tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 理学 >>

定积分的几何应用


定积分的几何应用

定积分的几何应用

内容摘要
自十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨确定了微积分的基础以来,微积分已经经历了近 四百年的发展,微积分不仅在数学领域,在现代科学各个领域都发挥了巨大的作用,微 积分的思想更是达到了哲学的高度。可以预见,微积分在将来的应用会越来越广泛,越 来越深入,但微积分由于其思想的复杂性、系统性,给使用者带来了不便,本文就微积 分在数学几何领域的应用做了一些总结和创新, 得出了在直角坐标系和极坐标系情况下, 平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法,以方便 相关领域的人士在工作和学习中参考使用。 。

【关键词】定积分 几何 坐标系 面积 体积 弧长

The application of definite integral geometry
Abstract
Since the second half of the seventeenth Century the Newtonian and Leibniz to determine the basis of calculus, calculus has experienced nearly four hundred years of development, not only in the field of mathematics calculus, in modern scientific fields have played an important role, the calculus idea is to achieve a high degree of philosophy. Can foreknow, calculus in the future will be more widely used, more and more deeply, but due to the complexity of ideas of calculus, system, users have inconvenience, the calculus in mathematics geometry application some summary and innovation, derived in Cartesian coordinate and polar coordinate conditions, planar graph area, the volume of body of rotation, smooth arc length of a curve and a rotating surface area method, so as to facilitate the related people in the working and learning reference.

【Key words】Integral geometry coordinates area volume arc length





一、 引言………………………………………………………(1)
(一)定积分的历史………………………………………………………………(1) (一)定积分思想的意义…………………………………………………………(1)

二、 定积分与微元法…………………………………………(2)
(一)定积分的定义………………………………………………………………(2) (二)微元法的原理………………………………………………………………(2) (三)微元法的步骤………………………………………………………………(3)

三、 平面图形的面积…………………………………………(3)
(一)直角坐标系情形……………………………………………………………(3) (二)极坐标系情形………………………………………………………………(4)

四、体积………………………………………………………(5)
(一)平行截面面积为已知的立体的体积………………………………………(5) (二)旋转体体积…………………………………………………………………(5)

五、 光滑曲线的弧长…………………………………………(7) 六、 旋转曲面的面积…………………………………………(8) 参考文献………………………………………………………(9) 致谢…………………………………………………………(10)

定积分的几何应用

一、 引言
本文在总结前人的经验和方法的基础上,通过使用定积分的方法和思想,得出了在 直角坐标系和极坐标系情况下,平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转 曲面的面积的求解方法。 (一)定积分的历史 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在英国和德国独自研究并完成了微积分的创立工作,微积分学不仅成了推动近代数学 发展强大的引擎,而且同时也极大地推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、 经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。而定积分思想是微积分学 的重要组成部分,在现代科学领域有着广泛的应用。 定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经能看出端倪。在国外,古希腊时期阿基 米德在公元前 240 年前后,就曾用求和的方法计算过抛物线、弓形及其他图形的面积。在 国内,公元 263 年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上,积分观念的形成比 微分要早。 但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前,有关定积分的种种研究成果还是孤 立零散的,比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后,计算问 题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。 牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大 的贡献,但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上,运用几何方法研究 微积分的; 莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上,运用分析学方法引进微积 分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形 式简洁准确,胜过牛顿。 在对微积分具体内容的研究上,牛顿先有导数概念,后有积分概念; 莱布尼兹则先有积分概念,后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异, 但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业,荣耀应由他们两人共享。 定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念,花了大约 2000 年的 时间。在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分 的理论基础还不十分牢靠,有些概念还比较模糊,由此引起了数学界甚至哲学界长达一个 半世纪的争论,并引发了第二次学危机。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别 是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义, 极限概念才完全确立,微积分才有了坚实的基础。 (二)定积分思想的意义 定积分不仅是一种方法,又是一种基本思想。定积分的思想即化整为零、近似代替、 积零为整、取极限。定积分这种求和的极限的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他 的科学领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义 ,很多问题的数学结构与定积分 中求和的极限的数学结构是一样的,通过对曲边梯形的面积、 变速直线动的路程等实际问 题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为 离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说,定积分最重要的功能是为我们 研究某些问题提供一种思想方法(或思维模式),即用无限的过程处理有限的问题,用离散 的过程逼近连续,以直代曲,局部线性化等。 定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学 史上,而且是科学思想史上的重要里程碑定积分思想 ,是人类智慧的可贵结晶,已成为人
-1-

