2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题...


2016考研数学一完整真题及答案解析

2016考研数学一完整真题及答案解析_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2016 考研...2016年考研数学二真题与... 10页 2下载券 2016年考研数学一真题及... 14...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com