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2016年高考全国3卷文数试题及答案


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试题类型:

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.

考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
(1)设集合 A ? {0, 2, 4, 6,8,10}, B ? {4,8} ,则 ?A B =
8} (A) {4, 2, 6} (B) {0, 2, 6, 10} (C) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (D) {0,

(2)若 z ? 4 ? 3i ,则

z = |z|

(A)1
?

(B) ?1

4 3 + i 5 5 (C)

4 3 ? i 5 5 (D)

(3)已知向量 BA =(

? 3 3 1 1 , ) , BC =( , ) ,则∠ABC= 2 2 2 2

(A)30°(B)45° (C)60°(D)120° (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均 最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均 最低气温约为 5℃.下面叙述不正确的是

(A)各月的平均最低气温都在 0℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 (5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字 母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8 1 1 1 (A) 15 (B) 8 (C) 15 (D) 30 1 (6)若 tanθ= 3 ,则 cos2θ= 4 1 1 4 ? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 ?
3 3 3 (7)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 4 2 1

(A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b (8)执行右面的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

1 , BC 边上的高等于 BC , 则 sin A ? 3 (9)在 ? ABC 中,B= 4 3 (A) 10

?

10 (B) 10

5 (C) 5

3 10 (D) 10

(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的表面积为 (A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90 (D)81

(11) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC, AB=6, BC=8, AA1=3, 则 V 的最大值是 (A) 4 π (B)

9π 32π (C) 6π (D) 2 3

(12)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的 a 2 b2

左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 (A)

1 1 2 3 (B) (C) (D) 3 2 3 4

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? (13)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z=2x+3y–5 的最小值为______. ? x ? 1, ?
(14) 函数 y=sin x–cosx 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. (15)已知直线 l: x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂线 与 x 轴交于 C、D 两点,则|CD|= .
? x ?1

(16)已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e 程式_____________________________.

? x ,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an ?1 ? 1)an ? 2an ?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. (18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到 0.01) , 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (I)证明 MN∥平面 PAB; (II)求四面体 N-BCM 的体积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点, 交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)证明当 x ? (1, ??) 时, 1 ?

x ?1 ? x; ln x
x

(III)设 c ? 1 ,证明当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ? 1) x ? c . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 中 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点。

(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小; (Ⅱ)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OG⊥CD。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) 。以坐标原点为极点,

x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(

)=

.

(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标. (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=∣2x-a∣+a. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (II)设函数 g(x)=∣2x-1∣.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围。

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试题类型:新课标Ⅲ

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学正式答案
第 Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
(1)C (7)A (2)D (8)B (3)A (9)D (4)D (5)C (6)D (12)A

(10)B (11)B

第 II 卷
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。
(13) ?10 (14)

? 3

(15)4

(16) y ? 2 x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a2 ?

1 1 , a3 ? . 2 4

.........5 分

2 (Ⅱ)由 an ? (2an ?1 ? 1)an ? 2an ?1 ? 0 得 2an ?1 (an ? 1) ? an (an ? 1) .

因为 ?an ?的各项都为正数,所以 故 ?an ?是首项为 1 ,公比为 (18) (本小题满分 12 分)

an ?1 1 ? . an 2
......12 分

1 1 的等比数列,因此 an ? n ?1 . 2 2

解: (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得

t ? 4 , ? (ti ? t ) 2 ? 28 ,
i ?1

7

?(y
i ?1
7 i ?1

7

i

? y ) 2 ? 0.55 ,

? (ti ? t )( yi ? y) ? ? ti yi ? t ? yi ? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89 ,
i ?1 i ?1

7

7

2.89 ........4 分 ? 0.99 . 0.55 ? 2 ? 2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线 r?
性回归模型拟合 y 与 t 的关系. ............6 分

9.32 ?? (Ⅱ)由 y ? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103 , 28

?t ? 1.331 ? 0.103 ? 4 ? 0.92 . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y
..........10 分

? ? 0.92 ? 0.10 ? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. (19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 AM ? .........12 分

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT , TN ,由 N 为 PC 中点知 3
......3 分

TN // BC , TN ?

1 BC ? 2 . 2

又 AD // BC , 故 TN 平行且等于 AM , 四边形 AMNT 为平行四边形, 于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . ........6 分

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , N 为 PC 的中点, 所以 N 到平面 ABCD 的距离为

1 PA . 2

....9 分

取 BC 的中点 E , 连结 AE .由 AB ? AC ? 3 得 AE ? BC ,AE ? 由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ? 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM ? (20) (本小题满分 12 分)

AB 2 ? BE 2 ? 5 .

1 ? S ?BCM 3

1 ? 4? 5 ? 2 5 . 2 PA 4 5 . .....12 分 ? ? 2 3

解: (Ⅰ)由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b ,0), B( , b), P(? , a ), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2
.....3 分

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k 2 ,则

k1 ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 . 2 1? a a ? ab a a
......5 分

所以 AR ∥ FQ .

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D ( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? . 2 2 2 2 1 1 a ?b b ? a x1 ? ? ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ? 1 .
2

....12 分

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设, f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ' ( x) ?
'

1 ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . x
'

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递 减. ………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得最大值,最大值为 f (1) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 . 故当 x ? (1, ??) 时, ln x ? x ? 1 , ln

1 1 x ?1 ? ? 1 ,即 1 ? ? x. x x ln x
x ' x

………………7 分
'

(Ⅲ) 由题设 c ? 1 , 设 g ( x) ? 1 ? (c ? 1) x ? c , 则 g ( x) ? c ? 1 ? c ln c , 令 g ( x) ? 0 ,

c ?1 ln c . 解得 x0 ? ln c ln
当 x ? x0 时 , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单 调 递 增 ;当 x ? x0 时 , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单 调 递 减. ……………9 分 由 (Ⅱ) 知, 1?

c ?1 故 0 ? x0 ? 1 , 又 g (0) ? g (1) ? 0 , 故当 0 ? x ? 1 时, ?c, g ( x) ? 0 . ln c

所以当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ? 1) x ? c x . ………………12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 PB, BC ,则 ?BFD ? ?PBA ? ?BPD, ?PCD ? ?PCB ? ?BCD . 因为 AP ? BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD ,所以 ?BFD ? ?PCD .
? 又 ?PFD ? ?BFD ? 180 , ?PFB ? 2?PCD , 所 以 3?PCD ? 180

?



因 此

?PCD ? 60? .
(Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?PCD ? ?EFD ? 180? ,由此知 C , D, F , E 四点共 圆,其圆心既在 CE 的垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C , D, F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在 CD 的垂直平分线上,因此 OG ? CD .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 , C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ……5 分 3

(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的 最小值, 即 为

P



C2







d (? )











d (? ) ?

| 3 cos? ? sin? ? 4 | ? ? 2 | sin( ? ? )? 2 . | 3 2

………………8 分 当且仅当 ? ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) 时, d (? ) 取得最小值,最小值为 2 ,此时 P 的直角坐标

为( , ).

3 1 2 2

………………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ………………5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ? a ? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ? a
?|1 ? a | ? a ,
当x?

1 时等号成立, 2
① ……7 分

所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 |1 ? a | ? a ? 3 . 当 a ? 1 时,①等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解. 当 a ? 1 时,①等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ??) . ………………10 分


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