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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 9.7


§ 9.7

双曲线

1. 双曲线的概念 把平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合 叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 (a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 实虚轴 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线 段 B1B2 叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫 作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4), F2(0, -4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. ( × x y (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. m n
2 2

) )

( ×

x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0, n>0, λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0, 即 ± =0.( √ ) m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2. ( √ )

x2 y2 x2 y2 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2 a b b a e1 e2 =1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线). ( √ ) x2 y2 2. 若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心 a b 率为 A. 5 答案 A b bc 解析 焦点(c,0)到渐近线 y= x 的距离为 2 =2a, 解得 b=2a, 又 a2+b2=c2, ∴5a2 a a +b2 c =c2,∴离心率 e= = 5. a x2 3. (2013· 福建)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 4 2 A. 5 答案 C 1 2 2 5 解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线 y=± x 的距离 d= = . 2 5 5 x2 y2 x2 y2 4. (2012· 天津)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近 a b 4 16 线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 解析 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ,即 - = 4 16 4 16 4λ 16λ 1. 1 由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a2=1,b2=4.又 a>0,b>0,故 a=1,b=2. 4 5. (2012· 辽宁)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. 4 B. 5 2 5 C. 5 4 5 D. 5 ( ) B.5 C. 2 D.2 ( )

答案 2 3 解析 设 P 在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|=2+x,因为 PF1⊥PF2,所以(x+ 2)2+x2=(2c)2=8, 所以 x= 3-1,x+2= 3+1, 所以|PF2|+|PF1|=2 3.

题型一 双曲线的定义及标准方程 例1 x2 y2 x2 y2 (1)已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心 a b 16 9 率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. (2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相 外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为________. x2 y2 思维启迪 设双曲线方程为 2- 2=1,求双曲线方程,即求 a、b,为此需要关于 a、b a b 的两个方程,由题意易得关于 a、b 的两个方程;也可根据双曲线的定义直接确定 a、b、 c;根据双曲线的定义求轨迹方程. 答案 x2 y2 (1) - =1 4 3 y2 x2 (2) - =1 2 4

y2 (3)x2- =1(x≤-1) 8 解析 x2 y2 7 (1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心率为 e= .由于 16 9 4

x2 y2 x2 y2 双曲线 2- 2=1 与椭圆 + =1 有相同的焦点,因此 a2+b2=7. a b 16 9 a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a a 4 所以 a=2,b2=c2-a2=3, x2 y2 故双曲线的方程为 - =1. 4 3 x2 x2 (2)设与双曲线 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y2=k,将点(2,-2)代入得 k 2 2 22 = -(-2)2=-2. 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4

(3)如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的 距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8. y2 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8 思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过 程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近 线之间的关系,求出 a,b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程, x2 y2 可利用有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ≠0),再由条件求出 λ 的值即可.利用 a b 定义时,要特别注意条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的 一支. x2 y2 (1)(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近 a b 线上,则 C 的方程为 x y A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20
2 2

( x y B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80
2 2

)

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x y A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 答案 解析 (1)A (2)A (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
2 2

(

)

x y B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12

2

2

x2 y2 ∵ 2- 2=1 的焦距为 10, a b

∴c=5= a2+b2. b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, a ∴ 2b =1,即 a=2b. a





由①②解得 a=2 5,b= 5, x2 y2 则 C 的方程为 - =1, 20 5 故应选 A. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0), 设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 题型二 双曲线的几何性质 例2 x2 (1)(2013· 浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 4 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若 四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 A. 2 B. 3 3 C. 2 D. 6 2 ( )

x2 2 (2)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 a → → 支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为 A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 思维启迪 B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4 ( )

(1)求圆锥曲线的离心率 e,可以求出 a,c 的关系式,进而求出 e.

(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围,一定要注意圆锥曲线本身的 x,y 的取值范围. 答案 解析 (1)D (2)B x2 y2 (1)|F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. a b

∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2,

c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = .故选 D. a 2 2 (2)由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1, 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y), x2 ∵y2= -1, 3 x2 → → ∴OP· FP=x2+2x+y2=x2+2x+ -1 3 4 4 3 7 = x2+2x-1= (x+ )2- . 3 3 4 4 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点), → → ∴OP· FP≥3+2 3.故选 B. 思维升华 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的 c 一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 e= 是一个比值,故只需根据条 a 件得到关于 a、b、c 的一个关系式,利用 b2=c2-a2 消去 b,然后变形求 e,并且需注意 e>1.同时注意双曲线方程中 x,y 的范围问题. x2 y2 5 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 , a b 2 则 C 的渐近线方程为 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 1 B.y=± x 3 D.y=± x ( )

x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另 a b → → 一条渐近线交于点 B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为 A. 2 答案 解析 B. 3 (1)C (2)C c 5 + (1)由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R ), a 2 C.2 D. 5 ( )

b 1 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k.所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2

→ → (2)如图,∵FB=2FA, ∴A 为线段 BF 的中点, ∴∠2=∠3. 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴ =tan 60° = 3, a b ∴e2=1+( )2=4,∴e=2. a 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3 已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系,解题关键是联立方程用根与系数的 关系求解. 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,

2 2 ? ?x -y =1, 则方程组? 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ?

