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高一数学必修5水平测试卷


必修 5 水平测试卷
(试卷总分 150 分、考试时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分共 50 分) 1、下列命题中正确的是 (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B)若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 a b c (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,

2 是等比数列 a b c (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2 ,2 ,2 是等差数列 2、对于任意实数 a、b、c、d,命题① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ;② 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ③ 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则

1 1 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd .其中真 a b

命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3 3、已知数列{an}是公比 q≠1 的等比数列,则在 “(1){anan+1}, (2){an+1-an}, (3){an }, (4){nan}”这四个数列中,成等比数列的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、下列结论正确的是 (A)当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 (B) 当x ? 0 时, x ? 1 ? 2 lg x x

1 无最大值 x a c 5、若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 ? ? m n
(C) 当x ? 2时, x ? (D) 当0 ? x ? 2时, x ? (A)4 (B)3 + 6、 设 x,y ? R ,且 xy-(x+y)=1,则 (A) x+y ? 2 2 +2
2

1 的最小值为 2 x

(C)2

(D)1

(B) xy ?

2 +1

(C) x+y ? ( 2 +1)

2

(D)xy ? 2 2 +2

7.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x| -

1 1 < x < },则 a + b 的值为 3 2

(A) -10 (B) -14 (C) 10 (D) 14 n 8、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+?+an=2 -1,则 2 2 2 2 a1 +a2 +a3 +?+an 等于 (A) (2 ? 1)
n 2

(B) (2 ? 1)
n

1 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

1 n (4 ? 1) 3

9、某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米, 那么 x 的值为

o

(A)

3

(B) 2 3

(C)

3或2 3

(D) 3

10、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金 2 2 属板,每张面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种 金属板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使 总用料面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用 5 张 二、填空题(每小题 4 分共 16 分) 11、已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= ___________

12、已知 f ( x) ? ?

?1,x ? 0; ,则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是__________ ?? 1,x ? 0
a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C

13、在△ ABC 中,若

14、如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第 n 行

(n ? 2) 第 2 个数是

. 。 1 2 3 4 7 5 11 4 2 3

7 4 14 11 5 6 16 25 25 16 6 三.解答题(第 15,17 题每小题 12 分,第 16、18、19、20 题每小题 14 分,共 80 分) 15、 (满分 12 分) (理科)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos B ?

3 . 4 1 1 ? (Ⅰ)求 的值; tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 2
(文科)解不等式: | x |? 2 x ? 1 .
2

16、 (满分 14 分) (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列 {bn}的第 1,3,5 项,(1)求数列{an}的第 20 项,(2)求数列{bn}的通项公式. (文科)已知实数 a, b, c 成等差数列, a ? 1 , b ? 1 , c ? 4 成等比数列, 且 a ? b ? c ? 15 ,求 a , b, c .

17、 (满分 12 分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千 辆/小时)与汽车的平均速度

(1) 在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (保留分数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

920? y? 2 (? ? 0) . ? ? 3? ? 1600

? (千米/小时)之间的函数关系为:

18、 (满分 14 分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉 纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划 中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生 产多少(精确到吨),能使利润总额最大?

19、(满分 14 分)已知 x , ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 2 此数列的前 n 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) .(1) 1 1 求数列 {an } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和, a n ?1 a n
求 Tn.

20、(A、B 两题任选一题,满分 14 分) A、已知 a、b、c 是实数,函数 f (x)= ax2+bx+c,g (x)= ax+b, 当-1≤x≤1 时,|f (x)|≤1. (1) 证明:|c|≤1; (2)证明:当-1≤x≤1 时,|g (x)|≤2; (3) 设 a>0,当-1≤x≤1 时,g (x)的最大值为 2,求 f (x). B、已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为 kn= —

1 的直线交曲线 C xn ? 2
11 7

于另一点 An+1(xn+1,yn+1),点列 An( n ? N )的横坐标构成数列 ?xn ? ,其中 x1=
*

(1)

求 xn 与 xn+1 的关系式; (2)求证: ?
2 3

? 1 1? ? ? 是等比数列; ? xn ? 2 3 ?
n

(3)求证: (-1)x1+(-1) x2+(-1) x3+??+(-1) xn<1(n ? N,n ? 1 )

答案
一、选择题:(请将正确答案的代号填在答题卡内,每小题 4 分,共 40 分) 题 号 答案 1 C 2 A
n ?1? ? ? 2? ? ?

3 C

4 B

5 C

6 A

7 B

8 D

9 C

10 A

得 分

二、填空题:(每题 4 分,共 16 分) 11、 S n ? 12?1 ? ? ? ?

? ? ?

12、 ? ? ?, ? 2

? ?

