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数列求和及综合应用


第二讲 数列求和及综合应用 【基础回扣 ? 步步为营】
【主干构建】

【题检回扣】
1. 2010· ( 天津高考) 设{an}是等比数列, 公比 q

? 2 , n 为{an}的前 n 项和。 Tn ? S 记


17 Sn ? S2 n , n ? N *. an ?1

设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 =
【解析】 Tn

?

17 Sn ? S2 n an?1 a ?1 ? q n ? a1 ?1 ? q 2 n ? 17 1 ? 1? q 1? q ? n a1q

?
qn ?

? q 2 n ? 17 q n ? 16 1 ? n 16 ? q ? n ? 17 ? ? ? ? n ?1 ? q ?q 1? q ? q ?

16 ? 2 ? 4 ,当且仅当 q n ? 4 ,即 n=4 时取等号,所以 Tn 的最大项为 T4,所以 n0 =4. qn S5 ?( 2.(2010·浙江高考)设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 ) S2 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 S5 1 ? q5 ? 【解析】由 8a2 ? a5 ? 0 得 8a1q ? a1q 4 ? 0, 所以 q ? ?2 ,所以 ? ?11 .故选 A. S2 1 ? q2 3. (2010· 华南师大附中模拟) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,S 9 ? ?18 ,S13 ? ?52 ; 等比数列 {bn }
中, b5

? a5 , b7 ? a 7 ,则 b15 的值为(



B.-64 D.-128 【解析】选 B.由 S 9 ? ?18 ,得 a5 ? ?2 , 由 S13 ? ?52 ,得 a7 ? ?4 .

A.64 C.128

? a5 ? ?2 , b7 ? a7 ? ?4 , b7 b 2 ? 2 ,所以 15 ? q10 ? 25 ? 32 ,所以 b15 ? ?64 . 所以 q ? b5 b5
所以 b5
1

4. (2010·山东德州模拟)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a4 是 a3与 a7 的等比中项,

S8 ? 32 ,则 S10 等于(
A. 18 C. 60 【解析】答案:C
2

) B. 24 D. 90
.

由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ?
2

56 d ? 32 得 2

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ?

90 d ? 60 ,故选 C 2
,若

5.(2010·聊城模拟)设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n (A) 2 (B)

S6 =3 ,则 S3

S9 =( S6



7 8 (C) (D)3 3 3 S (1 ? q 3 ) S3 【解析】设公比为 q ,则 6 ? =1+q3=3 ? q3=2 S3 S3
于是

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

.

【答案】B 6. (2010· 济南模拟) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? 其前 n 项和为 S n , S0 为 则 3 ( ? sin 2 ), 3 3



A. 470 C. 495

B. 490 D. 510 【解析】由于 {cos
2

答案:A

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3 2 2 2 2 1 ?2 4 ?5 282 ? 292 2 2 S30 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2 2 2 10 10 (3k ? 2) ? (3k ? 1) 5 9 ?10 ?11 ? ? [? ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A. 2 2 2 k ?1 k ?1

【考向突破 ? 典例精析】
热点考向一 可转化为等差或等比数列的求和问题 【考情分析】 1.可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一。 2.该类问题出题背景选择面广,易与函数方程、递推数列等知识综合,在知识交汇点处命题。 3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。
【例 1】 2010·重庆高考)已知 (

?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和.

(Ⅰ)求通项 an 及 S n ;

(Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .
【审题指导】1.第一问利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式直接求解即可;

2.第二问利用分组求和转化为等差与等比数列的求和问题,就等到解决. 【自主解答】 【规律方法】某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化 途径有: 1.凑配、消项变换——如将递推公式 an?1 ? qan ? d (q, d为 数 常 , q ? 0, q ? 1). 通过凑配变成

an?1 ?

d d ? q(an ? ); 或消常数项转化为 an?2 ? an?1 ? q(an?1 ? an ); q ?1 q ?1

2

1 d 1 1 can ? ? ? ?; (c, d为 零 数 取倒数得 非 常 ) an?1 c an c an ? d p 3.对数变换——如将递推公式 an?1 ? can (an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1) 取对数得 lg an?1 ? p lg an ? lg c ; a q a 1 a 4.换元变换——如将递推公式 an?1 ? qan ? d n (q, d为 零 数 非 常 , q ? 1, d ? 1) 变换成 n?1 ? ? n ? , 令bn ? n , 则 n?1 n d d d d dn 转化为 bn?1 ? Abn ? B 的形式。 3? ? 3 ? ? 【变式训练】已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于点 ? ? ,0 ? 对称,对任意的实数 x,都有 f ( x) ? ? f ? x ? ? ,且 f(-1)=1, 2? ? 4 ? ?
2.倒数变换——如将递推公式 an?1 ?
f(0)=-2,则 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2011)的值为( A.-2 B.-1 C.0 D.1 热点考向二 错位相减法求和 )

【考情分析】 1.错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。 2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。 3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。
【例 2】 (2010.全国新课标)设数列

?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3?22n?1

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 S n .
【审题指导】1.利用叠加法和等比数列的求和公式即可求解; 2.利用错位相减法求和. 【自主解答】

【规律方法】

1.几种求通项及求和方法 (1)已知 an ? an?1 ? f (n), 求 an 可用叠加法,即 2.已知

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? ? ? f (2) ? a1.

bn ? g (n), 求 bn 可用叠乘法, bn?1 bn bn?1 bn?2 b b ? ? ? ... ? 3 ? 2 ? b1 ? g (n) ? g (n ? 1) ?? ? g (2) ? b1. bn?1 bn?2 bn?3 b2 b1 3.设 {an } 为等差数列, {bn } 为等比数列,求数列 {anbn } 的前 n 项和可用错位相减法。
【变式训练】 (2010 山东模拟)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; n ?1 (n ? N ? ) , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn (11)当 b=2 时,记 bn ? . 4an
x

热点考向三 【考情分析】

裂项相消法求和

1.裂项相消法求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。 2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。 3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。 【例 3】 (2010 湖南高考)给出下面的数表序列:

3

其中表 n(n=1,2,3 ?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ?2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都等于它肩上的两 数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n≥3) (不要求证 明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ?,记此数列为 ?bn ? , 求和:

b3 b b ? 4 ?? n ? 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

【审题指导】 1.由表 1、2、3 推出表 4,然后归纳得表 n; 2.由通项

bn?2 bnbn?1

拆分为裂项相消求和。

【自主解答】

【规律方法】裂项相消法求和的几种常见类型

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k 1 1 (2) ? ( n ? k ? n) n?k ? n k 1 1 1 1 (3) ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 (4) ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) 1 1 1 1 ? ( ? ) (5)若 {an } 是公差为 d 的等差数列,则 an ? an?1 d an an?1 1 1 (6) ? ( a ? b) a ? b a ?b m m m (7) cn ?1 ? cn?1 ? cn , n ? n!? (n ? 1)!?n!
(1)
【变式训练】 (2010·山东模拟)已知 a1

? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n ? 1, 2,3,?

(1)证明数列 {lg(1 ? an )} 是等比数列; (2)设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) ,求 Tn 及数列 {an } 的通项; (3)记 bn ?

1 1 2 ? ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项 S n ,并证明 S n ? an an ? 2 3Tn ? 1
与不等式有关的数列问题

热点考向四 【考情分析】

1.数列综合问题,特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。 2.该类问题常与函数的单调性、基本不等式、导函数等知识交汇,综合命题。 3.多以解答题的形式出现,属于高档题目。
【例 4】 (2010·天津高考)在数列

?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * . a2 k ?1 , a2k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 d k 。
*

(Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N ) (Ⅱ)若对任意 k ? N , a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

? ? 1 ? ? ? 是等差数列; q ? 1? ? ? k ? n 3 k2 (ii)若 a2 ? 2, 证明 ? 2n ? ? ? 2 ( n ? 2 ). 2 k ? 2 ak
(i)设 q1 ≠1,证明: ?
4

【审题指导】 1.利用等差数列的定义、叠加法,求 a2 k ?1 , a2k ,再用等比数列定义证明

a2 k ?1 a2 k 即可. ? a2 k a2 k ?1

2.利用等比数列及等差数列的定义证明 ? 【自主解答】

? n k2 ? 1 ? ? 是等差数列;分奇偶性讨论和式 ? ,再放缩法证明目标即可. ? q ? 1? k ? 2 ak ? ? k ?

