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2013届高考理科数学一轮复习课时作业(10)函数与方程


课时作业(十) 第 10 讲 函数与方程 [时间:45 分钟 分值:100 分]

1.[2011·郑州模拟] 若函数 f(x)=x2+2x+3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.a< B.a> C.a≤ D.a≥ 2. 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数, g(x)=[x]为取整函数, x0 是函数 f(x)=lnx-的零点, 则 g(x

0)等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.[2011·南通调研] 设 f(x)=x3+bx+c(b>0)(-1≤x≤1),且 f·f<0,则方程 f(x)=0 在[- 1,1]内( ) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 4.已知二次函数 f(x)=x2-(m-1)x+2m 在[0,1]上有且只有一个零点,则实数 m 的取值范 围为( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.[-2,0] D.(-2,-1) 5.[2011·郑州模拟] 已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 6.[2011·上海八校联考] 设 a,b,k 是实数,二次函数 f(x)=x2+ax+b 满足:f(k-1)与 f(k)异号,f(k+1)与 f(k)异号.在以下关于 f(x)的零点的命题中,真命题是( ) A.该二次函数的零点都小于 k B.该二次函数的零点都大于 k C.该二次函数的两个零点之差一定大于 2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内 7.[2011·信阳模拟] 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 8. [2011· 南阳模拟] 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), 且 x∈(-1,1]时, f(x)=1-x2, 函数 g(x)=则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( ) A.12 B.14 C.13 D.8 9.已知函数 f(x)=|lgx|-x 有两个零点 x1,x2,则有( ) A.x1x2<0 B.x1x2=1

C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 10.[2011·常州质检] 已知函数 f(x)=若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零 点的个数为________. 11.利用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时,经计算 f(0.625)<0,f(0.725)>0,f(0.687 5)<0,则可得到方程精确度为 0.1 的一个近似解是________. 12.[2011·辽宁卷] 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 13.已知函数 f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程 g[f(x)]-a=0 的实数根的个数有 4 个,则 a 的取 值范围是________. 14.(10 分)已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该 零点.

15.(13 分)已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]的图象如图 K10-1 所示, 求:(1)方程 f[g(x)]=0 实根的个数; (2)方程 g[f(x)]=0 实根的个数; (3)方程 f[f(x)]=0 实根的个数; (4)方程 g[g(x)]=0 实根的个数. 图 K10-1

16.(12 分)[2011·郑州模拟] 若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值-. (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

