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2015-2016学年四川省内江市高二(下)期末数学试卷(理科) 解析版


2015-2016 学年四川省内江市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1. (5 分) (2016 春?内江期末)椭圆 A.2 B.2 C.4 D.4 ,则 f′(π)=( ) + =1 的长轴长是( )

2. (5 分) (201

6 春?内江期末)设函数 f(x)= A.0 B. C.﹣ D.﹣

3. (5 分) (2016 春?内江期末)设 i 为虚数单位,a,b∈R,则“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. (5 分) (2016 春?内江期末)若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2) ,平面 α 的法向量为 = (﹣2,0,﹣4) ,则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l? α D.l 与 α 相交但不垂直 5. (5 分) (2016 春?内江期末)在如图的空间直角坐标系中,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 棱长为 1,P 是线段 BD1 上的一点,且 BP=2PD1,则点 P 的坐标是( )

A. ( , , )
2

B. ( , , ) C. ( , , ) D. ( , , ) )
2

6. (5 分) (2016 春?内江期末)下列有关命题的说法正确的是( A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.命题“? x∈R,使 x +x+1<0”的否定为:“? x∈R,使 x +x+1<0”

C.命题“若 f(x)= x ﹣2x +4x+2,则 2 是函数 f(x)的极值点”为真命题 D.命题“若抛物线的方程为 y=﹣4x ,则焦点到其准线的距离为 ”的逆否命题为真命题 7. (5 分) (2016?商洛模拟)直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点, 若 AB 的中点横坐标为 3,则线段 AB 的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2 2

3

2

8. (5 分) (2016 春?内江期末)函数 f(x)=1nx﹣ x +1 的零点个数为(

3



A.0 B.1 C.2 D.3 9. (5 分) (2014?监利县校级模拟)如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按 逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 10. (5 分) (2012?湖北模拟)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)被斜率为 1 的直线截 )

得的弦的中点为(4,1) ,则该双曲线离心率的值为( A. B. C. D.

11. (5 分) (2016 春?内江期末)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 I2 日值班,每人 4 天, 甲说:我在 2 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等. 据此可判断丙必定值班的日期有( ) A.6 日和 12 日 B.5 日和 6 日 C.1 月和 5 月 D.1 月和 11 日 12. (5 分) (2016 春?内江期末)设 a,b 是两个不相等的正数,且 alna+b=blnb+a,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)>0 B.0<a+b<2 C.ab>1 D.0<ab<1 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2016 春?内江期末)复数 在复平面上对应的点在第 象限.

14. (5 分) (2016 春?内江期末)已知双曲线 C 与椭圆 3x +8y =24 有相同的焦点,且双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,则双曲线 C 的标准方程为 . 15. (5 分) (2016 春?内江期末)若命题“? x0∈(0,+∞) ,使 lnx0﹣ax0>0”是假命题,则 实数 a 的取值范围是 . 16. (5 分) (2016 春?内江期末)设椭圆 x + 则 m 的取值范围为 .
2

2

2

=1 上恰有两点到直线 y=x+4 的距离等于



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 3 2 17. (10 分) (2016 春?内江期末)已知函数 f(x)=2x ﹣6x +1. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最小值. 18. (12 分) (2016 春?内江期末)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,AB∥CD, AB⊥AD,PA=CD=AD=2AB=2,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥面 PAD; (2)求直线 BE 与平面 PAB 所成角的正弦值.

19. (12 分) (2016 春?内江期末)在抛物线 y =16x 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线 PD, 垂足为 D,当 P 在抛物线上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)设 O 为原点,过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求△AOB 的面积的最 小值. 20. (12 分) (2016 春?内江期末)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长为 2,侧面 BCC1B1 ⊥底面 ABC,∠B BC=60°,P 为 A1C1 的中点.

2

(1)求证:BC⊥AB1; (2)求二面角 C1﹣B1C﹣P 的余弦值.

