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思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第03讲 二次函数的应用教案


第 3 讲 二次函数的应用
本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。 若二次函数 方程 ax
2

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的图象与 x 轴有交点,则相应的二次

? bx ? c ? 0 (a ? 0) 有根,而且方程的根就是 f ( x) ? ax 2 ?

bx ? c 的图象在 x 轴上的截距。应

二次函数

用二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法。如由 二次函数的图象可以直观的得到:对于二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

, , 则 二 次 方

若 程

f (m) ? f (n) ? 0 (m ? n)
ax 2 ? bx ? c ? 0
A 类例题
例 1 若方程 x
2

在 [m, n] 上有一个根。

? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的根满足下列条件,分别求出实数 m

的取值范围。 (1) 方程两实根均为正数; (2) 方程有一正根一负根。 分析 讨论二次方程根的分布, 应在二次方程存在实根的条件下进行。 代数方法与图象 法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。 解 1 (1)由题意,得

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2 ?m ? ?4或m ? 4 ? ? ?m ? 2 ?m ? 5 ?
所以,当 m

?(m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) ? 0 ? ? ?? (m ? 2) ? 0 ?5 ? m ? 0 ? ? m ? ?4 .

? ?4 时,原方程两实根均为正数;

(2)由题意,得

?? ? 0 ? 5?m ? 0 ? m ? 5. ? x1 x2 ? 0 ?
所以,当 m

? 5 时,原方程有一正根一负根。
用心 爱心 专心 1

解 2

二次函数

y ? x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m 的图象是

开口向上的抛物线。 (1)如图,由题意,得

? ? ?5 ? m ? 0 ? f ( 0) ? 0 ? ? ? b ? m?2 ?0 ? ?? ?0 ? m ? ?4 ?? 2a 2 ? ? b ? ? ( m ? 2) 2 ( m ? 2 ) 2 ? ?5?m ? 0 ? f ( ? 2a ) ? 0 ? ? ? 4 2
。 所以,当 m

? ?4 时,原方程两实根均为正数;

(2)如图,由题意,得

f (0) ? 0 ? 5 ? m ? 0 ? m ? 5 。
所以,当 m 评注

? 5 时,原方程有一正根一负根。

解 2(1)中,条件 ?

b b ? 0 是必要的。若将此条件改为 ? ? 0 ,得到的 2a 2a

二次函数的图象与原图象关于 例 2 若方程 k

y 轴对称,此时得到的 m 的值是两根均为负数的解。

x 2 ? (2k ? 3) x ? 4k ? 2 ? 0 的根满足下列条件,分别求出实数

k 的取值范围。
(1) 方程两实根均大于 1; (2) 方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 分析 本题的要求虽然与例 1 仅一字之差,由于“两实根均大于 3”与 “ ? ? 0 , x1

? x2 ? 6 , 且 x1x2 ? 9 ”不等价,因而解法有所变化。思路一,将原问
? t ? 1,原方程可化为

题化归为例 1 求解;思路二,运用图象法求解。 解1 设x

(1)

k t 2 ? 3 t ? 3k ? 1 ? 0 。 由题意,关于 t 的方程的两根均为正数,得

用心 爱心 专心

2

? ?32 ? 4k (3k ? 1) ? 0 ?? ? 0 ? 3 1? 2 7 ? ? ?0 ? k? ?t1 ? t 2 ? 0 ? ? k 6 ?t t ? 0 ? ?1 2 ? 3k ? 1 ? k ?0 ?
所以,当 k



1? 2 7 时,原方程两实根均大于 1; 6 (2) 由题意,关于 t 的方程的两根为一正根和一负根,得 ?? ? 0 3k ? 1 1 ? ?0 ? 0?k ? . ? k 3 ?t1t2 ? 0 ?
所以,当 0 ? 解2

k?

1 时,原方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 3 2k ? 3 4k ? 2 x? ? 0. k k 2k ? 3 4k ? 2 的 x? k k

原方程可化为

x2 ?
(1) 由 函 数 图象,得

f ( x) ? x 2 ?

