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北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线


北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编

圆锥曲线
一、选择题 1、 (朝阳区 2016 届高三上学期期末)已知点 Q (2 2 ,0) 及抛物线 x ? 4 y 上一动点 P( x, y ) ,则 y ? PQ 的最小值是
2

A.

1 2

B.1



C. 2

D. 3

2、(大兴区 2016 届高三上学期期末)双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的一条渐近线的方程是 (A) y ? 2 x (C) y ? ? x (B) y ?

2 x 2 (D) y ? ?2 x
2

3、 (东城区 2016 届高三上学期期末) 过抛物线 y ? 2 px (p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点, 如果 BF ? 3 , BF ? AF , ?BFO ?

2? ,那么 AF 的值为 3
(C )
3
(D) 6

( A) 1

(B)

3 2

4、(丰台区 2016 届高三上学期期末)若 F(c,0)为椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,椭圆 C 与直线 a 2 b2

x y ? ? 1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点在直线 x ? c 上,则椭圆的离心率为 a b

(A)

3 2

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 3

5、(海淀区 2016 届高三上学期期末)抛物线 x 2 ? 4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为 A. (0, ? )

1 2

B. (0, ?1)

C. (0, ?2)

D. (0, ?4) )

2 6、 (石景山区 2016 届高三上学期期末) 若曲线 y ? 2 px( p ? 0) 上只有一个点到其焦点的距离为 1, 则 p 的值为 (

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

参考答案 1、C 2、C 二、填空题

3、A

4、B

5、B

6、C

1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的渐近线方程为__________________;某抛物线的焦点与双 9 16
y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 (1,2) ,则 b ? ___, 其离心率为 __. b2

曲线 C 的右焦点重合,则此抛物线的标准方程为____________. 2、 (海淀区 2016 届高三上学期期末) 已知双曲线 x 2 ?

3、(西城区 2016 届高三上学期期末)双曲线 C: 点,P 为 C 上一点,且 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? ____.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为_____;设 F1 , F2 为双曲线 C 的左、右焦 16 4

4 2 参考答案 1、 y ? ? x; y ? 20 x 3
三、解答题

2、 2 ; 5

1 y?? x 2 3、

1、 (昌平区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 ( 3, ) 在椭圆 C 上.直 2 2 a b 2

线 l 过点 (1,1) ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 M . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 O 为坐标原点,延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求出此时 直线 l 的方程,若不能,说明理由.

2、 (朝阳区 2016 届高三上学期期末)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 与椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 4 相交于 A , B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB ; (Ⅲ)求 ?OAB 面积的最大值.

3、 (大兴区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 G : (Ⅰ)求椭圆 G 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点 M (2, 2) 到两焦点的距离之和等于 4 2 . a 2 b2

(Ⅱ)经过椭圆 G 右焦点 F 的直线 m ( 不经过点 M )与椭圆交于 A, B 两点,与直线 l : x ? 4 相交于 C 点,记直线
MA, MB, MC 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .求证:

k1 ? k2 为定值. k3

x2 y2 4、(东城区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点是 F1、F2 ,且 F1F2 ? 2 ,离心率 a b


1 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点,求 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围.

5、(丰台区 2016 届高三上学期期末)已知定点 M (1, 0) 和直线 x ? ?1 上的动点 N (?1, t ) ,线段 MN 的垂直平

分线交直线 y ? t 于点 R ,设点 R 的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? b(k ? 0) 交 x 轴于点 C ,交曲线 E 于不同的两点 A, B ,点 B 关于 x 轴的对称点为点 P.点 C 关于 y 轴的对称点为 Q ,求证:A,P,Q 三点共线.

6、(海淀区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 W :

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 2 a b 2
y

O : x 2 ? y 2 ? 16 上.
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q . 是否存在点 P ,使得
A

O

B

x

| PQ | ? 3? | AP |

若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

x2 y 2 7、(石景山区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴 a b
的一个端点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点, M 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 MF 的垂线交椭圆 C 于点 P , Q .证明:OM 经过线段 PQ 的中点 N .(其中 O 为坐标原点)

8、(西城区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 3 3 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2

(Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满足此圆与 l 相交两点 P1 ,
P2 (两点均不在坐标轴上),且使得直线 OP 1 , OP 2 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理

由.

参考答案

? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 1、解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 . ? ?
所以椭圆 C 的方程为

解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………..5 分

(Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 法一: (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 满足题意; (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l : y ? kx ? m ,显然 k ? 0, m ? 0 .

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .
x2 将 y ? kx ? m 代入 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?

?8km . 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
4k (k ? 1) . 4k 2 ? 1

由直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,过点 (1,1) ,得 m ? 1 ? k ,因此 xM ?