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
?1-k2≠0, ? ∴? 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ?>0, ?

解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时, k 的取值范围是(- 2, -1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0. -2k ? ?x +x =1-k , ∴? -2 ? ?x x =1-k .
1 2 2 1 2 2

当 A,B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时, 1 1 S△OAB=S△OAD-S△OBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|; 2 2 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时, 1 1 S△OAB=S△ODA+S△OBD= (|x1|+|x2|)= |x1-x2|. 2 2

1 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2,∴(x1-x2)2=(2 2)2, 2 -2k 2 8 6 即( 2) + 2=8,解得 k=0 或 k=± . 2 1-k 1-k 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1, 6 ∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 2. 2 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消

元,得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支 上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB), x2 将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得,(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得

3 <k<1. 3

∴当

3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= , 1-3k2 ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) =k(xA+xB)+2 2= 2 2 . 1-3k2

3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( ). 2, 1-3k 1-3k2 1 设直线 l0 的方程为 y=- x+m, k 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . 1-3k2 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0. 3

∴m<-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

忽视“判别式”致误 y2 典例:(12 分)已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点, 2 且点 P 是线段 AB 的中点? 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,在解决直线与 圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式,致使有的考生思维定势的原因,任何 情况下都没有考虑判别式,导致解题错误. 规范解答 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), [2 分]

若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k. y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 ? ?x - 2 =1, 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0). x1+x2 k?1-k? ∴x0= = . 2 2-k2 k?1-k? 由题意,得 =1,解得 k=2. 2-k2 当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.

[3 分]

① [6 分]

[8 分]

[11 分]

∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点.[12 分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路 也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从

而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出 AB 的斜率,进而求方程;也可以设斜 率 k,利用待定系数法求方程. (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.

方法与技巧 x2 y2 x2 y2 1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2=t (t≠0). a b a b 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为 x2 y2 x2 y2 “0”就得到两渐近线方程,即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐 a b a b 近线方程. 失误与防范 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中的 a,b,c 大小关系,在椭圆中 a2=b2+c2, 而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程 a b a a b a 是 y=± x. b 4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与 双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个 交点.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 x2 y2 1. (2013· 北京)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为 a b A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 ( )

答案 B 解析 由 e= 3,知 c= 3a,得 b= 2a. b ∴渐近线方程为 y=± x,y=± 2x. a π x2 y2 y2 x2 2.(2013· 湖北)已知 0<θ< , 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( 4 cos θ sin θ sin θ sin θtan2θ A.实轴长相等 C.焦距相等 答案 D sin2θ+cos2θ 1 解析 双曲线 C1:e2 = 2 , 1= cos2θ cos θ 双曲线 C2:e2 2= sin2θ+sin2θtan2θ 1 =1+tan2θ= 2 , sin2θ cos θ B.虚轴长相等 D.离心率相等 )

∴C1,C2 离心率相等. 3. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点, |AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 C.2 答案 B x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线 l 的方程为 x=c 或 x=-c, x2 y2 c2 b4 代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2, a b a a b2 2b2 ∴y=± ,故|AB|= , a a 2b2 b2 依题意 =4a,∴ 2=2, a a ∴ c2-a2 2 =e -1=2,∴e= 3. a2 B. 3 D.3 ( )

x2 y2 x2 y2 4. 以椭圆 + =1 的右焦点为圆心,且与双曲线 - =1 的渐近线相切的圆的方程是 169 144 9 16 ( A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+9=0 答案 A 解析 由于右焦点(5,0)到渐近线 4x-3y=0 的距离 d= 20 =4, 5 B.x2+y2-10x-9=0 D.x2+y2+10x-9=0 )

所以所求的圆是圆心坐标为(5,0),半径为 4 的圆.即圆的方程为 x2+y2-10x+9=0.