课时作业(十) 【基础热身】 1.B [解析] 由题意,函数 f(x)=x2+2x+3a 没有零点,即方程 x2+2x+3a=0 无解,即方 程的判别式小于零,解不等式Δ =22-4×3a<0,得 a>. 2.B [解析] 因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,故 x0∈(2,3),g(x0)=[x0]=2. 3.C [解析] ∵f(x)=x3+bx+c(b>0), ∴f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数, 又∵f·f<0, ∴f(x)在[-1,1]上有实数根且只有一个. 4. C [解析] (1)当方程 x2-(m-1)x+2m=0 在[0,1]上有两个相等实根时, Δ =(m-1)2-8m =0 且 0≤≤1,此时无解. (2)当方程 x2-(m-1)x+2m=0 有两个不相等的实根时,①有且只有一根在 (0,1)上时,有 f(0)f(1)<0,即 2m(m+2)<0,解得-2<m<0;②当 f(0)=0 时,m=0,f(x)=x2+x=0,解得 x1=0,x2=-1,符合题意; ③当 f(1)=0 时,m=-2,方程可化为 x2+3x-4=0,解得 x1=1,x2=-4,符合题意. 综上所述,实数 m 的取值范围为[-2,0]. 【能力提升】 5.B [解析] 由于 f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0);因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2;因为 h=-1+=-<0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈,因此 a<c<b. 6.D [解析] 由题意 f(k-1)·f(k)<0,f(k)·f(k+1)<0,由零点的存在性判定定理可知区间(k -1,k),(k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故选项 D 正确. 7.C [解析] ∵f(x)是 R 上的增函数且图象是连续的, 又 f=e+4×-3=e-2<0,f=e+4×-3=e-1>0, f=-4<0,f(0)=-2<0,f=-1>0,f=e>0, ∴f(x)定在内存在唯一零点. 8.B [解析] 如图,当 x∈[0,5]时,结合图象知 f(x)与 g(x)共有 5 个交点,故在区间[-5,0] 上共有 5 个交点; 当 x∈(0,10]时结合图象知共有 9 个交点. 故函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[- 5,10]上共有 14 个零点. 9.D [解析] 数形结合,可知函数 f(x)的两个零点分别在区间(0,1),(1,+∞).去掉绝对值 符号后,再根据函数的性质寻找其中的关系.根据分析,不妨设 0<x1<1,x2>1,根据函数 零点的概念则有|lgx1|-x1=0,|lgx2|-x2=0,即-lgx1=x1,lgx2=x2,后面的方程减去 前面的方程得 lg(x1x2)=x2-x1.由于 x2>x1, 根据指数函数的性质, x2-x1<0, 所以 lg(x1x2)<0, 即 0<x1x2<1.正确选项为 D. 10.3 [解析] f(0)=-2,即-02+b·0+c=-2,c=-2;f(-1)=1,即-(-1)2+b·(- 1)+c=1,故 b=-4. 故 f(x)=g(x)=f(x)+x=令 g(x)=0,则或解得 x=2 或-2 或-1,故有 3 个零点. 11.0.7 [解析] ∵|0.725-0.687 5|<0.1,∴精确度为 0.1 的一个近似解是 0.7. 12.(-∞,2ln2-2] [解析] 由于 f(x)=ex-2x+a 有零点,即 ex-2x+a=0 有解,所以 a =-ex+2x. 令 g(x)=-ex+2x,由 g′(x)=-ex+2=0 得 x=ln2. 当 x∈(-∞,ln2)时,g′(x)=-ex+2>0,此时 g(x)为增函数;当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x)

=-ex+2<0,此时 g(x)为减函数. 所以,当 x=ln2 时,函数 g(x)=-ex+2x 有最大值 2ln2-2,即 g(x)=-ex+2x 的值域为(- ∞,2ln2-2],所以 a∈(-∞,2ln2-2]. 13. [解析] 由于函数 f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1≤1,只有 f(x)=t,t<1 时,方程 f(x)=t 才有两个不同的实根,这样问题就等价于方程 g(t)=a 有两个小于 1 的不等实根,画出函数 g(x)的图象如图,数形结合得 1≤a<.

14.[解答] ∵f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当Δ =0,即 m2-4=0 时, m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1,不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0,符合题意. 当Δ >0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 应有一正一负两根, 即 t1t2<0,这与 t1t2=1>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 15.[解答] (1)满足 f(x)=0 的 x 值在区间[-2,2]上有三个,把这三个看做 g(x)对应的 y 值,则 g(x)等于这三个值的每个 x 都有两个,故方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根. (2)满足 g(x)=0 的 x 值有两个,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(0,1)上,把这两个看 做 f(x)对应的 y 值,f(x)等于这两个 x 值时,在区间(-2,-1)上只有一个 x 与之对应,在区 间(0,1)上有三个 x 与之对应,故方程 g[f(x)]=0 有且只有 4 个根. (3)满足 f(x)=0 的 x 值在区间[-2,2]上有三个, 把这三个再看做 f(x)对应的 y 值, 在区间(-2, -1)上只有一个 x 值,在区间(1,2)上也只有一个 x 值,而 f(x)=0 所对应的 x 值有三个,故方 程 f[f(x)]=0 有且仅有 5 个根. (4)同样的方法可知方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根. 【难点突破】 16.[解答] (1)由题意可知 f′(x)=3ax2-b, 于是解得 故所求的解析式为 f(x)=x3-4x+4. (2)由(1)可知 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时 f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x)

+ 0 - 0 + f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值; 当 x=2 时,f(x)有极小值-. 所以函数的大致图象如图. 故实数 k 的取值范围是-<k<.


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