? 3k ? 1 ? ? k ?0 ? f (1) ? 0 ? ? ? b ? 2k ? 3 ?0 ?? ?0 ?? 2a 2k ? ? 2 2 b ? ? f (? ) ? 0 ? (2k ? 3) ? (2k ? 3) ? 4k ? 2 ? 0 ? 2a ? k 2k 2 ? 4k 2
?k? 1? 2 7 . 6 ? 1? 2 7 时,原方程两实根均大于 1; 6

所以,当 k

(2) 由函数

f ( x) ? x 2 ?

2k ? 3 4k ? 2 的图 x? k k
3

用心 爱心 专心

象,得

f (1) ? 0 ? 1 ?
所以,当 0 ?

2k ? 3 4k ? 2 1 ? ?0 ? 0?k ? . k k 3

k?

1 时,原方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 3
2

例3

求实数 k 为何值时,方程 x

? kx ? k ?

1 ? 0 的两个实根 4

(1)分别在区间(1,2)和(3,4)内; (2)绝对值小于 1。 分析 本题运用图象法求解比较简捷。其中,两个实根的绝对值小于 1,即两个实根均 在区间 ( ? 1, 1) 内。





f ( x) ? x 2 ? kx ? k ?

1 4



(1)由题意,得

1 ? 1? k ? k ? ? 0 ? 4 ? ? f (1) ? 0 ? 4 ? 2k ? k ? 1 ? 0 ? f (2) ? 0 37 65 ? ? 4 ? ? ? ?k? . ? f (3) ? 0 1 8 12 ? ? 9 ? 3k ? k ? ? 0 ? f (4) ? 0 ? 4 ? ? 1 ?16 ? 4k ? k ? ? 0 ? 4
所以,当

37 65 ? k ? 时,原方程两实根分别在区间(1,2)和(3,4)内; 8 12

(2)由题意,两个实根的绝对值小于 1,即两个实根均在区间 ( ? 1, 1) 内。因而有

用心 爱心 专心

4

1 ? 1? k ? k ? ? 0 ? ? f (?1) ? 0 4 ? ? f ( 1) ? 0 ?1 ? k ? k ? 1 ? 0 ? ? 5 4 ? b ? ? ? ? ? k ? 2? 5. ?? 1 ? ? ?1 8 2a ? ?? 1 ? k ? 1 2 ? ? b ? f (? ) ? 0 ?k 2 k 2 1 2a ? ? ? ?k? ?0 ?4 2 4
所以,当 ?

5 ? k ? 2 ? 5 时,原方程的两个实根的绝对值小于 1。 8

情景再现
1. 关于 x 的方程 x
2

另一个根比 1 小, ( ) 则 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根比 1 大,

A ?1 ? a ? 1

B | a |? 1
2

C

? 2 ? a ? 1 D a ? ?2 或 a ? 1

2.实数 k 为何值时,方程 x

? kx ? k ? 2 ? 0 的两根都大于

1 2



3.关于 x 的方程 7 x

2

? (a ? 13) x ? a 2 ? a ? 2 ? 0 有两个实根分别在区间(0,

1)和(1,2)上,求实数 a 的值。

B 类例题
例 4 已知方程 mx
4

? ( m ? 3 ) x 2 ? 3m ? 0 有一个根小于 ? 1 ,其余三个根都大于

? 1,求 m 的取值范围。
分析 设x
2

? y ,原方程可化为 my 2 ? ( m ? 3 ) y ? 3m ? 0 ? y ,原方程可化为 my 2 ? ( m ? 3 ) y ? 3m ? 0

,因而原方程的

四个根是互为相反数的两对根。 解 设x
2

。由题意,此方

程的两个根都是正根,且一根大于 1,另一根小于 1。 设

f ( y) ? y 2 ?

m?3 y?3 m

,则

用心 爱心 专心

5

?3 ? 0 ? f (0) ? 0 ? ? ? m?3 ? ?1 ? m ? 0 。 ? f (1) ? 0 1? ?3?0 ? ? m ?
所以,当 ? 1 ? 于 ? 1。 例5 已知 a

m ? 0 时,原方程的四个根中,有一个根小于 ? 1 ,其余三个根都大

? b ? c ,证明关于 x 的方程

3x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ? 0
有两个不等的实根,且这两个根分别在区间 (a, b) 和 (b, c) 内。 分析 且 设

f ( x) ? 3x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ,本题即要证 ? ? 0

f (a) ? f (b) ? 0 , f (b) ? f (c) ? 0 。


? ? 4(a ? b ? c) 2 ? 4 ? 3(ab ? bc ? ca)