3? ?

13、等边三角形

14、

n2 ? n ? 2 2

三.解答题(第 15,16 题每小题 12 分,第 17,18 题每小题 10 分共 44 分) 15、(理科)解: . (Ⅰ)由 cos B ? 由 b2=ac 及正弦定理得 于是 1 ? 1
tan A tan C ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4

2 sin B ?sin sin . A C

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 4 ? ? 7. sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA ? BC ?

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得 ca ? 2,即b 2 ? 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3
?2 x 2 ? x ? 1 ? 0, ? 解得: ? 2 ?2 x ? x ? 1 ? 0 ?

? x ? 2 x 2 ? 1  , ? (文科)解:由原不等式得: ? 即 ? x ? ?2 x 2 ? 1 ?

? 1 ?? 2 ? x或x ? 1, ? 即: ? 1 ? x或x ? ?1 . ? 1 ? x ? ?1, 或x ? ? 2 ?
∴原不等式的解集为 ?x | x ? ?1或x ? 1? 16、 (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列{bn}的第 1,3, 5 项,(1)求数列{an}的第 20 项,(2)求数列{bn}的通项公式. 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 a5=10,a7=10+2d,a10=10+5d

因为等比数列{bn}的第 1、3、5 项也成等比, 所以 a72=a5a10 即:(10+2d)2=10(10+5d) 解得 d=2.5 ,d=0(舍去)…………………………………………………6 分 所以:a20=47.5………………………………………………………………8 分 (2)由(1)知{an}为正项数列,所以 q2=b3/b1=a7/a5=

3 ………………….10 分 2

bn=b1qn-1=±10(3/2)(n-1)/2………………………………………………………………… 12 分 (文科)解:由题意,得

?a ? b ? c ? 15 ? ? ?a ? c ? 2b ? 2 ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1? ?

?1? ? 2? ? 3?

由(1) (2)两式,解得 b ? 5 将 c ? 10 ? a 代入(3) ,整理得

a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得a ? 2或a ? 11, 故a ? 2, b ? 5, c ? 8或a ? 11, b ? 5, c ? ?1. 经验算,上述两组数符合题意。
17、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与 汽车的平均速度 ? (千米/小时)之间的函数关系为: y ?

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保 留分数形式) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?(本小 题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意, y ?

920? (? ? 0) . ? ? 3? ? 1600
2

920 920 920 ? ? , ?????3 1600 83 3 ? 2 1600 3 ? (v ? ) v

当且仅当v ? 所以y max

1600 , 即v ? 40时, 上式等号成立 , v 920 ? (千辆 / 小时). 83

??.6 分

(Ⅱ)由条件得
2

920 v ? 10, v ? 3v ? 1600
2

整理得 v -89v+1600<0,??????????????????8 分 即(v-25) v-64)<0, ( 解得 25<v<64. ?????????????????????.;10 答:当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时段 内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小 时.?????????12 分 18、分析:将已知数据列成下表:
y

产品 消耗量 资源 一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元)

甲种棉纱 (1 吨) 2 1 600

乙种棉纱 (1 吨) 1 2 900

资源限额 (吨) 300 250
50

2x+y=300

x+2y=250 50 x

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直 线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; 350 200 ?2 x ? y ? 300  得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. ? 3 3 x ? 2 y ? 250 ?
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大. 19、已知

x,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 2

项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ). (1)求数列 {an } 的第 n+1 项;

(2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an
f ( x) ?2 ? x ? 3 2

解: (1)? x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2
2

∴ f ( x) ? ( x ? 3) . ????2 分 ∵ S n ? f ( S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f ( S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3 ) 2 , ∴ Sn ?

S n?1 ? 3, S n ? S n?1 ? 3,

∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列.????????4 分 ∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ? ∴ S n ? 3n (n ? N ? ).
2

S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,

∴ an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3.
2 2

????6 分

(2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , ????8 分 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 an?1a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). ……10 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

20、A(Ⅰ )证明:由条件当-1≤x≤1 时,│f(x)│≤1,取 x=0 得
│c│=│f(0)│≤1, 即│c│≤1. (Ⅱ )证法一: 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1), 3分

∵ │f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴ g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴ g(-1)≥g(x)≥g(1), ∵ │f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴ g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2, g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ∵ -1≤x≤1, ∴ │g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2. 综上得│g(x)│≤2. 10 分 9分 7分

根据含绝对值的不等式的性质,得



│g(x)│≤2.

8分

(Ⅲ )因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2, 即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.① ∵ -1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1, ∴ c=f(0)=-1. 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0), 根据二次函数的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴,由此得 12 分

由① 得 a=2. 所以 f(x)=2x2-1. 14 分

B、


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