21. (12 分) (2016 春?内江期末)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,经过两点 P(2,0)和 Q (1, ) . (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设过原点的直线 l1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,过椭圆 C 的右焦点的直线 l2 与椭圆 C 2 交于 M,N 两点,且 l1∥l2,是否存在常数 λ,使得|AB| =λ|MN|?若存在,请求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由. 22. (12 分) (2016 春?内江期末)已知函数 f(x)=e ﹣ x e ,其中 a∈R,e=2.71828…为 自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)对于区间(0,1)上任意一个实数 a,是否存在 x>0,使得 f(x)>x+1?若存在,请 求出符合条件的一个 x,若不存在,请说明理由.
x 2 x

2015-2016 学年四川省内江市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1. (5 分) (2016 春?内江期末)椭圆 + =1 的长轴长是( )

A.2 B.2 C.4 D.4 【分析】根据椭圆方程得出 a,从而得出长轴长 2a. 【解答】解:∵椭圆方程为: + =1,即 ,

∴a=2 , ∴椭圆的长轴长为 2a=4 . 故选 D. 【点评】本题考查了椭圆的定义与简单性质,属于基础题.

2. (5 分) (2016 春?内江期末)设函数 f(x)= A.0 B. C.﹣ D.﹣

,则 f′(π)=(



【分析】求函数的导数,直接进行计算即可. 【解答】解:函数的导数 f′(x)= ,

则 f′(π)=

=﹣



故选:C. 【点评】本题主要考查函数的导数的计算,要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式,比较基 础. 3. (5 分) (2016 春?内江期末)设 i 为虚数单位,a,b∈R,则“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】复数 a+bi 是纯虚数,则 ,即可判断出结论.

【解答】解:复数 a+bi 是纯虚数,则

, .

∴“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要不充分条件. 故选:B 【点评】本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题.

4. (5 分) (2016 春?内江期末)若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2) ,平面 α 的法向量为 = (﹣2,0,﹣4) ,则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l? α D.l 与 α 相交但不垂直 【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出. 【解答】解:∵ =(1,0,2) , =(﹣2,0,4) , ∴ =﹣2 , ∴ ∥ , 因此 l⊥α. 故选:B. 【点评】本题考查了向量共线定理与线面垂直的判定定理,是基础题. 5. (5 分) (2016 春?内江期末)在如图的空间直角坐标系中,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 棱长为 1,P 是线段 BD1 上的一点,且 BP=2PD1,则点 P 的坐标是( )

A. ( , , )

B. ( , , ) C. ( , , ) D. ( , , )

【分析】设 P(x,y,z) ,利用 BP=2PD1,可得(x﹣1,y,z)=2(﹣x,1﹣y,1﹣z) ,求 出 x,y,z,即可得出点 P 的坐标. 【解答】解:由题意,B(1,0,0) ,D1(0,1,1) 设 P(x,y,z) , ∵BP=2PD1, ∴(x﹣1,y,z)=2(﹣x,1﹣y,1﹣z) ,