【规律方法】 1.数列与函数的综合问题:常以基础知识的考查为立足点,以函数关系引入数列中的量 an 、 S n ,然后转化为方程,最 终归结为等差或等比数列问题. 2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把 an 、 S n 看作是 n 的函数 求解. 3.数列与不等式的综合问题: 这是近几年高考的热点问题,通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题,解答时需要合理变形, 常用到放缩法. 常见的放缩技巧:

1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ?, 2 k k ?1 2 ? k ?1 k ?1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? , k k ?1 k k ?1 k 1 2 n ?1 ? n ? ? 2 n ? n ?1 . n

?

?

?

?

4.数列与数学归纳法的综合问题:通过归纳猜想得到结论,在用数学归纳法证明所得结论. 5.数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产 量、降升价、繁殖与增长率或降低率,分期付款、期货贸易等等. 6.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查,关键是构造数列,而后用数列知识解决即可. 【变式训练】 (2010·江苏高考)设各项均为正数的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 ? a1 ? a3 ,数列 差为 d 的等差数列。 ①求数列 ?a n ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; ②设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cS k 都成立. 求证: c 的最大值为
n

? S ?是公

9 。 2

5

【答案解析】
【例 1】 【自主解答】

(Ⅰ)因为 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列,所以 an ? 19 ? (n ? 1)( ?2) ? 21 ? 2n ,

n(n ? 1) (?2) ? 20 n ? n2 . 2 (Ⅱ)由已知 bn ? an ? 3n?1 , 所以 bn ? an ? 3n?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?a1 ? 30 ? ? ?a2 ? 31 ? ? ? ? ?an ? 3n?1 ? ? ?a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?30 ? 31 ? ? ? 3n?1 ? 1 ? 3n 3n ? 1 . ? Sn ? ? ?n2 ? 20 n ? 1? 3 2 Sn ? 19 n ?
【例 1】 【变式训练】 由函数的图像成中心对称,得

所以

? 3 ? f ( x) ? f ? ? ? x ? ? 0 , ? 2 ? ? 3 ? ?3 ? f ?? ? x? ? f ? ? x? , ? 2 ? ?2 ?

所以 f(x)为偶函数,且以 3 为周期. 则 f(-1)=1=f(2)=f(-2)=f(1)=f(4), f(0)=f(3)=-2, 所以 f(1)+f(2)+...+f(2011) =f(1)+[f(2)+f(3)+f(4)]+...+[f(2009)+f(2010)+f(2011)] (上式中共有 670 个中括号) =1.故选 D. 【例 2】 【自主解答】 (Ⅰ)由已知,当 n≥1

时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1

? 3(22 n?1 ? 22 n?3 ? ? ? 2) ? 2

? 22( n?1)?1 。 而 a1 ? 2,
所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22 n ?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22 n ?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1
从而


n ?2

5 7 22 ? Sn ? 1 2 ? ?2 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 3 ? 2

2 1②

①-②得



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n?1 ? n ? 22 n?1 1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9
?

【例 2】 【变式训练】因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.所以得

Sn ? b n ? r ,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ? 1)bn?1
又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 ,公比为 b , n ?1 所以 an ? (b ? 1)b .

,

6

(2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则 Tn ?

n ?1

? 2n ?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2

相减,得

1 2 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 = ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 .
【例 3】 【自主解答】

解: (1)表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1、2、3、4 行中的数的平均数分别是 4、8、16、32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列。 将这一结论推广到表 n(n ? 3) ,即 表 n(n ? 3) 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ,公比为 2 的 等比数列。 简证如下(对考生不作要求) 首先,表 n(n ? 3) 的第 1 行 1、3、5、?、 2n ? 1 是等比数列,其平均数为

1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n ;其次,若表 n 的第 k (1 ? k ? n ? 1) 行 a1, a2 ,?, an?k ?1 是等比数列,则它的第 k ? 1 行 n a1 ? a2 , a2 ? a3 ,?, an?k ? an?k ?1 也是等比数列。由等差数列的性质知,表 n 的第 k 行中的数的平均数与第 k ? 1 行的数 a1 ? an?k ?1 a1 ? a2 ? an?k ? an?k ?1 的平均数分别是 , ? a1 ? an?k ?1 。 2 2 由此可知,表 n(n ? 3) 各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ,公比为 2
的等比数列。

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?n n 由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ,公比为 2 的等比数列(从而它的第 k 行中的数 的平均数是 n ? 2k ?1 ) ,于是,表 n 中最后一行的唯一一个数为 bn ? n ? 2n?1 。
(2)表 n 的第 1 行是 1、3、5、?、 2n ? 1 ,其平均数为 因此

7

bk ?2 (k ? 2)2k ?1 ? bk bk ?1 k ? 2k ?1 ? (k ? 1) ? 2k k?2 ? k (k ? 1) ? 2k ?2 2(k ? 1) ? k ? k (k ? 1) ? 2k ?2 1 1 ? ? .( k ? 1,2,3,? , n) k ?3 k ?2 (k ? 1) ? 2k ?2 b b b 故 3 ? 4 ? ? ? n? 2 b1b2 b2b3 bnbn?1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ?? ?2 ?1 ?1 1? 2 2? 2 2? 2 3 ? 20 1 1 ?[ ? ] n ?3 n?2 (n ? 1) ? 2n?2 1 1 ? ? ?2 1? 2 (n ? 1) ? 2n?2 1 ? 4? (n ? 1) ? 2n?2
【例 3】 【变式训练】

解: (Ⅰ)由已知 an ?1 ? an ? 2an ,
2

? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 ? a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1 ,
两边取对数得

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) , lg(1 ? an ?1 ) ?2 即 lg(1 ? an ) ?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n ?1 ? lg 3 ? lg 32
?1 ? an ? 32
n ?1

n?1

(*)
20

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+a n ) ? 3

? 32 ? 32 ?…? 32
1 2

n-1

? 31? 2? 2

2

?…+2n-1

=

32

n

-1
2n?1

由(*)式得 an ? 3 (Ⅲ)? an ?1 ? a ? 2an
2 0

?1

? an?1 ? an( an ?2 ) 1 1 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( ? ) an ? 2 an a?1 an ?1 2 an an ? 2 n 1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) 又 bn ? an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2( ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? a1 an ?1 a1 a2 a2 a3 an an ?1 n?1 n 2 ? an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an ?1 ? 32 ? 1 ? S n ? 1 ? 2n 3 ?1 n 2 2 ?1 ? 1. 又 Tn ? 3 , ? S n ? 3Tn ? 1
【例 4】 【自主解答】

(Ⅰ)证明:由题设,可得

a ?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1 2k ? 1
8

所以

a ? a ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) = 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3
=2k(k+1) 由 a1 =0,得 a2 k ?1 ? 2k (k ? 1) , 从而 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k 2 ,

a2 k ?2 ? 2(k ? 1)2
于是

a a a a 2k ? 1 ? k ? 1 , 2k ? 2 ? k ? 1 , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 所以 a k a k a a 2k 2k ? 1 2k ? 1 2k * d k ? 2k时,对任意k ? N , a , a ,a 成等比数列。 2k 2k ? 1 2k ? 2 ,a ,a ,a (Ⅱ) (i)证明:由 a 成等差数列,及 a , a 成等比数列,得 2a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 , 2k ? 1 2 k 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 a2 k ?1 a2 k ?1 1 所以 2 ? ? ? ? qk , a2 k a2 k qk ?1 * 当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 1 1 1 从而 ? ? ?1 , 1 qk ? 1 2 ? ? 1 qk ?1 ? 1 qk ?1 1 1 即 ? ? 1(k ? 2) qk ? 1 qk ?1 ? 1
? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? k ? ? (ii)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,
所以 ? 从而 q1 ? 由⑴

4 ? 2, 1 =1. 2 q ?1 1

1

q k ?1 a2 k ?2 a2 k ?1 k ? 1 所以 , ? ? a2 k ?1 a2 k k
2

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

a2 k ? 2 ?k ? 1? ? ,k ? N * a2 k k2 a2 k a2 k ?2 a 因此, a2 k ? ? ?? ? 4 ? a2 a2 k ?2 a2 k ?4 a2
从而

?k ? 1? ?? ? 22 ? 2 ? 2k 2 k2 ? 12 ?k ? 1?2 ?k ? 2?2 k ?1 a2 k ?1 ? a2 k ? ? 2k ?k ? 1? k
2

?

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ? ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. k ? 2 ak
n

9

m ?2k ? ? m?1 ?2k ? 1? k2 ?? ? ak k ?1 a2k ? a2k ?1 k ?2 k ?1 n 2

2

??

?2k ?2 ? m?1 ?2k ? 1?2 ? 2k ?k ? 1? 2 k ?1 2k k ?1
m

m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 2m ? ? ? ? 2k ?k ? 1? ? k ?1 ? 2k ?k ? 1? ? m ?1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? ?