x2 y2 5. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂 a b 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B b2 b2 解析 由题意易知,F(-c,0),A(-c, ),B(-c,- ),E(a,0), a a → → 因为△ABE 是锐角三角形,所以EA· EB>0, b2 b2 → → 即EA· EB=(-c-a, )· (-c-a,- )>0, a a 整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. 二、填空题 6 . 已知双曲线的渐近线方程为 x± 2y = 0 ,且双曲线过点 M(4, 3) ,则双曲线的方程为 ________. 答案 x2 2 -y =1 4 B.(1,2) D.(2,1+ 2) ( )

x 解析 ∵双曲线过点 M(4, 3),M 在 y= 下方, 2 ∴双曲线焦点在 x 轴上, x2 y2 b 1 设双曲线方程为 2- 2=1,又 = , a b a 2 x2 y2 因此设 a=2k,b=k(k>0),∴ 2- 2=1, 4k k 代入 M(4, 3)解得 k=1,a=2,b=1, x2 ∴方程为 -y2=1. 4 x2 y2 7. 已知双曲线 - =1 的离心率是 3,则 n=________. n 12-n 答案 4 解析 根据双曲线方程得 n(12-n)>0,∴0<n<12, ∴a2=n,b2=12-n,c2=a2+b2=12, c 12 则双曲线的离心率 e= = = 3,∴n=4. a n

x2 y2 8. (2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b |PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|, 则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° , 由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a 三、解答题 9. 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线,

可设其方程为 x2-y2=λ(λ≠0), 则由点(4,- 10)在双曲线上, 可得 λ=42-(- 10)2=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴32-m2=6,∴m2=3, 又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m) =(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0, ∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. (3)解 1 S△F1MF2= ×4 3×|m|=6. 2

10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求 出 k 的值;若不存在,说明理由.



(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 ①

2x2-y2=1 后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,

? ?Δ=?22kk? -8?k -2?>0, 故?- >0, k -2 2 ? >0. ?k - 2
2 2 2 2

k2-2≠0,

解得 k 的取值范围是-2<k<- 2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

?x +x =2-k , 则由①式得? 2 x= . ?x · k -2
1 2 2 1 2 2

2k



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. 把②式及 c= 6 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0. 2 ③

6+ 6 6- 6 解得 k=- 或 k= ?(-2,- 2)(舍去), 5 5 6+ 6 可知存在 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 C. 3+1 2 B. 3 D. 5+1 2 ( )

答案 D x2 y2 解析 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲 a b b b 线的一条渐近线方程为 y= x,而 kBF=- , a c

b b ∴ · (- )=-1, a c 整理得 b2=ac. ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去),故选 D. 2 2 2. (2013· 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60° 的 直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 A.? C.? 2 3 ? ? 3 ,2? B.? 2 3 ? ? 3 ,2? 2 3 ? ? 3 ,+∞? ( )

2 3 ? ? 3 ,+∞?

D.?

答案 A 解析 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称.又由题 意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 b 1 b2 c c2 b2 4 30° 且小于等于 60° , 即 tan 30° < ≤tan 60° , ∴ < 2≤3.又 e2=( )2= 2=1+ 2, ∴ <e2≤4, a 3 a a a a 3 ∴ 2 3 <e≤2,故选 A. 3

x2 y2 3. 已知 F1, F2 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两焦点, 以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, a b 若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是 A.4+2 3 答案 D 解析 因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a, △MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a, c 2 所以 e= = = 3+1,故选 D. a 3-1 x2 y2 4. (2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等 9 16 于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. B. 3-1 C. 3+1 2 D. 3+1 ( )

∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF 的周长为 |PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. x2 y2 5. 已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 得 cos∠F1PF2= = - e2. 8 2 8 8 2·a·a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 4 6. 已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴 5 为虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连接 BP 交椭圆 → → 于点 M,连接 PA 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积. 解 x2 y2 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

x2 y2 则根据题意知双曲线的方程为 2- 2=1 a b a2-b2 4 ? ? = , 5 且满足? a ? ?2 a2+b2=2 34,
?a2=25, ? 解方程组得? 2 ? ?b =9.

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9 (2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,

→ → 设 M(x0,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点, 所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,



? ??2x -5? 4y ? 25 - 9 =1,
0 2 2 0

2 2 x0 y0 + =1, 25 9

2 消去 y0,得 2x0 -5x0-25=0.

5 3 3 解之,得 x0=- 或 x0=5(舍去).∴y0= . 2 2 5 3 3 由此可得 M(- , ),∴P(-10,3 3). 2 2 当 P 为(-10,3 3)时, 3 3 直线 PA 的方程是 y= (x+5), -10+5 3 3 x2 y2 即 y=- (x+5),代入 + =1, 5 25 9 得 2x2+15x+25=0. 5 所以 x=- 或-5(舍去), 2 5 ∴xN=- ,xN=xM,MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM=2S△AMB=2× ×10× =15 3. 2 2


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