? 4(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) ? 2[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ]
2 2 2

有两个不等的实根,且这两个根分

别在区间 (a, b) 和 (b, c) 内。

例 6 若函数 求 [a , b] 。 分析

1 13 最大值为 2b , f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a , b]上的最小值为 2 a , 2 2

欲求 a , b 的值,需按题设条件列出关于 a , b 的两个方程。注意到求二次函数

最值时,要判断二次函数的顶点是否在给定区间内,可以通过分类讨论的方法予以解决。 解 (1)当 a

? b ? 0 时,



? 1 2 13 ?? 2 a ? 2 ? 2a ? f ( a ) ? 2a ? ? ? ? ? f (b) ? 2b ?? 1 b 2 ? 13 ? 2b ? 2 ? 2





a, b







x2 ? 4x ? 13 ? 0 的两根。但此方程两根异号,故此时无解;
用心 爱心 专心 6

(2)当 a

? 0 ? b 时, f ( x) |最大值 ? 2b ?

13 13 ? b ? 。 f (x) |最小值 2 4



1 13 f (x) |最小值 = f (a) ? 2a ? ? a 2 ? ? 2a ? a ? ?2 ? 17 ; 2 2 1 13 13 f (x) |最小值 = f (b) ? 2a ? ? ( ) 2 ? ? 2a ? a ? 0 ( 不 合 题 2 4 2 17 , 13 ]; 4

若 意) 。

因此,所求区间为 [?2 ? (3)当 0 ?

a ? b 时,

? 1 2 13 ?? 2 b ? 2 ? 2a ? f (b) ? 2a ?a ? 1 , ? 由? ? ? ? ? ? f (a) ? 2b ?b ? 3 . ?? 1 a 2 ? 13 ? 2b ? 2 ? 2
因此,所求区间为 [1, 3] 。 综上,所求区间为 [?2 ?

17 ,

13 ] 或 [1, 3] 。 4 1 4
在区间 [0 , 1] 上的最小值为 0,求 a 的值。

情景再现
4.函数

f ( x) ? x 2 ? 3ax ? 2a ?
2

5.已知 a

? ab ? ac ? 0 ,求证:方程 ax2 ? bx ? c ? 0 必有两个不等的实根,且一个

大于 1,一个小于 1。 6.已知 a

? b ? c ,求证方程

1 1 1 ? ? ? 0 有两个实根,且一个大于 b , x?a x?b x?c

一个小于 b .

C 类例题
例 7 设函数 满足 0 ?

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 、x2
1 , a
用心 爱心 专心 7

x1 ? x2 ?

(1)当 0 ?

x ? x1 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ;
f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ?
x1 . 2

(2)设函数 y ?

分析

本题涉及字母较多,其中 x 是变量, a , b , c , x1 ,

x2 是常量。从题设条件中

反映出对 b, c 知之甚少,对 a , x1 , 它们用 a , x1 , 证明

x2 了解较多。为比较 x , f ( x) , x1 的大小,可以将

x2 表示。
f ( x) ? x ? 0 的两个根,得

(1) x1 、x2 是方程

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 )
? 0 ? x ? x1 ? x2 ? 1 a

? f ( x) ? x x1 ? f ( x) ? x1 ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

? ( x1 ? x)(1 ? a x2 ? a x) ? 0
所以, x ?

f ( x) ? x1



(2)由题意, x1 、x2 是方程

f ( x) ? x ? 0 的两个根,所以,

x1 ? x2 ? ?
又 函数 y ?

b ?1 ? b ? 1 ? a ( x1 ? x2 ) a

f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,因而

x0 ? ?

b a ( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ax2 ? 1 ? ? ? 2a 2a 2 2a 1 , a ? x0 ? x1 . 2

? 0 ? x ? x1 ? x2 ?
例8 设函数

f ( x) ? ax 2 ? 8 x ? 3 (a ? 0) ,

对于给定的负数 a ,有一个最大的

正数 l (a ) ,使得在整个区间 [0 , l (a)] 上,不等式 | (1)求 l (a ) 的表达式。

f ( x) |? 5 都成立。

(2)当 a 为何值时, l (a ) 最大?并求出这个最大值 l (a ) 。
用心 爱心 专心 8

分析 (1) 由

a 为 负 数 , 函 数 f (x) 的 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 。 由

?

b 4 ? ? ? 0 ,函数 f (x) 的图象的顶点位于 y 轴的右方。由此应用图象可求出 2a a

l (a) 。
解 (1)

4 3a ? 16 f ( x) ? ax2 ? 8x ? 3 ? a( x ? ) 2 ? a a

,[

f (0) ? 3 , ?