1? 1 ? 3 1 ? 2m ? 2?m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? . 2? m? 2 n n 2 k 3 1 所以 2n ? ? ? ? , 2 n k ?2 ak n 3 k2 从而 ? 2n ? ? ? 2 , n ? 4,6,8,? 2 k ?2 ak * (2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N ) 2 n k 2 2 m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 1 1 3 1 ? 4m ? ? ? ? 4m ? ? ? 2n ? ? ?2 a ? ?2 a ? a 2 2m 2m(m ? 1) 2 2(m ? 1) 2 n ?1 k? k? k k 2 m ?1
k2 3 1 ? ? , 所以 2n ? ? 2 n ?1 k ? 2 ak
n

n 3 k2 ? 2, n ? 3,5, 7 ·· 从而 ? 2n ? ? · 2 k ? 2 ak

综上可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有
n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

?

【例 4】 【变式训练】

①由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d ) 2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d ) 2 ,
化简,得:

a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2 Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , S n ? n 2 d 2 ,
当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? n2 d 2 ? (n ? 1)2 d 2 ? (2n ? 1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。
故所求 an ? (2n ? 1)d ② Sm ? Sn ? aSk
2

? m2d 2 ? n2d 2 ? ck 2d 2 ? m2 ? n2 ? ck 2 , m2 ? n2 即c ? 恒成立。 k2 又 m ? n ? 3k且m ? n ,
2(m2 ? n2 ) ? (m ? n)2 ? 9k 2 ?
9 m2 ? n 2 9 ? ,所以 c 的最大值为 . 2 2 k 2

10

【考题研究? 规范提升】
易错误区之一

解题方法失误(含找不到突破、用错方法等)

【例 1】 (2010·四川高考改编)已知数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 S n ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,则

an 的取值范 Sn

围是 【审题指导】利用函数思想及通项与求和的关系,转化为等比数列,即可迎刃而解. 【规范解答】解法一:由 Sn ?1 ? 2Sn ? a1 , 得 Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? a1 , 作差得 an+2=2an+1. 又 S2=2S1+a1, 即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是以 a1 为首项,以 2 为公比的等比数列.
w_w w. k#s5_u.c o *m

所以
Sn=a1+2a1+22a1+??+2n 1a1=(2n-1)a1. 则


an a ? 2n?1 1 . ? 1 n ? Sn a1 ? ?2 ? 1? 2 ? 1 2n?1

这是关于 n 的增函数,

an ?1 ? 的取值范围为 ? ,1? . Sn ?2 ? 解法二:由 Sn ?1 ? 2Sn ? a1
所以 得 Sn?1 ? a1 ? 2?Sn ? a1 ? , 所以数列 ?Sn ? a1?是以 2a1 为首项,以 2 为公比的等比数列. 所以 Sn ? a1 ? 2a1 ? 2n?1 ? a1 ? 2n ,

n ? 1, n ? 1, ?a1, an ? ?S1, ?Sn ? Sn?1, n ? 2 ? ?a ?2n ? 1? ? a ?2n?1 ? 1?, n ? 2 1 ? ? 1 所以 Sn ? a1 ? ?2n ? 1? , n ? 1, ? a ? 2n?1, n ? N * ?a1, ?? 1 n?1 ?a1 ? 2 , n ? 2
下同解法一
规范解答之一 数列解答题的解答技巧

【例 2】 (2010·安徽高考)设数列 a1 , a2 ,?, an ,?中的每一项都不为 0. 证明: {an } 为等差数列的充分必要条件是: 对任何 n ? N ? 都有

1 1 1 n ? ? ??? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1
证明:先证必要性. 设数列 {an } 为等差数列,它的公差为 d . 若 d ? 0 ,则所述结论显然成立.........1 分 若 d ? 0 ,则

11

1 1 1 ? ?? ? a1a2 a2a3 an an?1 1 ? a2 ? a1 a3 ? a2 a ?a ? ? ? ? ? n?1 n ? ? d ? a1a2 a2a3 an an?1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] d a1 a2 a2 a3 an an ?1 1 1 1 1 a ?a n ,.....5 分 ? ( ? ) ? ? n ?1 1 ? d a1 an ?1 d a1an ?1 a1an ?1 所以对任何 n ? N ? 都有 1 1 1 n ........6 分 ? ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1 ?
再证充分性. 证法 1:(数学归纳法)设所述的等式对一切 n ? N ? 都成立.首先,在等式

1 1 2 ? ? ① a1a2 a2 a3 a1a3 两端同乘 a1a2 a3 ,即得 a1 ? a3 ? 2a2 ,
所以 a1 , a2 , a3 成等差数列,记公差为 d , 则 a2 ? a1 ? d ......................7 分 假设 ak ? a1 ? (k ? 1)d , 当 n ? k ? 1 时,观察如下二等式

1 1 1 k ?1 ② ? ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 ak ?1ak a1ak 1 1 1 1 k ③ ? ? ??? ? ? ? a1a2 a2 a3 ak ?1ak ak ak ?1 a1ak ?1 k ?1 1 k ? ? 将②代入③,得 , a1ak ak ak ?1 a1ak ?1 在该式两端同乘 a1ak ak ?1 ,得 (k ? 1)ak ?1 ? a1 ? kak ,
将 ak ? a1 ? (k ? 1)d 代入其中,整理后,得 ak ?1 ? a1 ? kd ......................11 分 由数学归纳法原理知,对一切 n ? N ? 都有 an ? a1 ? (n ? 1)d , 所以 {an } 是公差为 d 的等差数列........12 分 证法 2:(直接证法)依题意有

1 1 1 n ? ? ??? ? ? ① a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ??? ? ? ? ② a1a2 a2 a3 an an ?1 an ?1an ? 2 a1an ? 2 1 n ?1 n ? ? ②-①得 .......8 分 an ?1an ? 2 a1an ? 2 a1an ?1 在上式两端同乘 a1an ?1an ? 2 ,得
a1 ? (n ? 1)an?1 ? nan? 2
同理可得 a1 ? nan ? (n ? 1)an ?1 ③-④得 2nan ?1 ? n(an ? 2 ? an ) , 即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ,.................11 分 所以 {an } 为等差数列......................12 分
12

③ ④ ......10 分

【误区分析】 1.不知道从何处入手,这是因为不会利用关系 an ? ? ?

S1, n ? 1, . Sn ? Sn?1 , n ? 2 ?

2.不知道以 n+1 替代 n,这是不会利用函数思想. 3.忽略验证 n=1 时的情况,而直接由 an+2=2an+1 下结论说{an}是等比数列,这是不符合等比数列定义的. 4.不会应用待定系数法求通项公式. 下列等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y C、 Y 2 ? XZ

【跟踪训练】 (2010·安徽高考)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则 B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

【解析】解法一:选取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得

X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 解法二: X ? a1 ? a2 ? ? ? an , Y ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n , Z ? a1 ? a2 ? ? ? a3n , 则 X , Y ? X , Z ? Y 也成等比数列,
所以 ?Y ? X ? ? X ?Z ? Y ? ,
2

整理得 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ? .故选 D. 解法三: X ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

Y ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ?

a1 ?1 ? q 2 n ? , 1? q a ?1 ? q 3n ? , Z ? a1 ? a2 ? ? ? a3n ? 1 1? q

a1 ?1 ? q n ? , 1? q

所以代入 A,B,C,验证都错误.故选 D. 【失分提示】 对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选项,剩下唯一正确的 就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除. 本题也可以首项、公比及项数 n 表示代入验证得结论. 若采用解法三,虽然本题得了满分,但占用了较多的解题时间,存在隐含丢分。 【跟踪训练】 (2010·威海模拟)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记

bn ?

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rk ? 4k 成立?若存在,找出一个正整数 k ;若不存在, 请说明理由; (III)记 cn ? b2 n ? b2 n ?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 Tn ?
*

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

3 2.

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an ?1 ? 5Sn ?1 ? 1

1 4

? an ?1 ? an ? 5an ?1 ,即

an ?1 1 ?? an 4
13

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ∴ an ? (? ) n ,

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4

1 4 1 4 ? (? ) n 4 (n ? N * ) ???????3 分 bn ? 1 n 1 ? (? ) 4 (II)不存在正整数 k ,使得 Rk ? 4k 成立。 1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4 5 5 b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ? ? 2 k ?1 ?? 4? ? 1 ?? 4?2 k ? 1 5 20 ? 8? k ? k 16 ? 1 16 ? 4 15 ?16 k ? 40 ? 8? k ?8 ?16 ? 1??16 k ? 4? ? ∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?1 ? b2 m ) ? 8m ? 4n
当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N )
?