OM 的方程为 y ? ?

1 x .设点 P 的横坐标为 xP . 4k

1 ? y ? ? x, ? 16k 2 ?4k ? 4k 2 由? 2 得 xP ? ,即 xP ? . 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? y 2 ? 1, ? ?4
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM .于是

?4k 4k 2 ? 1

? 2?

4k (k ? 1) .由 4k 2 ? 1

3 5 k ? 0 ,得 k ? , m ? . 满足 ? ? 0. 8 8 3 5 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 8 8 3 5 综上所述:直线 l 的方程为 y ? x ? 或 x ? 1 . ………………………….13 分 8 8
法二:

(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 满足题意; (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l : y ? kx ? m ,显然 k ? 0, m ? 0 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?

?8km . 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1 m yM ? kxM ? m ? 2 . 4k ? 1

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 ?

? x P ? 2 xM , . ? yP ? 2 yM .

(?


8km 2 ) 4k 2 ? 1 ? ( 2m )2 ? 1 . 4 4k 2 ? 1

由直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,过点 (1,1) ,得 m ? 1 ? k .



(16k 2 ? 4)(1 ? k )2 ? 1, (4k 2 ? 1)2
2

则 (4k ? 1)(8k ? 3) ? 0 .

3 5 , m ? . 满足 ? ? 0. 8 8 3 5 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 8 8 3 5 综上所述:直线 l 的方程为 y ? x ? 或 x ? 1 . …………………………..13 分 8 8 4 8 2 2 2 2 2 2、解: (Ⅰ)由题意可知 a ? 4 , b ? ,所以 c ? a ? b ? . 3 3
则k ? 所以 e ?

c 6 6 .所以椭圆 C 的离心率为 . ? a 3 3

…………………………3 分

(Ⅱ)若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 .

x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 在 4 4
不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ?1 ? 0 .所以 OA ? OB . 同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 若切线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m ,依题意

??? ? ??? ?

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

由?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 4 ? 0 .显然 ? ? 0 . 2 2 ?x ? 3y ? 4

6km 3m2 ? 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1
所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . 所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1)

3m2 ? 4 6km ? km 2 ? m2 2 3k ? 1 3k ? 1

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 ? 3k 2 ? 1 ? 4m 2 ? 4k 2 ? 4 3k 2 ? 1 4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ?0. 3k 2 ? 1

?

所以 OA ? OB . 综上所述,总有 OA ? OB 成立. ………………………………………………9 分 (Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高, 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 . 则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k 2 ? (

6km 2 3m2 ? 4 ) ? 4 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?

2 1? k 2 ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 2 3k ? 1

2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 ? ? 12k ? 3m ? 4 ? ? 12k 2 ? 3(k 2 ? 1) ? 4 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ?
所以 AB ?
2

2 1? k 2 ? 9k 2 ? 1 . 2 3k ? 1 4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 ? ? 4(1 ? ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1

k2 16 4 16 3 ? 4 ? 16 ? 4 ? 4? ? 4 ? ? (当且仅当 k ? ? 时,等号成立) .所以 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 3 9k 2 ? 2 ? 6 k

AB ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3

综上所述,当且仅当 k ? ?

3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 .…………………14 分 3 3
……1 分

3、(Ⅰ)由椭圆定义知: 2a ? 4 2 ,所以 a ? 2 2 所以,椭圆 G :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,将点 M (2, 2 ) 的坐标代入得 b2 ? 4 。……3 分 8 b x2 y2 ? ?1 所以,椭圆 G 的方程为 ……4 分 8 4
(Ⅱ)右焦点 F (2,0) 由题意,直线 m 有斜率,设方程为 y ? k ( x ? 2) 令 x ? 4 ,得点 C (4,2k ) ,所以 k3 ? k MC ? k ?
2 ; 2

……1 分 ……3 分

? y ? k ( x ? 2) ? 又由 ? x 2 y 2 消元得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 , ? ? 1 ? 4 ?8
y

显然 ? ? 0 ,

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ……5 分
A

M C B F l x

? 8k 2 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x ? x ? 8k ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
所以, k1 ? k2 ?

y1 ? 2 y2 ? 2 y y2 1 1 ? ? 1 ? ? 2( ? ) x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? x2 ? 4 ? 2k ? 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? 2k ? 2 ? x1 ? x2 ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

……7 分

? 2k ? 2 ?

8k 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) 8k 2 ? 8 ? 16k 2 ? 4 ? 8k 2

? 2k ? 2 ?