4 ? 0 (? a ? 0) ,即函数 f (x) 的图象的顶点位于 y 轴的右方, a

f (x) 的最大值为

3a ? 16 。 a

10
方 程



3a ? 16 即 则 ? 5 , a ? ?8 时, l (a) 是 a
的 较 大 的 根 。 由

f ( x) ? ?5

ax2 ? 8 x ? 3 ? ?5 ,解得

l (a) ?

? 4 ? 2 4 ? 2a ; a

20
l (a)



3a ? 16 ? 5 ,即 ? 8 ? a ? 0 时,则 a

是 方 程

f ( x) ? 5

的 较 小 的 根 。 由

ax 2 ? 8 x ? 3 ? 5,解得

l (a) ?

? 4 ? 16 ? 2a a



? ? 4 ? 2 4 ? 2a ? ? a 所以, l ( a ) ? ? ? ? 4 ? 16 ? 2a ? a ?

a ? ?8 , ?8 ? a ? 0.

分析 (2)函数 l (a ) 的表达式中,自变量 a 比较分散,可以通过分子有理化将自变

用心 爱心 专心

9

量 a 集中,以便于分析函数 l (a ) 值的增减变化。 解 (2)当 a

? ?8 时,

l (a) ? ?

? 4 ? 2 4 ? 2a (?4 ? 2 4 ? 2a )( ?4 ? 2 4 ? 2a ) ? a a (?4 ? 2 4 ? 2a ) 16 ? 4(4 ? 2a ) ? a (?4 ? 2 4 ? 2a )
a ? 0 时,

4 2 5 ?1 ? ? . 2 4 ? 2a ? 2 5 ?1

当?8 ?

l (a) ? ?

? 4 ? 16 ? 2a (?4 ? 16 ? 2a )( ?4 ? 16 ? 2a ) ? a a (?4 ? 16 ? 2a ) 2 2 1 ? ? . 4 ? 16 ? 2a 4 ? 4 2
? ?8 时, l (a) 的最大值为
5 ?1 . 2

综上,当 a

情景再现
7.若二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx 有 f (m) ? f (n) ,求 f (m ? n) .的值。
3 ,若对于 0 ? x ? 1 ,均有 | f ( x) |? 1,求实数 a 的 4

8.设

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ?

取值范围。

习题 3
1.关于 x 的方程 3x 的取值范围。 2.二次函数 y ? 5x 1]上,且分居
2

2

? 5x ? a ? 0 的两根分别在区间 (?2 , 0) 和 (1, 3) 内,求 a

? 2(m ? 1) x ? m2 ? 6 的图像与 x 轴的两个交点位于区间[-1,

y 轴的两侧,求实数 m 的取值范围。
2

3.已知关于 x 的方程 x (1) 实数 m 的值; (2)关于 x 的方程 x
2

? (m2 ? 2m ? 3) x ? 2(m ? 1) ? 0 的两个实数根互为相反数

? (k ? m) x ? 3m ? k ? 5 ? 0 的根均为整数,求出所有满足条件
用心 爱心 专心 10

的实数 k 。 4.在如图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点

A(0 , 9) ,其轨迹方程为 y ? ax2 ? c ( a ? 0 )
(1)为使物体落在 x 轴上给定的区间(6,7)内,求实数 a 的取值范围; (2)若物体又经过 P( 2 , 8.1) ,问它能否落在 x 轴上给 定的区间(6,7)内?说明理由。 5.设二次函数

y A P

O
,若

6 7

x

f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a

? 2 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立。求实数 a 的取值范围。
6 . 已 知 a , b , c 为 实 数 , ac ? 0 且

2a ? 3b ? 5c ? 0 , 证 明 一 元 二 次 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 有大于
7.对于二次函数 二次函数