∴ Rn ? ?b1 ? b2 ? ? ?b3 ? b4 ? ? ? ? ?b2 m?3 ? b2 m?2 ? ? b2 m?1

? 8?m ? 1? ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n , ∴不存在正整数 k ,使得 Rk ? 4k 成立。 ????????????8 分 (III)由 bn ? 4 ?

5 得 (?4) n ? 1

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 5 5 ? 2n?1 ? n ? n2 ? n 2 ? n cn ? b2 n ? b2 n?1 ? 2 n ? 2 n?1 2n n n 4 ? 1 4 ? 1 (16 ? 1)(16 ? 4) (16 ) ? 3 ?16 ? 4 (16 ) 16 4 ?1 4 ? 1 n n 25 ?16 25 ?16 ? ? 2n n n ?16 ? 1??16 ? 4? 16 ? 3 ?16 n ? 4 25 ?16 n 25 ? ? n 16 2 n 16 13 4 又 b1 ? 3, b2 ? ,? c2 ? , 3 3 3 所以当 n ? 1 时, T1 ? , 2 n?2 25 ? ? 1 ? ? 25 ?1 ? ? ? ? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn 16 2 ? ? 16 ? ? 4 16 2 4 ? 69 3 ? ? ? 4 25 25 25 ? ? 当 n ? 2 时, ? ? ?????14 分 ? ? 2 ? 3 ?? ? n 3 1 3 1 ? 1 48 2 1? 3 16 16 16 16 16 cn ? b2n?1 ? b2n ?

【专题演练·模拟考场】
考查知识点 及角度 等差数列、等比 题号及难度 基础 中档 1,3 7,9
14

稍难

数列的求和公式 等差数列、等比 数列的综合应用
一、选择题

2,5,6

4,8,10

11,12

1. (2010·全国新课标高考)如果执行右面的框图,输入 N

? 5 ,则输出的数等于

(A)

5 4 6 5 (B) (C) (D) 5 6 4 5

【解析】选 D. 根据算法结构,可知这是求和

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 5 ? 1? ? 1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 6 6 ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? 4 5? ? 5 6?
a5 5 s ? ,则 9 ? ( ) a3 9 s5

故选 D. 2.(2010·山东模拟)设 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

( A )1 ( B )-1 ( C )2

(D)

解析:由于 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,所以 S2 n?1 ? ?2n ? 1?an , 所以

1 2

s9 9a5 ? ? 1 ,故选 A. s5 5a3

【解析】选 A.

3.(2010·长沙模拟)等比数列 {an } 中, a2 ? 9, a5 ? 243, 则 {an } 的前 4 项和为( ) ( A )81 ( B )120 ( C )168 ( D )192 解析:由 a2 ? 9, a5 ? 243, 知 a1q ? 9, a1q 4 ? 243, 所以 a1 ? q ? 3 , 所以 s4 ? 所以选 B.
4.(2010·临沂模拟改编)已知函数 n 项和为 S n ,则 S 2010 的值为( (A) )

3(1 ? 34 ) 3 ? ? 80 ? 120 . 1? 3 2
f ( x) ? x 2 ? bx 的图像在点 ?1, f (1) ? 处的切线与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若数列 ? 1 ? 的前 ? ? ? f ?n ? ?

2007 2008

(B)

2008 2009
15

(C)

2009 2010

(D)

2010 2011

【解析】选 D.

f ' ( x) ? 2 x ? b , f ' (1) ? 2 ? b ,所以 b ? 1 . f ( n) ? n 2 ? n , 1 1 1 1 , ? 2 ? ? f ( n) n ? n n n ? 1 1 ? 1 2010 ? 1? ?1 1? ? 1 所以 S 2010 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,故选 D. ? ? ? ? 1? 2011 2011 ? 2? ? 2 3? ? 2010 2011 ?
4.(2010·安徽模拟) S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 若2a8

? 6 ? a11, 则S9 的值为(



A.54 C.36

B.45 D.27

2a8 ? 6 ? a11
【解析】选 A.由已知可得 ,得

2a1 ? 14d ? 6 ? a1 ? 10d a1 ? 4d ? 6 a5 ? 6
所以 所以选 A. 即 ,

S9 ? 9a5 ? 54


5.(文)(2010·江西模拟)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a3与 a7 的等比中项,

S8 ? 32 ,则 S10 等

于 A. 18 答案:C
2

B. 24

C. 60

D. 90

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

【解析】由 a4 ? a3a7 得

(a1 ? 3d ) 2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ?

56 d ? 32 得 2

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 90 所以 S10 ? 10a1 ? d ? 60 .故选 C. 2 5.(理) (2010·安徽高考)已知 ? an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ? an ? 的前 n 项和,则使
得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 ,

an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,
由?

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B. ? an ?1 ? 0

6.(文) (2010·广东模拟)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1

?

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( 2



A.16

B.24

C.36

D.48

1 【解析】选 D.由等差数列 {an } , a1 ? , S 4 ? 20 2 1 4?3 所以 4 ? ? d ? 20 ,解得 d ? 3 , 2 2 1 6?5 所以 S6 ? 6 ? ? ? 3 ? 48 . 2 2
6.(理)(2010·山东实验模拟)已知

?a n ?是等比数列, a2 ? 2,a5 ? 1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =
4
16

(A)16( 1 ? 4 ? n ) (B)16( 1 ? 2 ? n )

32 (1 ? 4 ?n ) 3 32 (D) (1 ? 2 ?n ) 3
(C)
【解析】 a 2

? 2,a5 ?

1 1 ,得 a1 ? 4, q ? , 2 4

所以

a n a n ?1 1 ? q 2 ? ,所以 ?a n a n ?1 ?是以 8 为首项,以 1/4 为公比的等比数列,所以 a1a2 ? a 2 a3 ? ? ? ? ? an an?1 a n ?1 a n 4

? ? 1 ?n ? 8?1 ? ? ? ? n ? ? 4 ? ? 32 ? ? ? ?? ?1 ? ? 1 ? ? . ? ? ? ? 1 3 ? ?4? ? ? 1? 4
故选 C.
二、填空题 7.(2010·浙江模拟)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S8

论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 答案:



? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结 T , 16 成等比数列. T12

T8 T12 , T4 T8

k

【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

T8 T12 T16 , , 成等比数列. T4 T8 T12

8.(2010·山东模拟)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为___________。 答案: 4 【解析】设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,

4a1 ? 6d ? 10 , 5a1 ? 10 d ? 15 ? 2a ? 3d ? 5 即? 1 ?a1 ? 2d ? 3 , ?
则? ? 由线性规划的知识可知 a4 ? a1 ? 3d 的最大值为 4.
9(2010·辽宁高考)已知数列

?an ? 满足
an 的最小值为__________. n

a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

21 答案: 2
解析:

a1 ? 33 a2 ? a1 ? 2 ? 1 a3 ? a2 ? 2 ? 2 ?????? an ? an?1 ? 2 ? ( n ? 1)
运用叠加法,得

an ? 33 ? n(n ? 1)
17

an 33 ? ? n ?1 n 所以 n . 33 f ?x ? ? ? x( x ? 0) x 构造函数 33 x 2 ? 33 f ' ?x ? ? ? 2 ? 1 ? ?0 x x2 则由
解得

x ? 33 ? ?5,6?
f ?x ?

所以



?0,

33

?

内是减函数,在

?

33 ,??

?

f ?5? ?
内是增函数,并且

53 21 ? f ?6? ? 5 2

21 an 33 ? ? n ?1 n 所以 n 的最小值是 2 .
【思维拓展】数列求和的方法. (1)叠加法:来源于推导等差数列的通项公式,适用于

an ? an?1 ? f (n)

.

an ? a1 ? ? ?ak ? ak ?1 ? ? a1 ? ? f ?k ?
k ?2 k ?2

n

n



? f ?k ?
k ?2

n

可求和.

其中

an ? f ( n) (2)叠乘法:来源于推导等比数列的通项公式,适用于 an ?1 . a a a an ? a1 ? 2 ? 3 ?? ? n a1 a2 an ?1
(3)分组求和法:把数列拆分为等差或等比数列,分别求和,再把结果相加即可. (4)错位相减法:来源于推导等比数列的求和公式,适用于一个等差数列与一个等比数列的相对应相乘所得新数列 的求和. (5)倒序相加法:来源于推导等差数列的求和公式,适用于到首末两项距离相等的两项的和都相等的数列求和. (6)裂项相消法:来源于等差数列的通项公式的推导过程,适用于与等差数列有关的的倒数表达式的求和. (7)公式法:如果能判断是等差数列或是等比数列,就可以直接应用求和公式.另外还有下面常用的求和公式:

n(n ? 1) 2 n(n ? 1)?2n ? 1? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? 6 2 ? n(n ? 1) ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n 3 ? ? ? ? 2 ? 1? 2 ? 3 ?? ? n ?
三、解答题 n+1 10.(文) (2010·福建高考)数列{a n}中,a1 =1/3,前 n 项和 S n 满足 S n+1 -S n =(1 / 3) (n∈)N*.

