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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(26)


加试模拟训练题(26) (附详细答案) 1、设锐角△ABC 的∠A 平分线交 BC 于 L,交外接圆于 N,自 点 L 分别向 AB 和 AC 作垂线 LK 和 LM, 垂足分别为 K 和 M. 求 证:△ABC 的面积等于四边形 AKNM 的面积. 2. 设 x, y, z ? (0, ? ?) ,且 xyz ? 1 ,证明 x3 y3 z3 3 ? ? ? . (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? y ) 4 3、 若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中, 任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称 n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数. 4、 如果一个正整数 n 在三进制下表示的各数字之和可以被 3 整除, 那么我们称 n 为 “好的” , 则前 2005 个“好的”正整数之和是多少? 加试模拟训练题(26) 1、设锐角△ABC 的∠A 平分线交 BC 于 L,交外接圆于 N,自点 L 分别向 AB 和 AC 作垂线 LK 和 LM,垂足分别为 K 和 M.求证:△ABC 的面积等于四边形 AKNM 的面积. 【题说】第二十八届(1987 年)国际数学奥林匹克题 2.本题由原苏联提供. 【证】作△ABC 的高 AH,则 A、K、H、L、M 五点共圆.连结 KH、HM、HN、BN 和 NC, 便有 ∠KHB=∠BAL=∠NAC=∠HBN ∠MHC=∠MAN=∠NAB=∠NCH 故知 KH∥BN,HM∥NC.从而有 S△KBH=S△KNH,S△HMC=S△HMN 由此即得 S△ABC=S△AKNM 易知△ABL∽△ANC,所以 AB AN = ? AB·AC=AN·AL AL AC 1 1 S△ABC= AB×ACsinA= AL×ANsinA 2 2 1 A A =2× (AL×cos )×AN×sin 2 2 2 1 A =2× AK×ANsin 2 2 =2S△AKN=SAKNM 2. 设 x, y, z ? (0, ? ?) ,且 xyz ? 1 ,证明 x3 y3 z3 3 ? ? ? . (1998 年第 39 届 IMO 预选试题) (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? y ) 4 分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明, 也可以将所证不等式进行 等价转化。 证法一: 因 x, y, z ? (0, ? ?) ,所以 x3 1? y 1? z 3 ? ? ? x, ① (1 ? y )(1 ? z ) 8 8 4 y3 1? x 1? z 3 ? ? ? y, 4 (1 ? x)(1 ? z ) 8 8 4 z3 1? x 1? y 3 ? ? ? z, (1 ? x)(1 ? y ) 8 8 4 以上三式相加可得: ② ③ x3 y3 z3 ? ? (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? z ) (1 ? x)(1 ? y ) ? 3 1 1 3 1 3 3 ( x ? y ? z ) ? (6 ? 2 x ? 2 y ? 2 z ) ? ( x ? y ? z ) ? ? ? 33 xyz ? ? . 4 8 2 4 2 4 4 上述不等式都是在 x ? y ? z ? 1 时取等号. 所以,当且仅当 x ? y ? z ? 1 时原不等式取等号. 证法二: 原不等式等价于 x4 ? x3 ? y 4 ? y3 ? z

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