3 小于 1 的根。 5

f (x) ,若存在实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称点 ( x0 , x0 ) 为

f (x) 的不动点。

(1)二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? b 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a , b 的值;
求实数 a f ( x) ? ax2 ? bx ? b 总有两个相异的不动点,

(2) 对于任意实数 b , 二次函数 的取值范围。 8.设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 满足条件:

(1) 当 x 为任意实数时, (2) 当 0 ? (3) 求

f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 f ( x) ? x ;
x ?1 2 ) ; 2

x ? 2 时, f ( x) ? (

f (x) 的最小值为 0。

f (x) 的解析式。
9. 设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? Z ) ,

已知方程

f ( x) ? 0 在区间

(?2,0)

内 有 两 个 不 等 的 实 根 , 且 对 任 意 实 数

x

恒 有

4 x ? 2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,求 a , b , c 。
用心 爱心 专心 11

10.已知关于 x 的方程 x

2

? 2x ? a2 ? a ? 0 (a ? 0) .

(1)证明:这个方程的一个根比 2 大,另一个根比 2 小; (2)若对于 a

? 1,2, ?,2006 ,相应的方程的两根分别为

?1 , ?1 ,? 2 , ? 2 ,?? 2006, ? 2006,


1

?1

?

1

?1

?

1

?2

?

1

?2

???

1

? 2006

?

1

? 2006

的值。

答案 情景再现 1. 设

f ( x) ? x 2 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 。由 f (1) ? 0 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得

? 2 ? a ? 1 。所以,应选 C 。
2. 设

f ( x) ? x 2 ? kx ? k ? 2 。由题意,得

? 1 k 7 ?f( )? ? ?0 2 4 ? 2 ? b k 1 ? ? ? ?? 2a 2 2 ? ? b k2 ?k ?2?0 ? f (? ) ? ? 2a 4 ?
所以,当 k

7 ? k? ? 2 ? 7 ?k ? 1 ? k ? 2 ?k ? R ? ?



?

7 1 时,原方程的两根都大于 。 2 2

3.



f ( x) ? 7 x 2 ? (a ? 13) x ? a 2 ? a ? 2 。由题意,得

? f (0) ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ?a ? ?1 或 a ? 2 ? ? ? 2 ? f (1) ? a ? 2a ? 8 ? 0 ? ?? 2 ? a ? 4 ? ?a ? 0 或 a ? 3 2 ? ? f (2) ? a ? 3a ? 0 ?
所以,当 ? 2 ? a ? ?1 或 3 ? a ? 4 时,原方程的两个实根分别在区间(0,1) 和(1,2)上。

用心 爱心 专心

12

4.

1 3 2 9a 2 ? 8a ? 1 f ( x) ? x ? 3ax ? 2a ? ? ( x ? a) ? 。 4 2 4
2

(1)当 ?

3 1 1 a ? 0 即 a ? 0 时, f min ( x) ? f (0) ? ? 2a ? 0 ? a ? ; 4 8 2
3 2 ? a ? 1即 ? ? a ? 0 时, 2 3

(2) 当 0 ?

3 9a 2 ? 8a ? 1 1 f min ( x) ? f (? a) ? ? ? 0 ? a ? ?1或a ? (均舍去) . 2 4 9
(3) 当 ?

3 2 a ? 1即 a ? ? 时, 2 3 5 5 ?0?a ?? . 4 4

f min ( x) ? f (1) ? a ?
综上,所求 a 的值为 a

1 5 ? 或? 。 8 4

5. 设

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,由 a 2 ? ab ? ac ? 0 ,得 a(a ? b ? c) ? 0 。
? 0 ,则抛物线的开口向上,且 a ? b ? c ? 0 即 f (1) ? 0 。由此得方程

(1)若 a

ax2 ? bx ? c ? 0 有两实根,且一根比 1 大,一根比 1 小;
(2)若 a

? 0 ,则抛物线的开口向下,且 a ? b ? c ? 0 即 f (1) ? 0 。由此得方程

ax2 ? bx ? c ? 0 有两实根,且一根比 1 大,一根比 1 小。
综上,原命题得证。 6. 原方程可化为 由a

f ( x) ? 3x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ? 0 。

? b ? c ,得

f (a) ? 3a 2 ? 2a(a ? b ? c) ? ab ? bc ? ca ? (a ? b)( a ? c) ? 0 ,

f (b) ? (b ? a)(b ? c) ? 0 , f (c) ? (c ? a)(c ? b) ? 0。
所以,原方程的两根分别在区间(c,b)和(b,a)上,即一根比 b 大,一根比 b 小。