(I)求数列{an}的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n (II)若 S 1,t(S 1+ S 2) ,3(S 2+ S 3)成等差数列,求实数 t 的值. 1 1 an ?1 ? ( )n ?1 3 【解析】 解:(Ⅰ)由 S n+1 -S n =( 3 )n + 1 得 (n∈N *);

18

1 1 an ? ( )n 3 ,故 3 (n∈N *) 又 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 3 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ] sn ? 3 1 2 3 1? 3 从而 (n∈N *). a1 ? 1 4 13 S2 ? S3 ? 3, 9, 27 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 从而由 S 1,t(S 1+ S 2) ,3(S 2+ S 3)成等差数列可得: 1 4 13 1 4 ? 3 ? ( ? ) ? 2 ? ( ? )t 3 9 27 3 9 ,解得 t=2. S1 ?
10.(理) (2010·重庆高考)在数列

?an ? 中, a1 =1, an?1 ? can ? c n?1 ? 2n ? 1?? n ? N *? ,其中实数 c ? 0 。

求 ?an ? 的通项公式; 若对一切 k ? N * 有 a2 k ? azk ?1 ,求 c 的取值范围。 (I)解法一:



由a1 ? 1, a2 ? ca1 ? c 2 ? 3 ? 3c 2 ? c ? (2 2 ? 1)c 2 ? c, a3 ? ca2 ? c 3 ? 5 ? 8c 3 ? c 2 ? (32 ? 1)c 3 ? c 2 , 下用数学归纳法证明, a4 ? ca3 ? c 4 ? 7 ? 15c 4 ? c 3 ? (4 2 ? 1)c 4 ? c 3 , 猜 an ? (n 2 ? 1)c n ? n n ?1 , n ? N *, 测 当 n ? 1 时,等式成立; 假设当 n ? k 时,等式成立, 即ak ? (k 2 ? 1)c k ? c k ?1 , 则 n ? k ? 1时 当 , ak ?1 ? cak ? c k ?1 (2k ? 1) ? c[( k 2 ? 1)c k ? c k ? 2 ] ? c k ?1 (2k ? 1) 【解析】 ? (k 2 ? 2k )c k ?1 ? c k ? [( k ? 1) 2 ? 1]c k ?1 ? c k , 解法二:由 a2 k ? a2 k ?1 , 得 [( 2k ) 2 ? 1]c 2 k ? c 2 k ?1 ? [( 2k ? 1) 2 ? 1]c 2 k ?1 ? c 2 k ?2 , 恒成立。 因c 2 k ?2 ? 0, 所 4(c 2 ? c)k 2 ? 4ck ? c 2 ? c ? 1 ? 0对k ? N * 以 下分三种情况讨论。 (1)当 c 2 ? c ? 0即c ? 0或c ? 1 时,代入验证可知只有 c ? 1 满足要求。 (2)当 当c 2 ? c ? 0 时,抛物线 y ? f (x) 开口向下,因此当正整数 k 充分大时, f (k ) ? 0 ,不符合题意, 此时无解。 1 (3)当 c 2 ? c ? 0即c ? 0或c ? 1 时,抛物线 y ? f (x) 开口向上,其对称轴 x ? 必在 x ? 1 的左边。因 2(1 ? c) 此, f (x) 在 [1,??) 上是增函数。

? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或c ? . 6 6 1 ? 13 或c ? 1. 综合 c ? 0或c ? 1得c ? 6 1 ? 13 ) ? [1,??) 。 综合以上三种情况, c 的取值范围为 (??,? 6

所以要使 f ( x) ? 0 解得 c ?

11.(2010·安徽高考)设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

3 x 相切,对每一个正 3 知 {rn } 为递增数列. y?

整数 n ,圆 Cn 都与圆 C n ?1 相互外切, rn 表示 Cn 的半径, 以 已

19

(Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

【解析】

3 3 1 x tan? ? , sin ? ? . ? 3 的倾斜角记为 ,则有 3 2 (1)将直线 rn 1 Cn ?n ? 2rn (?n ,0) ? 设 的圆心角为 ,则由题意可知 ?n 2 得 ; ?n ? 2rn ?n?1 ? 2rn?1 ?n?1 ? ?n ? rn ? rn?1 ? 2rn?1 y?
同理 解得 故 ,从而 ,将

代入,

?n?1 ? 3rn
为公比

。 的等比数列。 ,故

{rn }

q?3
r1 ? 1, q ? 3

(2)由于

rn ? 3n?1

n 1 2 n ? n ? 31? n. sn ? ? ? ? ? r1 r2 rn ,则有 ,从而 rn 记

sn ? 1 ? 2 ? 3?1 ? 3 ? 3?2 ? ? ? n ? 31?n

,①

sn ? 1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? (n ? 1) ? 3?n 3 。②
①-②得

2 sn ? 1 ? 3?1 ? 3? 2 ? ? ? 31? n ? n ? 3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n ? 3? n ? ? (n ? ) ? 3? n. 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) ? 31? n ? S n ? ? (n ? ) ? 31? n ? 4 2 2 4
12.(2010·江西高考)证明以下命题: (1) 对任一正整数 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其
2 2 2

2 2 2 边长为 an , bn , cn 为正整数且 an , bn , cn 成等差数列。 【解析】 (1)易知 12 ,52 ,7 2 成等差数列,则 a 2 , (5a) 2 , (7a) 2 也成等差数列,所以对任意正整数 a ,都存在正整数

b ? 5a, c ? 7a, (b ? c) ,使得 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列。 2 2 2 2 2 2 2 (2)若 an , bn , cn 成等差数列,则有 bn ? an ? cn ? bn , 即 (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) .........①选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n 2 ? 1) ,使得它可按两种方式分解
因式。 由于

4n(n 2 ? 1) ? (2n ? 2)(2n 2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n 2 ? 2n) 因此令

?an ? bn ? 2n ? 2n, ?cn ? bn ? 2n ? 2n, ?b ? a ? 2n ? 2 ?c ? b ? 2n ? 2 ?n n ?n n
2 2

?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 (n ? 4) ?bn ? n ? 1 ?cn ? n 2 ? 2n ? 1 ?

2 2 2 易验证 an , bn , cn 满足①,因此 an , bn , cn 成等差数列,当 n ? 4 时,有 an ? bn ? cn ,

且 an ? bn ? cn ? n 2 ? 4n ? 1 ? 0 , 因此以 an , bn , cn 为边长可以构成三角形,将此三角形记为 ? n (n ? 4) 。
20

其次,任取正整数 m, n(m, n ? 4, 且m ? n) , 假若三角形 ? m 与 ? n 相似,则有:

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? ? n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
据比例性质有:

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? (m 2 ? 1) m ? 1 ? 2 ? n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1 m ?1 m ?1 m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? (m 2 ? 1) m ? 1 所以 ,由此可得 m ? n ,与假设 m ? n 矛盾, ? ? 2 ? n ?1 n ?1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1 即任两个三角形 ? m 与 ? n (m, n ? 4, m ? 0) 互不相似。 2 2 2 所以存在无穷多个互不相似的三角形 ? m ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an ,bn ,cn 成等差数列.

m2 ? 1 ? n2 ? 1 m2 ? 1 ? n2 ? 1

21

【备选套卷·每日一练】
1.(2010·天津模拟)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5

? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?

(A)12 (C)14

(B)13 (D)15

答案:B 解析:由等差数列的前 n 项和公式,和通项公式得

S5 ? 5a1 ? 10 d ? 25 , a2 ? a1 ? d ? 3 解得 a1 ? 1, d ? 2 , 所以 a7 ? a1 ? 6d ? 13 .
2.(2010·四川模拟)已知等比数列 (A) ? ??, ?1? (B) ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? (C) ? 3, ?? ? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?
解析:设等比数列的公比为 q ,则 S 3 函数

?a ? 中 a
n

2

? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是(

)

?

1 ?1? q q

f ?x ? ? x ?
?