?4 ? 2k ? 2 ?4
k1 ? k 2 ? 2 为定值。 k3

……9 分

所以, k1 ? k2 ? 2k3 ,即

……10 分

方法二: k1 ? k2 ?

y1 ? 2 y2 ? 2 kx1 ? (2k ? 2 ) kx2 ? (2k ? 2 ) ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 2kx1 x2 ? (4k ? 2 )( x1 ? x2 ) ? 4(2k ? 2 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2kx1 x2 ? (4k ? 2 )( x1 ? x2 ) ? 4(2k ? 2 ) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
2k (8k 2 ? 8) ? (4k ? 2 ) ? 8k 2 ? 4(2k ? 2 )(1 ? 2k 2 ) 8k 2 ? 8 ? 16k 2 ? 4 ? 8k 2

?

……7 分

?

?

16k 3 ? 16k ? 32k 3 ? 8 2 k 2 ? (16k 3 ? 8 2 k 2 ? 8k ? 4 2 ) ?4

?

? 8k ? 4 2 ? 2k ? 2 ?4
k1 ? k 2 ? 2 为定值。 k3

……9 分 ……10 分

所以, k1 ? k2 ? 2k1 ,即

4、解(Ⅰ)因为椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b2 ? c 2, ? ?c 1 由题意知 ? ? , 解得 a ? 2, b ? 3 . a 2 ? ? ? 2c ? 2
所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

……………………………5 分

(Ⅱ)因为 F2 (1, 0) ,当直线 l 的斜率不存在时, A(1, ) , B (1 , ? ) ,

3 2

3 2

| F2 B |? 则 | AF2 |g

9 ,不符合题意. 4

当直线 l 的斜率存在时,直线 l 的方程可设为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4

消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 (*).

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根, 所以 x2 ? x2 ? 所以 | AF2 |? 所以 | F2 B |?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
( x1 ? 1)2 ? y12 ? 1 ? k 2 x1 ? 1 ,
( x2 ? 1)2 ? y2 2 ? 1 ? k 2 x2 ? 1
2

所以 | AF2 |g | F2 B |? (1 ? k ) x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

? (1 ? k 2 )
? (1 ? k 2 )
? (1 ? k 2 )

4k 2 ? 12 8k 2 ? ?1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
9 3 ? 4k 2

9 3 ? 4k 2 9 1 ? (1 ? ). 4 3 ? 4k 2
当 k ? 0 时, | AF2 |g | F2 B | 取最大值为 3 ,
2

所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围 ? ,3 . 又当 k 不存在,即 AB ? x 轴时, | AF2 |g | F2 B | 取值为 所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围

?9 ?4

? ? ?

9 . 4
…………13 分

?9 ? ,3 . ? ?4 ? ?

5、(Ⅰ)有题意可知: RN ? RM ,即点 R 到直线 x ? ?1 和点 M 的距离相等. 根据抛物线的定义可知: R 的轨迹为抛物线,其中 M 为焦点. 设 R 的轨迹方程为: y 2 ? 2 px ,

p ?1, 2

p?2
…………………………5 分

所以 R 的轨迹方程为: y 2 ? 4 x .

b b (Ⅱ)由条件可知 C ( ? ,0) ,则 Q ( ,0) . k k
? y ? kx ? b 联立 ? 2 ,消去 y 得 k 2 x 2 ? (2bk ? 4) x ? b2 ? 0 , y ? 4 x ?
? ? (2bk ? 4) ? 4b k ? 16(1 ? bk ) ? 0 .
2 2 2

y
B

A

C

Q

x

O

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,则 P ( x2 , ? y2 )
P

x1 ? x2 ?

4 ? 2bk k2



x1 ?

4 ? 2bk ? 4 1 ? bk 2k 2



x2 ?

4 ? 2bk ? 4 1 ? bk . 2k 2

因为

k AP ?

y1 ? y 2 k ( x ? ? 2b ?k 1 x )2 ? ? , x1 ? x2 ?8 1 ? bk 1 ? bk 2k 2

k AQ ?

y1 ? 0 k (kx1 ? b) 2(1 ? 1 ? bk ) 2k ? ? ? b kx ? b 2[(1 ? bk ) ? 1 ? bk ] ? 1 ? bk 1 x1 ? k 2k
kA P ? k
A Q

所以 6、解:

, A, P, Q 三点共线 .

…………………………13 分

2 2 (Ⅰ)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上,

令 y ? 0 ,得 x ? ?4 ,所以 a ? 4 .

…………………………….1 分

又离心率为

3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,…………………………….2 分 2 a 2

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,…………………………….3 分 所以 W 的方程为 (Ⅱ) 法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,…………………………….5 分

x2 y2 ? ? 1. 16 4

…………………………….4 分

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,

…………………………….6 分

因为 ?4 为上面方程的一个根,所以 x1 ? ( ?4) ? 所以 | AP |?