用心 爱心 专心

13

7. 由题意,得 ?

b m?n b ? ? m?n ? ? 。 2a 2 a

所以,

b b f (m ? n) ? a(? ) 2 ? b(? ) ? 0 。 a a 3 3 ? ( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 。 4 4

8.

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ?

1

0

1 ? f max ( x) ? f (1) ? ? 2a ? a 2 ? 1 ? 1 ? 4 当 a ? 0 时, ? ?? ? a ?0; 2 ? f ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? 3 ? ?1 min ? ? 4



f (1) ? f (0) ? 1 ? 2a ,
a? 1 时, 2

2 当0 ?
0

1 ? f max ( x) ? f (1) ? ? 2a ? a 2 ? 1 ? 2 ? 4 ?0?a? ; ? 3 4 ? f ( x) ? f (a) ? ?2a 2 ? ? ?1 ? min ? 4 3 ? f max ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? ? 1 ? 1 ? 4 当 ? a ? 1时, ? ,此时无解; 3 2 ? f ( x) ? f (a) ? ?2a 2 ? ? ?1 ? min ? 4 3 ? f max ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? ? 1 ? ? 4 当 a ? 1 时, ? ? f ( x) ? f (1) ? 1 ? 2a ? a 2 ? ?1 ? min ? 4
1 2 ?a? 。 2 4

3

0

4

0

,此时无解。

综上,所求 a 的取值范围是 ?

习题 3
用心 爱心 专心

14

1.



f ( x) ? 3x 2 ? 5 x ? a ,由题意,得

? f (?2) ? 22 ? a ? 0 , ?f(0) ? a?0, ? ? ? 12 ? a ? 0 . ? f ( 1 ) ? ?2 ? a ? 0 , ? ? f ( 3 ) ? 12 ? a ? 0 . ?
所以,所求 a 的取值范围是 ? 12 2. 设

? a ? 0。

f ( x) ? 5 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 6 ,由题意,得

? f (?1) ? m 2 ? 2m ? 1 ? 0 , ? ? 2 ? ? 6 ? m ? ?1。 ? f (0) ? m ? 6 ? 0 , ? 2 ? f (1) ? m ? 2m ? 3 ? 0 ?
所以,所求 m 的取值范围是

? 6 ? m ? ?1。

3。

? x1 ? x2 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 , ? m ? ?3 ; (1)由题意,得 ? x1 x2 ? 2(m ? 1) ? 0 . ?
(2)由 m

? ?3 ,得方程 x 2 ? (k ? 3) x ? 4 ? k ? 0 。由题意,得

? x1 ? x2 ? k ? 3 , ? x1x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2 。 ? ? x1x2 ? 4 ? k .
因为 x1, x2 为整数,所以

? x1 ? 1 ? ?1 , 1 , ? x ? ?2 , 0 , ? ? 1 ? ? x2 ? 1 ? ?2 , 2 . ? x2 ? ?3 , 1 .
所求 k 的值为 ? 2 或 4 。 4. 将(0,9)代入方程,得 c (1) 由 ?

? 9 。设 f ( x) ? ax2 ? 9 。


? f (6) ? 36 a ? 9 ? 0 , ? f (7) ? 49 a ? 9 ? 0 .

?

1 9 ?a?? 4 49



(2) 将(2,8.1)代入方程,得 a

??

9 1 9 ? (? , ? ) ,所以物体能落在 x 40 4 49
15

用心 爱心 专心

轴上给定的区间(6,7)内。 5.

a 2 a2 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) ? 3 ? a ? 2 4
2
1 当?
0



a ? ?2 即 a ? 4 时, 2
7 3
(舍去) ;

f min ( x) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ?
2 当? 2 ?
0

a ? ? 2 即 ? 4 ? a ? 4 时, 2

a a2 f min ( x) ? f (? ) ? 3 ? a ? ? 0 ? ?6 ? a ? 2 , ? ? 4 ? a ? 2 ; 2 4
3 当?
0

a ? 2 即 a ? ?4 时, 2

f min ( x) ? f (2) ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 , ? ? 7 ? a ? ?4 .
综上,所求 a 的取值范围是 ? 7 6. 设

? a ? 2。

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,又 b ? ?