1 x

的值域为

?? ?,?2?? ?2,??? ,

1 ? 1 ? q 的取值范围是 ? ??, ?1? ? ?3, ?? ? ,故选 D. q 3.(2010·山东模拟)已知 {an } 是等差数列, a4 ? 15, S5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q (4, a4 ) 的直线的斜率是 1 A.4 B. 4 C. ?4 D. ?14 S5 ? 5a1 ? 10 d ? 55 , 解析: a4 ? a1 ? 3d ? 15 解得 a1 ? 3, d ? 4 , a4 ? a3 所以 k PQ ? ? d ? 4. 4?3
所以 S 3 故选 A. 4.(2010·山东模拟)数列 {a n } 中, a1 标平面内, 已知点列 为
2 ? 1, a5 ? 13, an? 2 ? an ? 2an?1 ;数列 {bn } 中, b2 ? 6, b3 ? 3, bn? 2 ? bn ? bn?1 。在直角坐

P (a1 , b1 ), P2 (a2 , b2 ), P(a3 , b3 ),?, Pn (an , bn ),?, 则向量 P P2 ? P3 P4 ? P5 P6 ? ? ? P2009P2010 的坐标 1 1

1 2 1 (B) (3010 ,8[( )1005 ? 1]) 2 1 (C) (3015 ,8[( )1003 ? 1]) 4 1 (D) (3010 ,8[( )1003 ? 1]) 4 【解析】由已知 {a n } 是等差数列, {bn } 是等比数列,
(A) (3015 ,8[( )1005 ? 1])

?1? an ? 3n ? 2, bn ? 12? ? ?2?
所以向量

n ?1



22

n ? ? ? 3,?12 ? ? 1 ? ? , Pn Pn?1 ? ?an?1 ? an , bn?1 ? bn ? ? ? ? ? ? ?2? ? ?

所以 P P 1 2

? P3 P4 ? P5 P6 ? ? ? P2009P2010

1 3 5 2009 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3,?12? 1 ? ? ? ? 3,?12? 1 ? ? ? ? 3,?12? 1 ? ? ? ? ? ? 3,?12? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ? 1005 ? ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? 12? ??1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? 3 ?1005 , 2 ? ? ?1? 1? ? ? ? ? ?2? ? ?
1005 ? ? ?? ? 3015 ,8 ? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? ? ?? ?

故选 A. 5.在数列 {a n } 中, n ? ?* ,若

an ? 2 ? an ?1 。下列是对“等差比数列”的判断: ? k (k为 数 ,则称 {a n } 为“等差比数列” 常 ) an ?1 ? an

① k 不可能为 0;②等差数列一定是等差比数列;③等比数列一定是等差比数列;④等差比数列中可以有无数项为 0. 其中正确的判断是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 【解析】①正确,如果 k=0,则 an ? 2 ? an ?1 ? 0 ,即 {a n } 为常数列,分母为零,矛盾,故 k 不可能为 0; ②错误,常数数列是等差数列,但不是等差比数 列,故选 D. 6.当 n 为正整数时,函数 N (n) 表示 n 的最大奇因数,如 N (3) ? 3, N (10) ? 5,?, 设
Sn ? N (1) ? N (2) ? N (3) ? N (4) ? ? ? N (2n ? 1) ? N (2n ), 则 S n ?

4n ? 4 3 n?1 (B) 4 4n ? 2 (C) 3 (D) 4n ? 2
(A) 【解析】选C

Sn ? N (1) ? N (2) ? N (3) ? N (4) ? N (5) ? N (6) ?? ? N (2 n ),
? S1 ? N (1) ? N (2) ? 1 ? 1 ? 2, S2 ? N (1) ? N (2) ? N (3) ? N (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6,?, 归纳得出:
4n ? 4 4n ? 2 4(4n?1 ? 1) 4n ? 4 ?2? . ? , 所以, S n ? 3 3 4 ?1 3 7.(2010·辽宁模拟)等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6 S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
S n ? S1 ? 41 ? 42 ? ? ? 4n?1 ?
1 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d 2 ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4
w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

【答案】

1 3

23

8.(2010·高考)等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,并且满足 a1

? 1, a2009 ? a2010 ? 1 ? 0, (a2009 ? 1)(a2010 ? 1) ? 0 给出

下列结论① 0 ? q ? 1 ,② a2009 ? a2010 ? 1 ? 0, ③ T2010 是 Tn 中最大的,④使得 Tn 其中正确结论的序号为(将你认为正确的全部填上)

? 1 成立的最大的自然数 n 是 4018 【解析】 a1 ? 1, a2009 ? a2010 ? 1 ? 0, (a2009 ? 1)( a2010 ? 1) ? 0 所以

0 ? q ? 1, a2009 ? 1, a2010 ? 1,①正确; a2009 ? a2011 ? (a2010 ) 2 ? 1, ②正确; T2010 ? T2009 ? a2010 ? T2009, T2010 不是 Tn 中最大的,③不正确; T4018 ? a1a2 ? a2009a2010 ? a4018 ? (a2009a2010 ) 2009 ? 1, T4019 ? (a2010)
答:①②④
4019

? 1, ④正确

9.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 第一 列 1 2 3 ?? 第二 列 2 4 6 ?? 第三 列 3 6 9 ?? ?? ?? ?? ?? ?? n 行第 n+1 列的数是

第一 行 第二 行 第三 行 ??

【解析】第一列的数成等差数列,所以第 n 行的第一个数为 n,又第 n 行的数成等差数列,公差为 n,所以第

n ? n?n ? n ? n 答案: n 2 ? n .
2

10.(2010·湖北高考)已知数列

?a ? 满足: a
n

? 1

1 , 2

3 ?1 ? a n?1? 1? an

?

2 ?1 ? a n ? 1 ? a n?1

,

?a ? , ?b ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:数列 ?b ? 中的任意三项不可能成等差数列.
(Ⅰ)求数列
n
n

aa b =a
n

n ?1? 0? n ?1?

;数列
2

?b ? 满足:
n

2 n ?1

n

— an (n≥1).

n

2 解: (1)由题意可知, 1 ? an ?1 ? 2 令 cn ? 1 ? an , 则cn ?1 ?

2 2 (1 ? an ) 3

2 cn . 3

3 3 2 3 2 n ?1 c1 ? 1 ? a12 ? , 又 4 则数列 {cn } 是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列,即 cn ? ? ( ) , 故 4 3 4 3 3 2 3 2 3 3 1 ? an ? ? ( ) n ?1 ? an ? 1 ? ? ( ) n ?1. 4 3 4 3 1 又a2 ? ? 0, an an ?1 ? 0, 2 3 2 故an ? (?1) n ?1 1 ? ? ( ) n ?1 . 4 3 3 2 3 2 2 2 bn ? an?1 ? an ? [1 ? ? ( ) n ] ? [1 ? ? ( ) n ?1 ] 4 3 4 3 1 2 n?1 ? ?( ) 4 3
24

(2)(用反证法证明) 假设数列 {bn } 存在三项 br , bs , bt (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列,由于数列 {bn } 是首项为 于是有 br ? bs ? bt ,则只可能有 2bs ? br ? bt 成立。

1 2 ,公比为 的等比数列, 4 3

1 2 1 2 1 2 ? 2 ? ( ) s ?1 ? ( ) r ?1 ? ( ) s ?1 4 3 4 3 4 3 t ?1 1? r 两边同乘 3 2 , 化简得 3t ?r ? 2t ?r ? 2 ? 2s ?r 3t ?s 由于 r ? s ? t ,
所以上式左边为奇数,右边为偶数, 故上式不可能成立,导致矛盾, 故数列 {bn } 中任意三项不可能为等差数列。

【阶段评估·仿真模拟】
一.选择题 1.如果 A 是 a, b 的等差中项, G 是 a, b 的正的等比中项,那么 ab 与 AG 之间的关系是 ( A ) ab ? AG ( B ) ab ? AG ( C ) ab ? AG ( D )不具备上述三种关系

a?b 解析: A ? ,G ? 2

a?b ab ? ab a?b 2 ,两边都乘以 ab ,得 即 ab ? AG ,所以 ab , 由均值不等式 ab ? 2

选 A. 2.已知等差数列 {an } 的公差为 2, a1 , a3 , a4 成等比数列, a2 ? ( ) ( A )-4 ( B )-6 ( C )-8 解析:设 a2 ? x ,则 ( D )-10

( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2)2 , 2 x ? 8 ? 4 x ? 4 , x ? ?6 ,所以选 B.
'

3.(2010.江西高考)等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ?( x ? a8 ) , 则f

?0? ?
6
9 12 15

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 4.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行成等比数列,且每一行的公比相等, 记第 i 行,第 j 行的数为 aij (i ? j , i, j ? N * ), 则a84 等于( ) ( A)

1 8 1 (C ) 2

(B)

1 4

( D )1

解析:由于每一列成等差数列,所以 a81 ?