∴x= ,y= ,z= , ∴P( , , ) , 故选:A. 【点评】本题考查点 P 的坐标,考查方程组思想,考查学生的计算能力,比较基础. 6. (5 分) (2016 春?内江期末)下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.命题“? x∈R,使 x +x+1<0”的否定为:“? x∈R,使 x +x+1<0” C.命题“若 f(x)= x ﹣2x +4x+2,则 2 是函数 f(x)的极值点”为真命题 D.命题“若抛物线的方程为 y=﹣4x ,则焦点到其准线的距离为 ”的逆否命题为真命题 【分析】对 4 个命题分别进行判断,即可得出结论. 2 2 【解答】解:对于 A,命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,不正确; 2 2 对于 B,命题“? x∈R,使 x +x+1<0”的否定为:“? x∈R,使 x +x+1≥0”,不正确; 对于 C,f(x)= x ﹣2x +4x+2,则 f′(x)=x ﹣4x+4=(x﹣2) ,∴函数在 2 的左右附近, 导数的符号不改变,∴命题“若 f(x)= x ﹣2x +4x+2,则 2 是函数 f(x)的极值点”为假 命题; 对于 D,若抛物线的方程为 y=﹣4x ,则焦点到其准线的距离为 ,正确,根据原命题与逆 否命题是等价命题,故命题“若抛物线的方程为 y=﹣4x ,则焦点到其准线的距离为 ”的逆 否命题为真命题,正确. 故选:D. 【点评】本题考查否命题、命题的否定、逆否命题,考查函数的极值,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 7. (5 分) (2016?商洛模拟)直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点, 若 AB 的中点横坐标为 3,则线段 AB 的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】分别过点 A,B 作抛物线准线的垂线,垂足分别为 M,N,由抛物线定义,得 |AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|,由此能求出线段 AB 的长. 2 【解答】解:设抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l0,C 是 AB 的中点, 分别过点 A,B 作直线 l0 的垂线,垂足分别为 M,N, 由抛物线定义, 得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN| = =xA+xB+p=2xC+p=8.
2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2

故选:D. 【点评】本题考查抛物线的弦长的求法,是中档题,解题时要熟练掌握抛物线的简单性质.

8. (5 分) (2016 春?内江期末)函数 f(x)=1nx﹣ x +1 的零点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3
3

3



【分析】由题意得,f(x)的零点个数即方程 f(x)=0 的解的个数,1nx= x ﹣1 的解的个 数,即函数 y=1nx 与函数 y= x ﹣1 的交点个数,利用函数性质分别画出其图象,即可找到 交点个数. 【解答】解:由题意得: f(x)=0 即 1nx= x ﹣1, 分别画出 y=1nx,y= x ﹣1 的图象如下图,
3 3 3

所以交点个数为 2 个,即 y=f(x)的零点个数为 2 个, 故选:C. 【点评】 本题为中档难度题, 解题关键在于将函数零点个数转化为两个函数交点个数的问题. 9. (5 分) (2014?监利县校级模拟)如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按 逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 【分析】由图象可以看出,阴影部分的面积一开始增加得较慢,面积变化情况是先慢后快然 后再变慢,由此规律找出正确选项 【解答】解:观察可知阴影部分的面积 S 变化情况为“一直增加,先慢后快,过圆心后又变 慢”, 对应的函数的图象是变化率先变大再变小,由此知选项 D 符合要求, 故选 D. 【点评】 本题考查直线与圆相交的性质, 解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的 阴影部分的面积变化规律, 利用函数的思想找出正确答案, 本题考查识图的能力以及根据实 际问题选择函数模型的能力.

10. (5 分) (2012?湖北模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)被斜率为 1 的直线截 )

得的弦的中点为(4,1) ,则该双曲线离心率的值为( A. B. C. D.

【分析】利用点差法,根据双曲线被斜率为 1 的直线截得的弦的中点为(4,1) ,确定 a,b 的关系,从而可求双曲线离心率的值. 【解答】解:设交点坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 ,

两式相减可得 ∵双曲线被斜率为 1 的直线截得的弦的中点为(4,1) , ∴ ∴a=2b ∴双曲线离心率的值为 = =

故选 D. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查点差法的运用,考查计算能力,属于基础题.