类文明中的瑰宝。 定积分既是一种求值的高级运算方法,又是定义函数的一种工具。例如,连续函数 的变上限积分是其的一个原函数,当有些函数的原函数不是初等函数时 ,例如,求正弦曲 线、 椭圆弧长等所遇到的椭圆积分就不是初等函数,这时,我们就把这个积分本身,作为新 函数的定义,以此为出发点来研究这个函数。 有时,积分本身是我们熟悉的函数,也可以这 样做,这也开阔了思路,增加了原来函数的一个等价定义。

二、定积分与微元法
(一)定积分的定义 任何一个数学概念,都具有抽象性、精确性、应用广泛性。数学生命力的源泉在于它 的概念和结论尽管极为抽象,现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。 设闭区间 [a, b] 上有 (n ? 1) 个点, 依次为 a ? x0 ? x1 ? x2 ? 分成 n 个小区间 i ? xi ? xi ?1 ,(i ? 1, 2, 分割,记为 T ? {x0 , x1 ,

? xn?1 ? xn ? b ,把区间 [a, b]

, n) ,这些分点或这些闭子区间构成对 [a, b] 的一个

, xn } 或 T ? { 1, 2 ,

, n } ,小区间 i 的长度为 xi ? xi ? xi ?1 ,并记
, n) ,并

T ? max{ xi } , (1 ? i ? n) ,在各小区间上任取一点 ? i ,( ?i ? xi ), (i ? 1, 2,
n

作和式 S ? ? f (?i ) xi ,如果不论对 [a, b] 怎样的分法,也不论在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上点 ? i 怎
i ?1

样的取法,只要当 T ? 0 时,和 S 总趋于确定的极限 I ,我们称函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上 可积,极限 I 称为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分,记为

?

b

a

f ( x)dx ? I ? lim

T ?0

? f (? )
i ?1 i

n

xi

(二)微元法的原理 定积分的几何应用问题普遍具有一个固定的模式,即求与某个区间 [a , b ] 上的变量
f ( x) 有关的量 ? ,这个量可以是面积,体积,弧长等,即 ? ? ?( x) x ? [a, b] 。

在任意小区间 ( x, x ? dx) 包含于 [a, b ] 上,把 ? 的微小增量 ? 近似的表示为 x 的线 性形式 ? ? f ( x) x ,其中 f ( x) 为某一连续函数,而且当 x ? 0 时 ? ? f ( x) x ? 0 即
d ? ? f ( x) x ,因此定积分 ? f ( x )dx 即为该问题所求的值。

采用微元法时需注意两点
-2-

1.所求量 ? 关于分布区间必须是代数可加的,即把区间分成几个小区间时总量就等 于各个小区间上的局部量之和。 2. ? 的近似值可表示为 f (?i ) xi , 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷

小量。
(三)微元法的步骤 1 .根据问题的具体情况 , 选取一个变量。例如 x 为积分变量 , 并确定其变化区间
[ a, b] ;

2. 在区间 [a, b] 内任取一个小区间 [ x, x ? dx] , 求出相应于这个小区间的部分量 ?Q 的 近似值.如果 ?Q 能近似地表示为 [a, b] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x) 与 dx 的乘积 , 就把 f ( x)dx 称为量 Q 的微元且记作,即 dQ ? f ( x)dx 3. 以 所 求 量 Q 的 微 元 f ( x)dx 为 被 积 表 达 式 , 在 区 间 [a ,b ]上 作 定 积 分 , 得