1 1 ? ?7 ? 2 , 4 4
1 . 2

由于从第三行起,每一行成等比数列,且每一行的公比相等,所以 q ?
3

?1? 1 所以 a84 ? 2 ? ? ? ? .所以选 B. ?2? 4 1 5.设一个等差数列的首项为 a(a ? 0) , 第二项为 b , 则这个数列有一项为 0 的充要条件是 ) 4 ( ( A ) a ? b 是正整数 ( B ) a ? b 是正整数 1 1 b a , C) ( 是正整数( D ) 是正整数 2 4 a ?b a ?b 解析: 3 3 3 , , a a 4 8 16 a ? (n ? 1)(b ? a) ? 0, n ? ?1 ? 所以选 D. a ?b a ?b , 第4题 表 2 6.(2010 安徽高考)设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a8 的值为
(A) 15 (B) 16
25

(C) 49 (D)64 答案:A 解析: a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 7.(2010·烟台模拟)如果等比数列 {an } 的首项为正数,公比大于 1,那么数列 {log 1 an } (
3



( A )是递增的等比数列 ( B ) 是递减的等比数列 ( C )是递增的等差数列 ( D )是递减的等差数列 解析: 由于 log 1 an ? log 1 ?a1qn?1 ? ? log 1 ?a1 ? ? ?n ? 1?log 1 q ,
3 3 3 3

因为公比大于 1,所以 log 1 q ? 0 ,所以 {log 1 an } 是递减的等差数列.故选 D.
3 3

8.(2010·合肥模拟)在 ?ABC中 内角为 A,B,C,等差数列的第三项为-4,第七项为 4,公差为 tan A ,等比数列的第三 ,

1 ,第六项为 9,公比为 tan B ,则这个三角形是( ) 3 ( A )钝角三角形 B )锐角三角形 ( C )等腰直角三角形 D )非等腰直角三角形 解析:由等差数列的性质得 4 ? (?4) ? 4d ,
项为

1 即 d ? 2 ,所以 tan A =2,所以 A 为锐角. 由等比数列的性质得 q 3 ? 9 , q ? 3 , 3 tan A ? tan B 5 所以 tan B ? 3 ,所以 B 为锐角.所以 tan? A ? B ? ? ? ? ?1 , 1 ? tan A tan B ? 5 所以 C ? 45? ,所以 ?ABC 为锐角三角形. 故选 B.
9.(2010·陕西模拟) 在各项均不为零的等差数列 {an } 中, 若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2), 则S2 n?1 ? 4n ? ( )
2

( A )-2

(B)0
2

( C )1 ( D )2

解析:由 an?1 ? an ? an?1 ? 0 ,得 an ? 2 , 所以 S2 n?1 ? 4n ? ?2n ? 1?2 ? 4n ? ?2 . 故选 A. 10.(2010·广州模拟)已知 f (x) 为偶函数, 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x), 当 ? 2 ? x ? 0 时,

f ( x) ? 2x , 若n ? N * , an ? f (n), 则a2011 ? ( ) 1 ( A )2011 ( B )-2011 ( C )2 ( D ) 2 f (2 ? x) ? f (2 ? x), 知 f ? x ? 的图像关于直线 x ? 2 对称, 解析:由
又 f (x) 为偶函数,所以 f (x) 是周期为 4 的函数, 所以

1 a2011 ? f ?2011 ? ? f ?4 ? 503 ? 1? ? f ?? 1? ? 2?1 ? . 2
故选 D.

? ? 2a n 6 11.(2010·济南模拟)已知数列 {a n } 中, a1 ? , a n ?1 ? ? 7 ?2a n ? 1 ? 则 a 2010 等于( )
26

0 ? an ?

1 2 . 1 ? an ? 1 2

3 4 B. 7 7 5 6` C. D. 7 7 6 5 3 6 5 3 解析: a1 ? , a 2 ? , a3 ? , a 4 ? , a5 ? , a6 ? ,? , 7 7 7 7 7 7 数列 {a n } 是周期数列, a k ?3 ? a k , k ? N ? 3 a 2010 ? a3 ? ,选 A. 7 12.(2010·山东实验模拟)定义数列 {a n } : a1 ? 1 ? i, q ? (1 ? i ), an?1 ? an ? q, n ? N * ,则在复平面内 a 2011 所对应的
A. 点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由等比数列的定义知道, {a n } 是等比数列,

? ?1 ? i ?21005i1005 ? ?1 ? i ?21005i ? 21005?1 ? i ? 所以 a 2011 对应的点在第一象限.故选 A.
二.填空题 13.(2010·安徽皖南模拟)数列 解析:这个数列的通项为

a 2011? a1q 2010 ? ?1 ? i ??1 ? i ?

2010

? ?1 ? i ??2i ?

1005

1 1 1 , , ,? 的前 n 项之和为 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4

1 1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? 1 ? ?n ? 1??n ? 1 ? 1? 2 1 ? ? 1 ? 2? ? ? ? n ?1 n ? 2 ?
?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 1 ? 2n 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? . 答案: ?? 2? ? ?? n?2 ? n ? 1 n ? 2 ?? ? 2 n ? 2 ? n ? 2 ?? 2 3 ? ? 3 4 ? 14.(2010·青岛模拟)三个不同的实数 a, b, c 成等差数列,且 a, c, b 成等比数列, 则 a:b:c ? 解析:因为 a, b, c 成等差数列,所以 2b ? a ? c , 因为 a, c, b 成等比数列,所以 c 2 ? a ? b , 设 b ? 1 ,则 a ? c ? 2 , a ? c 2 ,解得 a ? 4, c ? ?2 .. 所以 a : b : c ? 4:1: (-2).
所以这个数列的前 n 项和为 2 ?? 答案:4:1: (-2). 15.(2010·广州模拟)定义一个“等积数列” :在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都是同一常数,那么这个数 列叫“等积数列” ,这个常数叫做这个数列的公积。已知数列 {an } 是等积数列,且 a1 ? 2 ,公积为 5,则这个数列的前

n 项和 sn 的计算公式为

1 15 13

3 11
27

5 9

7

17 31 解析: 这个数列为 2, 2.5, 2.5, 2, ......., ? 29 ?

19 27 ?

21 25 ?

23 ?

?9 ? 4 n, n ? 2 k , k ? Z ? 所以 sn ? ? ? 9n ? 1 , n ? 2k ? 1, k ? Z ? 4 ?

16.(2010·东北师大模拟)将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中:则 2011 排在该表的 第 行,第 列。 (行是从上往下数,列是从左往右数。 ) 解析:观察表格,奇数行从左到右,偶数行往下空一个,再由右到左。 因为 2011 是从 1 开始的第

2011 ? 1 ? 1006 个奇数, 1006 ? 4 ? 251 ? 2 . 2

所以 2011 在第 252 行,第 3 列. 答案:252,3 三.解答题 17.(2010.天津模拟)数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ?

(1)记 d n ? an?1 ? an ,求证: {d n } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式;

3 3 1 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) 2 2 2

(3)令 bn ? 3n ? 2 ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n . 解析: (1)

d n ? an ?1 ? an , d n ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? ?{d n }为Gp 1 1 1 (2)d n ? ( ) n ?1 ? ( ) ? ( ) n ? an ?1 ? an 2 2 2 ? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) 1 1 ? 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 2 2 1 n 1? ( ) 2 ? 2(1 ? 1 ) ? 1 2n 1? 2 1 1 1 (3) S n ? 1? 2(1 ? ) ? 4 ? 2(1 ? 2 ) ? 3 ? 2(1 ? 3 ) ? ? 2 2 2 1 ? (3n ? 2) ? 2(1 ? n ) 2 1 1 ( an ?1 ? an ) ? d n , 2 2

? 2(1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2) 1 1 1? ? 1 ? 2?1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? (3n ? 2) ? n ? 2 2 2 ? ? 2 ? ?1 ? 3n ? 2?n ? ? 2? ? Tn ? 2 ? ?
其中

1 1 1 1 Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? ?3n ? 2?? n , 2 2 2 2
所以

1 Tn ? 2

1?