?32k 2 4 ? 16k 2 .…………………………….7 分 x ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
…………………………….8 分

8 1? k2 . 1 ? 4k 2
| 4k | k2 ?1

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

,…………………………….9 分

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

16 8 ? ,…………………………….10 分 2 1? k 1? k2

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |
8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? .…………………………….13 分 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2

代入得到

显然 3 ? 法二:

| PQ | 3 ? 3 . …………………………….14 分 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….5 分

? x ? my ? 4 ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?
2 2 化简得到 (m ? 4) y ? 8my ? 0 ,由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 . …………………………….6 分

显然 0 是上面方程的一个根,所以另一个根,即 y1 ? 由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?

8m .…………………………….7 分 m2 ? 4

8 1 ? m2 | m | ,…………………………….8 分 m2 ? 4
|4| 1 ? m2
,…………………………….9 分

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| .…………………………….10 分 ? 2 1? m 1 ? m2

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |

8|m|
代入得到

| PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 ? ?1 ? ?1 ? ,…………………………….13 分 2 2 | AP | 8 1 ? m | m | 1? m 1 ? m2 m2 ? 4



3 ? 3 ,则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾,矛盾, 1 ? m2
| PQ | ? 3 . …………………………….14 分 | AP |

所以不存在直线 AP ,使得

法三:假设存在点 P ,使得

|y | | AQ | | PQ | ? 4 ,得 Q ? 4 . …………………………….5 分 ? 3 ,则 | AP | | AP | | yP |

显然直线 AP 的斜率不为零,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….6 分

? x ? my ? 4 ? 由 ? x2 y2 ,得 (m2 ? 4) y 2 ? 8my ? 0 , ? ? 1 ? 16 4 ?
由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 ,…………………………….7 分

8m .…………………………….9 分 m2 ? 4 8m 同理可得 yQ ? 2 ,…………………………….11 分 m ?1
所以 yP ? 所以由

| yQ | | yP |

?4得

m2 ? 4 ? 4 ,…………………………….13 分 m2 ? 1

则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾, 所以不存在直线 AP ,使得

| PQ | ? 3 . …………………………….14 分 | AP |

7、(Ⅰ)解:由已知可得 ?
2 2

? ?

a 2 ? b2 ? 2b
2 2



? ?2c ? 2 a ? b ? 4

………………2 分

解得 a ? 6 , b ? 2 , 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

………………4 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得, F 的坐标是 ? ?2,0 ? ,设 M 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 MF 的斜率 kMF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)

………………5 分

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式.

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, ? 6 2 ? x ? my ? 2 ?
消去 x ,得 m ? 3 y ? 4my ? 2 ? 0 ,
2 2

?

?

………………8 分

其判别式 ? ? 16m ? 8 m ? 3 ? 0 .
2 2

?

?

所以 y1 ? y2 ?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3 ?12 . m2 ? 3
2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?
………………10 分

x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ?

设 N 为 PQ 的中点,则 N 点的坐标为 ?

………………12 分

所以直线 ON 的斜率 kON ? ?

m m ,又直线 OM 的斜率 kOM ? ? , 3 3
………………14 分 ………………2 分

所以点 N 在直线 OM 上,即 OM 经过线段 PQ 的中点 N . 8、(Ⅰ)解:由题意,得 又因为点 A(1,
c 3 ? , a 2 ? b2 ? c 2 , a 2

3 ) 在椭圆 C 上, 2

所以 12 ? 32 ? 1 ,
a 4b

………………3 分

解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

………………5 分 ………………6 分

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 . 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

………………7 分

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

………………8 分

因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 所以 ?1 ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4 m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . ………………9 分

由方程组 ?

? y ? kx ? m, ?x ? y ? r ,
2 2 2

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? r 2 ? 0 ,

………………10 分

则 ?2 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? r 2 ) ? 0 . 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?2km m2 ? r 2 , , x ? x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

………………11 分

设直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 1 , OP 所以 k1k2 ?
y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? r 2 ?2km ? km ? 2 ? m2 2 m2 ? r 2 k 2 k ?1 k ?1 ? , m2 ? r 2 m2 ? r 2 k2 ?1
(4 ? r 2 )k 2 ? 1 . 4k 2 ? (1 ? r 2 )

………………12 分

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,得 k1 ? k2 ? 要使得 k1k 2 为定值,则

4 ? r2 1 ,即 r 2 ? 5 ,验证符合题意. ? 2 4 1? r

1 . 所以当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足 k1 k 2 为定值 ? 4
………………13 分 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 此时,圆 x2 ? y 2 ? 5 与 l 的交点 P 1, P 2 也满足 k1k2 ? ? 4

1 . 综上,当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足斜率之积 k1 k 2 为定值 ? 4
………………14 分


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