Q ? ? f ( x)dx
a

b

三、平面图形的面积
(一)直角坐标系情形 1.设函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) 在区间 [a, b ] 上为连续函 数且 f ( x) ? g ( x) (图 1) ,则所围阴影面积 A 有: 面积微元 dA ? [ f ( x) ? g ( x)]dx

面积 A ? ?

b

a

? f ( x) ? g ( x)? dx

图1

2.设函数 x ? ? ( y ) , x ? ? ( y ) 在区间 [c, d ] 上为连续函 数且? ( y) ? ? ( y) (图 2)则所围阴影面积 A 有: 面积微元 dA ? ? ?? ? y ? ? ? ? y ? ? ? dy 面积 A ? ?
b a

? f ( x) ? g ( x)? dy
图2
-3-

例一:求由 y 2 ? 2x, y ? x ? 4

所围图形的面积(图 3)

解:两曲线的交点为(2,-2) , (8,4) 。 根据此图形特点,可以选择 y 作为积分变量,其 变化区间为[-2,4]。 图形的面积微元为: dA ? ( y ? 4 ? 从而可得图形面积
A??
4 ?2

1 2 y )dy 2

(y ? 4?

1 2 y2 y3 y )dy ? ( ? 4 y ? ) |4 ?2 ? 18 2 2 6

图3

? x ? ? (t ) 3.一般地:如果曲边梯形的曲边为参数方程 ? ? y ? ? (t )
曲边梯形的面积 A ? ? ? (t )? ?(t )dt. ,
t1 t2

其中 t1, t2 对应曲线起点与终点的参数值,在 [t1, t2 ] 上
x ? ? (t ) 具有连续导数, y ? ? (t ) 连续。

例二:求椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的面积(图 4) a 2 b2

? x ? a cos t 解:椭圆的参数方程 ? ? y ? b sin t
由对称性知总面积等于 4 倍的第一象限部分面积
A ? 4 ? ydx ? 4 ?? b sin td (a cos t ) ? 4ab ? sin 2 tdt ? ? ab
2

a

0

?

图4

0

2

0

(二)极坐标系情形 1.曲边扇形(图 5) 设图形由曲线 r = r (?)及射线 ?=?,?=? 所围成其中 r (?) 在[?,?]上连续,且 r (?)?0.取 ? 为积分变量,其变化区间为 1 [?,?],相应于[?,?+d?]的面积微元为 dA ? [r (? )]2 d? 2 则图形面积为 A ? ?
1 [r (? )]2 d? ? 2 2.一般图形(图 6)
?

图5

-4-

由曲线 r = r1 (?), r = r2 (?) 及射线 ?=?,?=? 所围图
1 形的面积微元为 dA ? [r22 (? ) ? r12 (? )]d? 2
?

则面积为 A ? ?

?

1 2 [r2 (? ) ? r12 (? )]d? 2

图6

例三:求心形线 r ? a(1 ? cos ? ) 所围平面图形的面积( a ? 0 ) (图 7)
1 2 a (1 ? cos ? ) 2 d? 2 ? 1 利用对称性知 A ? 2 ? a 2 ? 0 2

解: dA ?

(1 ? cos? )2 d?

? a2 ?

?

0

(1 ? 2cos ? ? cos2 ? )d?
图7

1 ?3 ? ? a 2 ? ? ? 2sin ? ? sin 2? ? 4 ?2 ?
3 = ? ? a2. 2

四、体积
(一)平行截面面积为已知的立体的体积 设立体介于 x ? a, x ? b 之间, A( x) 表示过点 x 且垂直于 (如图) 取 x 为积分变量,其变化范围为 [a, b] . x 轴的截面面积. (图 8) 体积微元为 dV ? A( x)dx 则体积为
图8

V ? ? A( x)dx
a

b

例四:一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底 面交成角 ? ,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.(图 9) 解:取坐标系如图,底圆方程为 x2 ? y 2 ? R2 垂直于 x 轴的 截面为直角三角形 截面面积 立体体积
A( x) ? 1 2 ( R ? x 2 ) tan ? , 2
图9