11. (5 分) (2016 春?内江期末)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 I2 日值班,每人 4 天, 甲说:我在 2 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等. 据此可判断丙必定值班的日期有( ) A.6 日和 12 日 B.5 日和 6 日 C.1 月和 5 月 D.1 月和 11 日 【分析】确定三人各自值班的日期之和为 26,根据甲说:我在 2 日和 3 日都有值班;乙说: 我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 1、3、10、11 日值班,乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、 5,即可确定丙必定值班的日期. 【解答】解:由题意,1 至 12 的和为 78, 因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为 26, 根据甲说:我在 2 日和 3 日都有值班;乙说:我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 2、3、 10、11 日值班,乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5, 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 12 日, 故选:A. 【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 12. (5 分) (2016 春?内江期末)设 a,b 是两个不相等的正数,且 alna+b=blnb+a,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)>0 B.0<a+b<2 C.ab>1 D.0<ab<1 【分析】由条件可得 alna﹣a=blnb﹣b,设 f(x)=xlnx﹣x,x>0,求得导数和单调区间、 极值,设 0<a<1,b>1,排除 A; 通过 f(x)的零点的范围,举 b=2,排除 B;由 f(a)﹣2ln2+2<0,可得 0<a<0.5,排除 C,可得 D 正确. 【解答】解:由 alna+b=blnb+a,得 alna﹣a=blnb﹣b, 设 f(x)=xlnx﹣x,x>0, 则 f′(x)=1+lnx﹣1=lnx, 由 f′(x)>0 得 lnx>0,得 x>1, 由 f′(x)<0 得 lnx<0,得 0<x<1, 即当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值﹣1, alna﹣a=blnb﹣b,等价为 f(a)=f(b) , 则 a,b 一个大于 1,一个小于 1, 不妨设 0<a<1,b>1. 则 a+b﹣ab>1 等价为(a﹣1) (1﹣b)>0, 则(a﹣1) (b﹣1)<0,故 A 不正确; 由 f(2)=2ln2﹣2<0,f(3)=3ln3﹣3>0,可得 f(x)=xlnx﹣x 的一个零点介于(2,3) , 可设 2<b<3,则 a+b>2,故 0<a+b<2 不正确,故 B 不正确; 当 b=2 时,即有 f(a)=f(2)=2ln2﹣2, 设 g(a)=alna﹣a﹣2ln2+2,由 g( )= ln ﹣ ﹣2ln2+2= ﹣ ln2<0, 可得此时 0<a< ,

即有 ab<1,故 C 不正确; 由排除法,可得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查函数和方程的转化思想,注意构造函数,求出导数,判断单调性,考查特 殊值法解选择题的方法,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2016 春?内江期末)复数 在复平面上对应的点在第 二 象限.

【分析】化简复数,使它的分母为实数,只需分子分母同乘分母的共轭复数,整理为 a+bi (a、b∈R) ,根据(a,b)的位置可得复数 【解答】解:复数 z= = 在复平面上对应的点所在象限. =﹣ + ,

复数对应的点(﹣ , )位于第二象限, 故答案为:二. 【点评】本题主要考查了复数代数形式的除法运算,以及复数的代数表示法及其几何意义, 属于基础题. 14. (5 分) (2016 春?内江期末)已知双曲线 C 与椭圆 3x +8y =24 有相同的焦点,且双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,则双曲线 C 的标准方程为 x﹣
2 2 2

=1 .

【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标,得出双曲线 C 的焦点在 x 轴上和 c 的值,再根据 渐近线方程,求出 a、b 的值,即可得出双曲线 C 的标准方程. 【解答】解:椭圆 3x +8y =24 的标准方程是 焦点坐标为(﹣ ,0)和( ,0) ; 所以双曲线 C 的焦点在 x 轴上,且 c= , 又渐近线方程为 y=±2x,∴ =2, 又 c =a +b , 解得 a=1,b=2; 所以双曲线 C 的标准方程为 x ﹣
2 2 2 2 2 2

+

=1,

=1.

故答案为:x ﹣

2

=1.

【点评】本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质的应用问题,是基础题目.