2a ? 5c , 3

所以,

f(

3 3 3 ) ? f (1) ? ( a ? b ? c)( a ? b ? c) 5 5 5 ? 3 ? 10 ( 3 ? 2 )a ? ( 5 ? 3)c a? 5 3 10 ? 3 [( 3 ? 2 )a 2 ? ( 5 ? 3 )ac] . 5 3


??
由 ac ?

0 , a2 ? 0 ,
2

f(

3 ) ? f (1) ? 0 。 5
3 小于 1 的根。 5

所以,方程 ax

? bx ? c ? 0 有大于

7. (1) ?

?a ? b ? b ? 1 , ?a ? 1 , ?? ?9a ? 3b ? b ? ?3 . ?b ? 3 .
用心 爱心 专心 16

(2)由题意,b 为任意实数时,二次方程 ax 则

2

? bx ? b ? x 总有两个相异的实根,

? ? (b ? 1) 2 ? 4ab ? b 2 ? 2(1 ? 2a)b ? 1 ? 0 恒成立。
由 ?1

? 4(1 ? 2a) 2 ? 4 ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 .
a ? 0。

因而,所求实数 a 的取值范围是 ? 1 ? 8. 于

f ( x ? 4) ? f (2 ? x) 中,令 t ? x ? 3 ,则 f (?1 ? t ) ? f ?? 1 ? t ?。所
? ?1 是原二次函数 f (x) 图象的对称轴。又 f (x) 的最小值为
0。可设

以, x

f ( x) ? a( x ? 1) 2 。
由题意,当 0 ?

x ? 2 时, x ? a( x ? 1) 2 ? (

x ?1 2 ) 。 2

令x

? 1 ,得1 ? 4a ? 1 ? a ?

1 1 , ? f ( x) ? ( x ? 1) 2 。 4 4

9. 令 x

??

1 , 2

由 4x ?

2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,得

1 1 2b ? a a? b?c ?0?c ? 4 2 4
由 4x ?

2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,得不等式组

a ? 2b ? 16 ? (8 ? a) x 2 ? (12 ? b) x ? ?0 ? ? 4 ? ?ax2 ? (b ? 4) x ? a ? 2b ? 8 ? 0 ? ? 4

对任意实数 x 恒成立。

?8 ? a ? 0 , ? 2 2 ??1 ? (12 ? b) ? (8 ? a)( a ? 2b ? 16 ) ? (a ? b ? 4) ? 0 , 因而, ? ?a ? 0 , ?? ? (b ? 4) 2 ? a(a ? 2b ? 8) ? (a ? b ? 4) 2 ? 0 . ? 2

用心 爱心 专心

17

化简得 ?

?0 ? a ? 8 , ?a ? b ? 4 ? 0 .

由 a , b , c ? R ,得

?a ? ? ?b ? ?c ? ?

1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ? 3, ?
解 f1 ( x)

4.

因此, f1 ( x)

? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,

? 0 得两根为 ?

1 3 和 ? ,符合题 2 2

意; f 2 ( x) 意。 所以, a 10.

? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,解 f 2 ( x) ? 0 得两根为 ?
或a

1 和 ? 1 ,也符合题 2

? 4,b ?8, c ?3

? 8 , b ? 12 , c ? 4 。

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a 2 ? a
(1)因为

f (2) ? ?a 2 ? a ? 0 ,所以原方程的根一个比 2 大,一个比 2 小;

(2)设? k

, ?k 是方程 x 2 ? 2 x ? k 2 ? k ? 0 的两根,则
1

1

?k
所以,

? 1

?k
?

? 1

?k ? ?k 2 1 1 ? ? ?2( ? )。 2 ?k ?k k k ?1 ?k ?k
? 1 ? 1

?1

?1 ? 2

?2

???

1

? 2006

?

1

? 2006

1 1 1 1 1 ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 2006 2007 1 4012 ? ?2(1 ? )?? . 2007 2007

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