1 R 2 2 (R ? x 2 ) tan ? dx ? R3 tan ? . ? ? R 2 3 (二)旋转体体积 V?
-5-

平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 1.设旋转体绕 x 轴形成.(图 10) 则如前所述,可求得截面面积

A( x) ? ? ? y 2 ? ? [ f ( x)]2 , 则 V ? ? ? [ f ( x)]2 dx
a

b

2.设旋转体绕 y 轴形成.(图 10) 同理,可得体积为

V ? ? ? [? ( y)]2 dy
c

d

或者当 ? ( y ) 不易求时可使用柱壳法: 取 x 为积分变量,其变化范围为[a,b].在[a,b]内任取 区间微元 [ x, x ? dx] ,在 [ x, x ? dx] 上任取一点 ? i ,这样以 dx 为底,
图 10

f (?i ) 为高的小曲边梯形绕 y 轴所产生的环形薄片的体积
dV ? V ? 2? ?
x ? dx x

?i f (?i )dx
V ? 2? ? xf ( x)dx
a b

因此旋转体体积为

例五:求如图直角三角形绕 x 轴旋转而成的圆锥体的体积. r 解:可求得过点 O 及 P(h,r)的直线方程为 y ? x (图 11) h
h r ? r 2 x3 h ? r 2 h 得 V ? ? ? ( x) dx ? |0 ? 0 h 3h2 3 2

例六 求圆心在(b,0),半径为 a(b>a)的圆绕 y 轴旋转而 成的环状体的体积.
图 11

解 :圆的方程为 ( x ? b)2 ? y 2 ? a2 (图 12) 则所求体积可视为分别与直线 y ? ?a, y ? a 及 y 轴所 围成的曲边梯形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积之差.则
x ? b ? a2 ? y2 , x ? b ? a2 ? y2
图 12

V ? ? ? [(b ? a 2 ? y 2 )2 dy ? ? ? [(b ? a 2 ? y 2 )2 dy
?a ?a

a

a

y 2 a2 y a 2 ? 8? b( a ? y ? arcsin ) |0 ? 2? 2 a 2b 2 2 a

3. 设 旋 转 体 绕 平 面 直 线 y ? kx,(k ? 0, k ? ?) 形 成 (图 13)
-6-

图 13

取 x 为积分变量 ,其变化范围为 [a, b] .在 [a, b] 内任取区间微元 [ x, x ? dx] ,则过点

? x, f ( x)? 和 ? x ? dx, f ( x ? dx)? 作 y ? kx 的垂线 ,交 y ? kx 于点 P1 , P2 ,记

PP 1 2 ? t ,在

[ x , x ? dx]上任取一点 ? i ,点 Q ??i , f (?i )? 到 y ? kx 的距离记为 r ,这样以 t 为底, r 为高

的小曲边梯形绕 y ? kx 所产生的体积微元 dV ? V ? ? ? 其中, r ?

x ? dx

x

r 2 dt

k?i ? f (?i ) 1? k 2

,记 OP ? t ,
2

? k?i 2 +f (?i ) ? ? ? ? 1 则: t ? OQ ? PQ ? ?i +f (?i ) ??i ? kf (?i )? 2 1? k 1? k 2
2 2

dt ? t ?

1 1? k 2

?1 ? kf '(?i )? dx
b a

曲线绕平面直线 y ? kx,(k ? 0, k ? ?) 形成的旋转体体积为 V ? ? ? r 2 dt

???

[kx ? f ( x)]2 1 ? ?1 ? kf '( x)? dx 2 a 1? k 1? k 2
b

?

?
(1 ? k )
2 3 2

? [kx ? f ( x)] ?1 ? kf '( x)? dx
b 2 a

例七:求函数 y ? x2 ? 4,(0 ? x ? 1) 绕直线 y ? 4 x 旋转所成旋转体的体积. 解: V ?

?
(1 ? 4 )
2 2 3

? (4x ? x
0

1

2

? 4)2 (1 ? 4 ? 2 x)dx ?