15. (5 分) (2016 春?内江期末)若命题“? x0∈(0,+∞) ,使 lnx0﹣ax0>0”是假命题,则 实数 a 的取值范围是 [ ,+∞) . 【分析】根据特称命题为假命题,转化为“? x∈(0,+∞) ,使 lnx﹣ax≤0”恒成立,利用参 数分离法进行转化,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性额最值进行求解即可. 【解答】解:若命题“? x0∈(0,+∞) ,使 lnx0﹣ax0>0”是假命题, 则命题“? x∈(0,+∞) ,使 lnx﹣ax≤0”恒成立, 即 ax≥lnx, 即 a≥ ,

设 f(x)=

,则 f′(x)=



由 f′(x)>0 得 1﹣lnx>0 得 lnx<1,则 0<x<e,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 1﹣lnx<0 得 lnx>1,则 x>e,此时函数单调递减, 即当 x=e 时,函数 f(x)取得极大值,同时也是最大值,此时 f(e)= 故 a≥ , 故答案为:[ ,+∞) 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,根据特称命题和全称命题之间的关系,进行转化 为不等式恒成立,以及可以参数分离法和构造法是解决本题的关键. = ,

16. (5 分) (2016 春?内江期末)设椭圆 x + 则 m 的取值范围为 3<m<35 . 【分析】求出与直线 y=x+4 的距离等于 可求出 m 的取值范围. 【解答】解:设与直线 y=x+4 的距离等于 ∴c=2 或 6, y=x+2 代入 x + >3; y=x+6 代入 x + 得 0<m<35; ∵椭圆 x +
2 2 2

2

=1 上恰有两点到直线 y=x+4 的距离等于



的直线方程,与椭圆方程联立,利用判别式,即

的直线方程为 y=x+c,则

=



=1 可得(m+1)x +4x+4﹣m=0,△=16﹣4(m+1) (4﹣m)>0,可得 m

2

=1 可得(m+1)x +12x+36﹣m=0,△=144﹣4(m+1) (36﹣m)<0,可

2

=1 上恰有两点到直线 y=x+4 的距离等于



∴3<m<35. 故答案为:3<m<35. 【点评】本题考查求 m 的取值范围,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线方程,属于中 档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17. (10 分) (2016 春?内江期末)已知函数 f(x)=2x ﹣6x +1. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最小值. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f′(1)和 f(1) ,代入切线方程即可; (2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最 小值即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=2x ﹣6x +1, 2 ∴f′(x)=6x ﹣12x=6x(x﹣2) , ∴f(1)=﹣3,f′(1)=﹣6, ∴切线方程是:y+3=﹣6(x﹣1) , 即 6x+y﹣3=0; (2)f′(x)=6x ﹣12x=6x(x﹣2) , 令 f′(x)>0,解得:x>2 或 x<0, 令 f′(x)<0,解得:0<x<2, ∴f(x)在[﹣1,0)递增,在(0,2)递减,在(2,3]递增, ∴f(x)的最小值是 f(﹣1)或 f(2) , 而 f(﹣1)=﹣7,f(2)=﹣7, 故函数在[﹣1,3]上的最小值是﹣7. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题. 18. (12 分) (2016 春?内江期末)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,AB∥CD, AB⊥AD,PA=CD=AD=2AB=2,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥面 PAD; (2)求直线 BE 与平面 PAB 所成角的正弦值.
2 3 2 3 2

【分析】 (1)利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定 理即可证明; (2)由 BE∥AM,可得直线 BE 与平面 PAB 所成角的正弦值=直线 MA 与平面 PAB 所成角 的正弦值=sin∠PAM. 【解答】 (1)证明:取 PD 的中点为 M,连接 ME,MA, ∵E 是 PC 的中点, ∴ME 是△PCD 的中位线.

∴ME∥CD,ME= CD. 又∵AB∥CD,2AB=CD, ∴ME∥AB,且 ME=AB. ∴四边形 MEBA 是平行四边形, ∴BE∥AM. ∵BE?平面 PAD,AM? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. (2)解:直线 BE 与平面 PAB 所成角的正弦值=直线 MA 与平面 PAB 所成角的正弦值=sin ∠PAM, ∵PA⊥底面 ABCD,PA=DA,M 是 PD 的中点, ∴∠PAM=45°, ∴sin∠PAM= .