1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? ? ? ?3n ? 5?? n ? ?3n ? 2?? n?1 2 2 2 2 2

两式相减得

28

1 1 1 1 1 1 Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ?3n ? 2?? n?1 2 2 2 2 2 2
n ?1 3? ?1? ? 1? ? ? ? ? 1 4? ?2? ? ? ? ?3n ? 2?? 1 ? ? ? 1 2 2n?1 1? 2

3 1 ? ?3n ? 2? n?1 n 2 2 1 所以 Tn ? 4 ? ?3n ? 4?? n 2 3n ? 4 所以 Sn ? 3n 2 ? n ? 8 ? n?1 . 2 ? 2?
18.(2010·湖南模拟)已知正项数列 {an } 满足 a1 ? (1)求正项数列 {an } 的通项公式;

1 a , 且an?1 ? n . 2 1 ? an

a1 a2 a ? ?? ? n . 1 2 n 1 1 解析: (1)取倒数 ? ?1 an ? 1 an 1 1 . ? ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1? an ? an n ?1 a 1 1 1 (2) n ? ? ? n n(n ? 1) n n ? 1
(2)求和 所以

1 ? a1 a2 a ?1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ?? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 2 n ?1 2 ? ? 2 3 ? ? n n ?1? 1 n . ? 1? ? n ?1 n ?1 19.(2010·广东高考)已知数列 {an } 中, a1 ? 5, an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? N *且n ? 2) an ? ? (1)若数列 { n } 为等差数列,求实数 ? 的值; 2 (2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .
解析:

(1) ?

an ? ? an?1 ? ? ? 2n 2n?1

2an?1 ? 2? an?1 ? ? ? 2n 2n?1

1 ? ? ? ?1 2n?1 ? ? ? ? 2 2 ? ? 1 ? 2?1 ?常 ? 数 2n?1 2n ? ? ? -1.
(2)由(1)可以知道数列 ?

? an ? 1 ? ? 是以 1 为公差的等差数列, ? 2n ?

29

an ? 1 a1 ? 1 ? 1 ? ?n ? 1? ?1 ? n ? 1 ,故 an ? ?n ? 1? ? 2n ? 1. n 2 2 所以 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 即 Sn ? ?2 ? 21 ? 1? ? ?3 ? 22 ? 1? ? ? ? ??n ? 1?? 2n ? 1? 设 Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? ?n ? 1?? 2n 则 2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? ?n ? 1?? 2n?1
所以 所以

? ?2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? ?n ? 1?? 2n ? ? n

? Tn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ?n ? 1?? 2n?1 4?1 ? 2n?1 ? ? 4? ? ?n ? 1?? 2n?1 . 1? 2 所以 Tn ? n ? 2n?1 , 所以 Sn ? n?2n?1 ? 1? .
20.(2010·山东模拟)下表给出一个“等差数阵” 其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数。 (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式. 4 7 ( ) ( ) () ? ?

a1 j
a2 j

7

12

( )

( )

() ?

?

() ( ) ( )

( )

() ? ? () ? ? ? ? ?

a3 j
a4 j
?

? ? ?

() ( ) ( )

( )

?

?

?

?

? ?

ai1
?

ai 2
?

ai 3
?

ai 4
?

ai 5
?

aij
?

?

?

解析: (1) a45 表示位于第 4 行第 5 列的数. 第 1 列的前四个数为 4,7,10,13,所以 a41 ? 13 , 、 第一行公差为 3,第二行公差为 5,第三行公差为 7,第四行公差为 9. 所以 a45 ? 13 ? 4 ? 9 ? 49 .

(2)a1 j ? 4 ? ( j ? 1) ? 3 ? 3 j ? 1 ai1 ? 3i ? 1, aij ? ai1 ? ( j ? 1)( 2i ? 1) ? 3i ? 1 ? ( j ? 1)( 2i ? 1) ? 2ij ? i ? j.
21.(2010·山西模拟)函数 f ( x) ?

bx ? c 的图像过原点,且关于点(-1,1)成中心对称。 x ?1
30

(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若数列 {an }( n ? N * ) 满足: an ? 0, a1 ? 1, an?1 ? [ f ( an )]2 , 求数列 {an } 的通项公式 an ; (3)若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,判断 S n 和 2 的大小关系,并证明你的结论. 解析: (1)

bx b . ?b? x ?1 x ?1 因为点(-1,1)成中心对称,所以 b ? 1 x ? f ( x) ? x ?1 . an (2)a1 ? 1, an ?1 ? , ( an ? 1) 2 an an ?1 ? , an ? 1 1 1 ? ?1 an ?1 an 1 1 ? ? n ? an ? 2 n an 1 1 1 (3) Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n f (o) ? 0 ? c,? f ( x) ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n ? 2? 1 ?2 n

22、(2010·山东实验模拟) 设数列 {a n }, {bn } 满足: a1 ? 4, a 2 ?

a ? bn 2a n bn 5 , a n ?1 ? n , bn ? 2 2 a n ? bn (1)用 a n 表示 a n ?1 ,并证明: ?n ? N ? , a n ? 2 ;
(2)证明: ?ln

? ?

an ? 2 ? ? 是等比数列; an ? 2 ?
4 3

(3)设 S n 是数列{a n } 的前 n 项和,当 n ? 2 时, S n 与 2(n ? ) 是否有确定的大小关系?若有,加以证明;若没有, 请说明理由. 解析: (1)由已知得 a1 ? 4 , a 2 ?

5 ,所以 b1 ? 1 , 2

故 a n ?1bn ?1 ? a n bn ? ? ? a1b1 ? 4 ,

bn ?

a 2 4 , a n ?1 ? n ? , 2 an an
-----------------------------3 分

5 ? 2, 2 假设 n ? k ?k ? N *? 时, a k ? 2 , a 2 ? 2, 则 a k ?1 ? k ? 2 ak 故 ?n ? N ? , a n ? 2 ---------------------5 分
因为 a 2 ?
31

( a n ? 2) 2 (2) a n ?1 ? 2 ? , 2a n ( a n ? 2) 2 a n ?1 ? 2 ? , 2a n

a ? 2 ? an ? 2 ? ? 所以 n ?1 ?? an?1 ? 2 ? an ? 2 ? ? ? a ?2 a ?2 ? 2 ln n 所以 ln n ?1 a n ?1 ? 2 an ? 2
所以 ?ln

2

? ?

an ? 2 ? * ? ( n ? N )是等比数列. an ? 2 ?
----------------------8 分

(3)由(2)可知

ln

当 n ? 2 时,

2?32 ? 1? 解得 an ? n?1 32 ? 1
n?1

n ?1 an ? 2 ? ?ln 3? ? 2 n ?1 ? ln 3 2 , an - 2

a n ?1 ? 2 ? 3

a n ?2
2 n ?1

?1

?

1 (a n ? 2) 10

--------------------10 分

1 ? a3 ? 2 ? (a2 ? 2), 10 1 a4 ? 2 ? (a3 ? 2), 10 ?, 1 an ? 2 ? (an ?1 ? 2) 10
相加得:

S n ? a1 ? a2 ? 2(n ? 2) ?

?10 Sn ? 65 ? 20(n ? 2) ? Sn ? an ? 4 ? 2(n ? 2)

5 1 [ S n?1 ? a1 ? 2(n ? 2)] ? a1 ? 4, a 2 ? , 2 10
----------12 分

? S n ? 2n ?

25 3 ? 1 ? n?1 9 9(32 ? 1) 25 1 ? 2n ? ? 9 9
2 n?1

? 2n ?

8 3
4 3

故 n ? 2 时, S n ? 2(n ? ). ------------------------------------------14 分 解法二:

2 ? 4 ? ? 2?1 ? 2n?1 ? ? 2 ? 2n?1 3 ?1 ? 3 ?1 ? 32 ? 1 4 4 1 设 cn ? n?1 ? 2n ?2 ? cn?1, ?n ? 2? 2 2n ?2 3 ? 1 ?3 ? 1??3 ? 1? 4
an ? 2 ? 32 ?1
n ?1

n ?1

32

--------10 分

1 ?1? ?1? c n ? c n ?1 ? ? ? c n ? 2 ? ? ? ? ? 4 ?4? ?4? 当 n ? 2 时,
n ?1

2

n ?1

?1? c1 ? 2? ? ?4?

n ?1

?1? a n ? 2 ? 2? ? -----------------------------12 分 ?4? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an
n ?1 ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? 4 ? 2?n ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? ? ?4 ? 4 ? ? ? 1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 4 4 ? ? 2n ? 2 ? 2 ? ? 1 1? 4

2? 1 ? 8 ? 2n ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? 2n ? 3? 4 ? 3

----------------14 分

【思维拓展】数列与不等式的综合问题 1.数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合在一起考查.主要考查 知识重点和热点是数列的通项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归 纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生 对知识的灵活变通、融合与迁移,考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.近年来加强了对递推数列考查 的力度,这点应当引起我们高度的重视. 2.以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 3.以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇,还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识 等,深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、 化归的数学思想,试题新颖别致,难度相对较大. 4.将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想. 5.常见题型有: (1)求有数列参与的不等式恒成立条件下的参数问题; (2)数列参与的不等式的证明问题; (3)求数列中的最大值、单调性问题; (4)求解探索性问题; (5)有数列与不等式的分类讨论问题

33



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