821 15 ?17
2 3

?

4.设旋转体绕平面直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ),(k ? 0, k ? ?) 形成 令 y ? y0 ? y1 , x ? x0 ? x1 ,则曲线方程变为 y1 ? f ( x1 ? x0 ) ? y0 ,x1 ?[a ? x0 , b ? xo ] , 从 而同理得旋转体体积 V ?

?
(1 ? k )
2 3 2

? [(kx ? kx ) ? ( f ( x) ? y )] ?1 ? kf '( x)? dx
b 2 a 0 0

五、光滑曲线的弧长
(一)设光滑曲线方程: y ? f ( x),(a ? x ? b) (图 14) 取 x 积 分 变 量 , 变 化 区 间 为 [ a, b] . [ a, b] 内 任 意 小

-7-

图 14

区间 [ x, x ? dx] 的一段弧长可用相应的切线段近似代替.即 ?s ? (dx) 2 ? (dy ) 2 ? 1 ? y?2 dx 则弧长微元(弧微分) 故弧长为
ds ? 1 ? y?2 dx

s??

b

a

1 ? y?2 dx
x ? ? (t ) ,(? ? t ? ? ) 则如前所述 : y ? ? (t )

(二)若曲线方程由参数方程: { 弧长微元 故弧长为

ds ? (dx) 2 ? (dy ) 2 ? ? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt

s??

?

?

? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt

(三)若曲线方程由极坐标系方程:r=r(?) (?????). 表示 {
x ? r (? ) cos ? , (? ? t ? ? ) y ? r (? )sin ?
? ?

则s ? ?

? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt ? ?
2 2 2

?

?

r 2 (? ) ? r ?2 (? )d?

例八:求星形线 x 3 ? y 3 ? a 3 (a ? 0) 的弧长.(图 15)
3 ? ? x ? a cos t (0 ? t ? 2? ) 解:星形线的参数方程为 ? 3 ? ? y ? a sin t

根据对称性 s ? 4s1 ? 4 ? 2
0

?

? x? ?

2

? ? y? ? dt ? 4 ? 2 3a sin t cos tdt ? 6a.
2 0

?

例九:求阿基米德螺线 r ? a? (a ? 0) 上相应于 ? 从 0 到 2? 的弧长. 解:
r ? ? a,
? ?
2?

? s??

r 2 (? ) ? r ?2 (? )d? a 2? 2 ? a 2 d?

??

0

? a?
?

2?

0

? 2 ? 1d?

图 15

a? 2? 1 ? 4? 2 ? ln(2? ? 1 ? 4? 2 ) ? . ? ? 2

六、旋转曲面的面积
] 设平面光滑曲线 y ? f ( x) , x ?[a, b]( f ( x) ? 0) ,取积分变量为 x , x ? [a, b] ,在 [a, b

-8-

上任取小区间 [ x, x ? dx] ,通过 x 轴上的点 x 与 dx 分别做垂直于 x 轴的平面,它们在旋转 曲面上截下一条狭带,当 dx 很小时,狭带的面积近似于一圆台的侧面积,取面积元素
dS ? 2? f ( x) 1 ? f '2 ( x)dx ,则旋转曲面面积为 S ? 2? ? f ( x) 1 ? f '2 ( x)dx
a b

? x ? x(t ) 若曲线由参数方程 ? ,t ?[ ? , ? ] ? y ? y(t )
? ?

y(t ) ? 0 定 义 , 面 积 元 素

dS ? 2? y (t ) x '2 (t ) ? y '2 (t ) dt ,则旋转曲面面积为 S ? 2? ? y(t ) x '2 (t ) ? y '2 (t )dt

? x ? r (? ) cos ? 若曲线由极坐标系方程 ? 定义, x '2 (? ) ? y '2 (? ) ? r 2 (? ) ? r '2 (? ) ,则旋转 ? y ? r (? )sin ?
曲面的面积 S ? 2? ? r (? )sin ? r 2 (? ) ? r '2 (? )d?
? ?