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,熟练掌握线面 平行的判定定理是解题的关键. 19. (12 分) (2016 春?内江期末)在抛物线 y =16x 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线 PD, 垂足为 D,当 P 在抛物线上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)设 O 为原点,过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求△AOB 的面积的最 小值. 2 【分析】 (1) 设出 M 点的坐标, 由 M 为线段 PD 的中点得到 P 的坐标, 把 P 的坐标代入 y =16x 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹. (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,代入抛物线方程,利用韦达定理,即可得出结论. 【解答】解: (1) )设 M(x,y) ,由题意 D(x,0) ,P(x,y1) ∵M 为线段 PD 的中点,∴y1+0=2y,y1=2y. 2 2 又∵P(x,y1)在 y =16x 上,∴y1 =16x, 2 2 ∴4y =16x,即 y =4x. 2 (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,代入抛物线方程,可得:y ﹣4my﹣4=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=4m,y1y2=﹣4, ∴△AOB 的面积= |OF||y1﹣y2|= ≥2,m=0 时取等号,
2

∴m=0 时,△AOB 的面积最小值为 2. 【点评】本题考查了轨迹方程的求法,训练了利用代入法求曲线的方程,考查直线与圆锥曲 线的综合问题,考查学生分析解决问题的能力,是中档题.

20. (12 分) (2016 春?内江期末)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长为 2,侧面 BCC1B1 ⊥底面 ABC,∠B BC=60°,P 为 A1C1 的中点.

(1)求证:BC⊥AB1; (2)求二面角 C1﹣B1C﹣P 的余弦值.

【分析】 (1)根据线面垂直的性质定理证明 BC⊥平面 AOB1,即可证明 BC⊥AB1; (2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角 C1﹣B1C﹣P 的余弦 值. 【解答】证明: (Ⅰ)过 B1 作 B1O⊥BC 于 O, ∵侧面 BCC1B1⊥平面 ABC, ∴B1O⊥平面 ABC, ∵∠B1BC=60°.BCC1B1 是菱形,∴O 为 BC 的中点. ∵AO⊥BC,B1O⊥BC, ∴BC⊥平面 AOB1, ∵AB1? 平面 AOB1, ∴BC⊥AB1; 解: (2)以 O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, 则 , ∵P 为 A1C1 的中点, ∴P(﹣ , , ) , , B (0, ﹣1, 0) , C (0, 1, 0) , , ,

则平面 C1B1C 的法向量 =(1,0,0) , . 设平面 B1CP 的法向量 =(﹣ , , , ) ,



.即

令 z=1,则 则 =(3,

,x=3, ,1) ,

则 cos< , >=

=

=

=



即二面角 C1﹣B1C﹣P 的余弦值是



【点评】本题考查二面角的平面角的求法与应用,直线与平面垂直的判定定理的应用,建立 空间坐标系,求出平面的法向量利用向量法是解决二面角的常见方法. 21. (12 分) (2016 春?内江期末)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,经过两点 P(2,0)和 Q (1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过原点的直线 l1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,过椭圆 C 的右焦点的直线 l2 与椭圆 C 2 交于 M,N 两点,且 l1∥l2,是否存在常数 λ,使得|AB| =λ|MN|?若存在,请求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)设椭圆的方程为 =1(a>b>0)运用离心率公式和内切圆的性质以及

三角形的面积公式,计算即可得到 a,b,c,进而得到椭圆方程; (2)设出直线 l 的方程为 x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,再设直线 x=my,代入椭圆方程,运用弦长公式,化简可得|AB|,再由计算即可得到所求常数 λ. 【解答】解: (1)设椭圆的方程为 =1(a>b>0)

由题意可得 a=2, 可得 b= ,

=1,

即有椭圆的方程为

=1;

(2)设 l 的方程为 x=my+1,M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 2 由直线与椭圆方程,联立得(3m +4)y +6my﹣9=0,

即有 y1+y2=﹣

,y1y2=﹣



|MN|=

?

=



设 A(x3,y3) ,B(x4,y4) , 由 x=my 代入椭圆方程可得 消去 x,并整理得 y =
2

|AB|=
2

?|y3﹣y4|=

?

即有|AB| =4|MN|. 2 故存在常数 λ=4,使得|AB| =4|MN|. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和内切圆的性质,考查弦 长的求法,注意运用直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的 运算能力,属于中档题.
x 2 x

22. (12 分) (2016 春?内江期末)已知函数 f(x)=e ﹣ x e ,其中 a∈R,e=2.71828…为 自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)对于区间(0,1)上任意一个实数 a,是否存在 x>0,使得 f(x)>x+1?若存在,请 求出符合条件的一个 x,若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)求出函数的导数,令 g(x)=ax +2ax﹣ , (x>0) ,通过讨论 a 的范围,确定 g(x)的符号,从而确定函数的单调区间; (2)问题转化为 + ﹣1<0,只需要找一个 x>0 使式子成立,只需找到函数 t(x)
2

=

+

﹣1 的最小值,满足 t(x)min<0 即可.
x 2 x

【解答】解: (1)∵f(x)=e ﹣ x e , ∴f′(x)=﹣ e (ax +2ax﹣ ) , (x>0) , 令 g(x)=ax +2ax﹣ , (x>0) , ①a=0 时,g(x)=﹣ ,f′(x)>0, f(x)在(0,+∞)递增; ②a≠0 时,g(x)是二次函数,
2 x 2

△=4a +2a,由△=0,解得:a=﹣ , a>0 时,抛物线开口向上,△>0,解方程 g(x)=0, 得:x1= <0(舍) ,x2= >0,

2

故 g(x)>0 在(

,+∞)恒成立,

即 f′(x)<0 在(

,+∞)恒成立,

故 f(x)在(0,

)递增,在(

,+∞)递减;

a<﹣ 时,△>0,抛物线开口向下,

,x1=

<0(舍) ,x2=

<0, (舍)

故 g(x)<0 在(0,+∞)恒成立, 即 f′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, 故 f(x)在(0,+∞)递增; ﹣ ≤a<0 时,△≤0, 故 g(x)<0 在(0,+∞)恒成立, 即 f′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, 故 f(x)在(0,+∞)递增; 综上,a>0 时,f(x)在(0, 减; a<0 时,f(x)在(0,+∞)递增. (2)要使 f(x)>x+1 成立,即 e ﹣ x e >x+1,
x 2 x

)递增,在(

,+∞)递

变形为

+

﹣1<0,①

要找一个 x>0 使①式成立,只需找到函数 t(x)= <0 即可. ∵t′(x)=x(a﹣ ) ,

+

﹣1 的最小值,满足 t(x)min

令 t'(x)=0 得 e = ,则 x=﹣lna, 在 0<x<﹣lna 时,t'(x)<0,在 x>﹣lna 时,t'(x)>0, 即 t(x)在(0,﹣lna)上是减函数,在(﹣lna,+∞)上是增函数, ∴当 x=﹣lna 时,t(x)取得最小值 t(x)= (lna) +a(﹣lna+1)﹣1 下面只需证明: (lna) ﹣alna+a﹣1<0 在 0<a<1 时成立即可. 又令 p(a)= (lna) ﹣alna+a﹣1, 则 p′(a)= (lna) ≥0,从而 p(a)在(0,1)上是增函数, 则 p(a)<p(1)=0,从而 (lna) ﹣alna+a﹣1<0,得证. 于是 t(x)的最小值 t(﹣lna)<0, 因此可找到一个常数 x=﹣lna(0<a<1) ,使得①式成立. 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查二次函 数的性质、分类讨论思想、转化思想,是一道综合题.
2 2 2 2 2

x


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