例十:求半径为 R 的球面面积。 解:球面可看作由半圆 y ? R 2 ? x 2
(? R ? x ? R) 绕 x 轴旋转而成,于是

A ? 2? ?

R

?R

R2 ? x2 ? 1 ?

x2 dx ? 4? R 2 R2 ? x2

? x ? a(t ? sin t ) (0 ? t ? 2? ) 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积 例十一:求摆线 ? ? y ? a(1 ? cos t )
解: A ? 2? ? a(1 ? cos t ) ? x '2 (t ) ? y '2 (t )dt
0 2?

? 2? ? 2a 2 (1 ? cos t ) ? sin
0

2?

t 2

?

64 2 ?a 3

参考文献:
【1】 李锐、 项海容: 《基于两期生命周期模型的农户金融行为的计量分析》 , 《管理世界》 2006 年 第 9 期,123-126. 【2】秦雅倩、 周小伟: 《农村居民耐用消费品购买策略模型》 , 《贵州农业科学》 2009 年第 3 期,123-126.

-9-

【3】杭斌: 《习惯形成下的农户缓冲储备行为》 , 《经济研究》2009 年第 1 期。,123-126. 【4】杭斌、申春兰《中国农户预防性储蓄行为的实证研究》,《中国农村经济》2005 年第 3 期,123-126.



谢:首先,我要衷心地感谢我的指导教授老师,感谢他对我的耐心指

导,从我的论文选题、论文写作的各个阶段,恩师都给予了我很大的帮助。 其次我要感谢 XX/XX 同学,他们既是我的同学,又是我的挚友,大家生活上 互相关心、互相帮助,学业上互相鼓励、共同进步,我们相处得非常愉快。 我始终感到,能与这些优秀的同学共同学习,是我今生的荣幸。最后,感谢 各位评审专家百忙中评审本论文,并提出宝贵意见!

- 10 -


推荐相关:

1.7.1定积分在几何中的应用(练习)

1.7.1定积分几何的应用(练习)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.7.1 定积分几何的应用(测试 1) 1. 由曲线 y=x -1, 直线 x=0, x=2 和...


定积分在几何中的简单应用教学设计

选修2-2 第一章 第七节 《定积分几何中的简单应用》教学设计 定积分几何中的简单应用》 设计教师: 设计教师:祁磊 教学年级: 教学年级:高二年级 课题名称:...


定积分在几何上的应用

定积分几何的应用_数学_自然科学_专业资料。高等数学题 目 本讲计 划学时 教学目的 教学重点 教学难点 2 教案对应教材章(课)节§6.2 定积分几何上的...


定积分的几何应用

定积分的几何应用_数学_自然科学_专业资料。第一节 定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 y ? f ( x) ( f ( x) ? 0) 及直线...


定积分在几何上的应用教案(3)

定积分在几何上的应用教案(3) 目的要求 1.掌握定积分解决实际问题的基本思想方法:分割、近似代替、作和、求极限. 2.继续了解定积分表达式的几何意义,巩固运用定...


定积分的几何应用教案

定积分的几何应用教案_理学_高等教育_教育专区。4.3.1 定积分在几何上的应用教材: 《高等数学》第一册第四版,四川大学数学学院高等数学教研室,2009 第四章第三...


定积分在几何中的应用

选修2-2 导学案(18)§1.7.1 定积分在几何中的应用学习目标与要求:在理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法,掌握在平面直角坐 标系下用定...


第七节 定积分的几何应用

第七节 定积分的几何应用_理学_高等教育_教育专区。经济数学---微积分教案 第七节 定积分的几何应用教学目的:学会用元素法计算平面图形的面积、体积。 教学重点:...


第二节 定积分在几何学上的应用

第二节 定积分几何学上的应用_理学_高等教育_教育专区。第二节 定积分几何学上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设函数 y ? f1 ? x ? 及 y...


定积分的几何应用

7页 免费 定积分几何中的简单应用... 10页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com